面心立方金屬的基于位錯(cuò)密度的循環(huán)本構(gòu)模型

位錯(cuò)密度； 晶體塑性；本構(gòu)模型；棘輪行為

摘? ?要：在晶體塑性理論框架下，建立適用于面心立方金屬多晶材料的基于位錯(cuò)密度的循環(huán)本構(gòu)模型. 在各向同性硬化律中總位錯(cuò)密度被離散為螺位錯(cuò)和刃位錯(cuò)兩部分，考慮了位錯(cuò)增殖、湮滅和相互作用的演化機(jī)制，同時(shí)采用了修正的非線性隨動(dòng)硬化律，建立單晶的循環(huán)本構(gòu)模型，通過(guò)顯式尺度過(guò)渡準(zhǔn)則，把該模型拓展到多晶尺度. 應(yīng)用該模型模擬了典型面心立方結(jié)構(gòu)材料多晶銅的棘輪行為. 數(shù)值模擬結(jié)果表明，該模型不僅可以從多晶尺度模擬材料的棘輪行為和循環(huán)硬化特征，還可以從單晶尺度預(yù)測(cè)不同晶向和不同應(yīng)力水平下的棘輪行為.

關(guān)鍵詞：位錯(cuò)密度; 晶體塑性;本構(gòu)模型;棘輪行為

中圖分類號(hào)：O345? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Abstract：Under the framework of crystal plasticity theory， a cyclic constitutive model based on dislocation density for face-centered cubic metals is proposed. The total dislocations are discretized into edge and screw components， and the multiplication， annihilation and interaction of dislocations are considered as the basic evolutionary mechanisms. At the same time，? a cyclic constitutive model of single crystal is established by using the modified non-linear kinematic hardening rule. Then， the model is extended from single crystal scale to polycrystalline scale by explicit scale transition rule. The ratchetting strain of polycrystalline copper with typical face-centered cubic structure is simulated by using the proposed model. The numerical results show that the model can not only simulate the ratchetting strain and cyclic hardening characteristics of materials at polycrystalline scale， but also predict the ratchetting of materials at different orientations and stress levels from single crystal scale.

Key words：dislocation density;crystal plasticity;constitutive model;ratchetting strain

棘輪變形是材料或者結(jié)構(gòu)在平均應(yīng)力非零的應(yīng)力循環(huán)下發(fā)生的塑性變形的累積. 近年來(lái)，描述棘輪行為的循環(huán)本構(gòu)模型得到了眾多學(xué)者的廣泛研究[1-5]，但是這些本構(gòu)模型大多是基于實(shí)驗(yàn)結(jié)果建立的宏觀唯象的循環(huán)本構(gòu)模型. 然而Feaugas等[6]研究發(fā)現(xiàn)棘輪行為與非均勻位錯(cuò)亞結(jié)構(gòu)有關(guān)，如位錯(cuò)墻和位錯(cuò)胞等. Kang和Dong等[7-8]應(yīng)用透射電子顯微鏡對(duì)面心立方金屬材料316L不銹鋼棘輪變形過(guò)程中不同階段的位錯(cuò)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了研究，同樣發(fā)現(xiàn)極化的位錯(cuò)結(jié)構(gòu)是材料棘輪變形的微觀機(jī)制，上述宏觀唯象的本構(gòu)模型未考慮材料棘輪變形的微觀機(jī)制.

近年來(lái)，基于材料循環(huán)變形的位錯(cuò)滑移機(jī)制建立的晶體塑性模型得到了發(fā)展. Xu等[9]首先建立了單晶銅的晶體塑性循環(huán)本構(gòu)模型，然而該模型僅模擬了銅單晶在應(yīng)變控制循環(huán)載荷作用下的響應(yīng)，不涉及單晶銅的棘輪效應(yīng);Cailletaud等[10]通過(guò)引入尺度過(guò)渡準(zhǔn)則，把單晶尺度的循環(huán)本構(gòu)模型拓展到了多晶尺度，進(jìn)而模擬多晶金屬材料的棘輪行為. 但因其基于Armstrong 等[11]提出的非線性隨動(dòng)硬化模型來(lái)描述每個(gè)晶粒的棘輪運(yùn)動(dòng)，現(xiàn)已證實(shí)，該模型對(duì)材料的棘輪應(yīng)變的預(yù)測(cè)值偏大;Kang等[12]和羅娟等[13]利用類似于Ohno-Abdel-Karim模型的組合隨動(dòng)硬化律，構(gòu)造新的循環(huán)本構(gòu)模型來(lái)描述多晶材料的循環(huán)變形，對(duì)棘輪變形的預(yù)測(cè)取得了較好的效果. 然而上述本構(gòu)模型并未明確涉及到材料棘輪變形過(guò)程中位錯(cuò)結(jié)構(gòu)的演化規(guī)律，為了揭示材料棘輪變形的位錯(cuò)演化機(jī)制，提高模型的預(yù)測(cè)能力，有必要建立包含更多位錯(cuò)機(jī)制的循環(huán)本構(gòu)模型.

因此本文在各向同性硬化中，將位錯(cuò)分為刃位錯(cuò)和螺位錯(cuò)兩部分，以刃位錯(cuò)和螺位錯(cuò)的增殖和湮滅作為基本的演化機(jī)制，同時(shí)考慮了位錯(cuò)之間的交互作用，引入經(jīng)典修正的Armstrong-Frederick非線性隨動(dòng)硬化律，建立了適用于面心立方結(jié)構(gòu)金屬材料的基于位錯(cuò)密度的循環(huán)多晶粘塑性本構(gòu)模型. 應(yīng)用提出的模型對(duì)典型面心立方結(jié)構(gòu)多晶銅，在應(yīng)變控制下的循環(huán)硬化行為和非對(duì)稱應(yīng)力控制循環(huán)下的棘輪行為進(jìn)行模擬，將模擬結(jié)果和現(xiàn)有的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[13-14]進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了所提模型的合理性.

1? ?基于位錯(cuò)密度的循環(huán)本構(gòu)模型

1.1? ?晶體塑性理論基礎(chǔ)

在晶體塑性小變形理論框架下，總應(yīng)變張量ε可以分解為彈性應(yīng)變張量εe和粘塑性應(yīng)變張量εvp兩個(gè)部分.

1.2? ?滑移阻力的演化律

研究表明，在循環(huán)變形過(guò)程中，隨著位錯(cuò)密度的增大，位錯(cuò)之間的交互作用越來(lái)越強(qiáng)，位錯(cuò)的滑移變得越來(lái)越難，導(dǎo)致晶體材料的硬化. 本文基于廣義泰勒定律，總滑移阻力Sα

1.3? ?位錯(cuò)密度的演化

1.4? ?隨動(dòng)硬化律

經(jīng)典的Armstrong-Frederick隨動(dòng)硬化模型由于動(dòng)態(tài)恢復(fù)項(xiàng)過(guò)強(qiáng)的緣故，在非對(duì)稱應(yīng)力循環(huán)下對(duì)棘輪應(yīng)變的預(yù)測(cè)值偏大[11]，因此本文在該模型的基礎(chǔ)上，對(duì)動(dòng)態(tài)回復(fù)系數(shù)進(jìn)行修正，修正后的演化律如下：

1.5? ?尺度過(guò)渡準(zhǔn)則

式（1）～式（13）構(gòu)成了單晶基于位錯(cuò)密度的循環(huán)本構(gòu)模型，該模型可以描述面心立方單晶的循環(huán)變形行為，為了獲得多晶材料的循環(huán)變形行為，需要引入一個(gè)有效的尺度過(guò)渡準(zhǔn)則. 本文采用由Cailletaud等[17]提出的顯式尺度過(guò)渡準(zhǔn)則，命名為β準(zhǔn)則. 使用該過(guò)渡準(zhǔn)則，單晶體中的局部應(yīng)力張量σ可由施加在多晶的均勻宏觀應(yīng)力張量∑通過(guò)下式計(jì)算獲得.

2? ?模擬結(jié)果

參考已完成的面心立方結(jié)構(gòu)材料多晶銅的宏觀實(shí)驗(yàn)結(jié)果，應(yīng)用上述建立的基于位錯(cuò)密度的循環(huán)本構(gòu)模型對(duì)多晶銅的單拉曲線、應(yīng)變循環(huán)實(shí)驗(yàn)和非對(duì)稱應(yīng)力下的棘輪行為分別進(jìn)行了模擬和預(yù)測(cè)，以檢驗(yàn)所提出模型的預(yù)測(cè)能力.

2.1? ?材料參數(shù)的確定

E和v可由多晶銅的單軸拉伸曲線獲得. 流動(dòng)準(zhǔn)則中的參考滑移率[γ] 0一般設(shè)置為0.001 s-1，m反映材料粘性的參數(shù)，值較大時(shí)，模型描述的變形與接近率無(wú)關(guān)，考慮加載速率的影響，因此取值較小. 總位錯(cuò)密度的初始值ραT設(shè)置為大多數(shù)退火FCC單晶的典型值，即ραT = 1.6 × 1010 m-2 . 初始位錯(cuò)總體被認(rèn)為是由等比例的刃位錯(cuò)和螺位錯(cuò)組成的，因此ρe = ρs = 0.5ραT. 式（6）中的統(tǒng)計(jì)系數(shù)λ基于Kuhlmann-Wilsdorf的工作[18]被賦值為0.3.

考慮到不同滑移系之間的潛硬化和自硬化效應(yīng)，位錯(cuò)交互作用矩陣hα β的ω1和ω2分別為1.5和1.2[19]. 為反映刃位錯(cuò)和螺位錯(cuò)對(duì)滑動(dòng)的貢獻(xiàn)相同，式（9） （10）中的參數(shù)Ce和Cs設(shè)置為0.5. 此外，之前對(duì)紫銅[19]的滑動(dòng)線測(cè)量結(jié)果表明，刃位錯(cuò)的移動(dòng)距離大約是螺位錯(cuò)的兩倍. 參數(shù)Ks為Ke的兩倍，即Ks = 2Ke，ds=5de. C和D可以參考文獻(xiàn)[20]給出的取值范圍. 與隨動(dòng)硬化律相關(guān)的參數(shù)c、b0、bsat和γ0，可以由試錯(cuò)法通過(guò)非對(duì)稱應(yīng)力循環(huán)下的一條棘輪應(yīng)變的演化曲線確定. 所得到的多晶銅的材料參數(shù)如表1所示.

2.2? ?多晶銅的模擬結(jié)果

由圖2可見(jiàn)，提出的模型能夠?qū)Σ牧享憫?yīng)的應(yīng)力幅值隨循環(huán)周次逐漸增加的現(xiàn)象給出合理的模擬，也能模擬出循環(huán)硬化速率隨循環(huán)周次逐漸降低的特性. 但是模擬的循環(huán)應(yīng)力應(yīng)變曲線在彈性到塑性過(guò)渡段沒(méi)有實(shí)驗(yàn)的應(yīng)力應(yīng)變曲線光滑，可能是由以下原因造成：一是本文應(yīng)用只包含一項(xiàng)修正的Armstrong-Frederick非線性隨動(dòng)硬化模型來(lái)模擬背應(yīng)力的演化，而非Chaboche模型[21]、Ohno-Wang模型[22]或者Ohno-Abdel-Karim模型[23]包含了3項(xiàng)甚至更多項(xiàng)的非線性隨動(dòng)硬化律來(lái)模擬材料的應(yīng)力應(yīng)變循環(huán)曲線，因此造成了模擬的循環(huán)應(yīng)力應(yīng)變曲線形狀不夠光滑;二是本文通過(guò)顯式尺度過(guò)渡準(zhǔn)則把單晶的本構(gòu)模型拓展到多晶尺度，該尺度過(guò)渡準(zhǔn)則不能準(zhǔn)確地反映晶粒之間變形協(xié)調(diào)性. 后面的研究可以把本構(gòu)方程編成ABAQUS用戶子程序Umat，通過(guò)晶體塑性本構(gòu)模型和有限元結(jié)合，更加合理地考慮晶粒之間的相互作用，來(lái)模擬材料的循環(huán)變形行為.

圖3（a）和圖3（b）給出了應(yīng)力工況為（40±80） MPa的應(yīng)力應(yīng)變滯回環(huán)的實(shí)驗(yàn)和模擬結(jié)果. 文中分別提取了應(yīng)力應(yīng)變滯回環(huán)的第5圈、第10圈、第20圈、第50圈和第100圈，其中c表示循環(huán)的圈數(shù). 由于多晶銅為循環(huán)硬化材料，應(yīng)力應(yīng)變滯回環(huán)曲線隨著循環(huán)周次的增加逐漸變窄，在經(jīng)過(guò)一定的循環(huán)周次后，滯回環(huán)的大小基本保持不變. 與本文提出的模型（模擬應(yīng)力應(yīng)變滯回環(huán)的演化規(guī)律和實(shí)驗(yàn)的規(guī)律）是一致的，體現(xiàn)出多晶銅的循環(huán)硬化特征. 圖3（c）和圖3（d）給出了多晶銅在不同平均應(yīng)力和應(yīng)力幅值下棘輪應(yīng)變的演化曲線，新提出的模型能夠?qū)啈?yīng)變和棘輪應(yīng)變率的演化給出合理的預(yù)測(cè)，即棘輪應(yīng)變會(huì)隨著循環(huán)周次的增加而增大，而棘輪應(yīng)變率會(huì)逐漸降低，最后保持為一個(gè)接近于零的常數(shù). 同時(shí)新模型也能夠合理地預(yù)測(cè)應(yīng)力幅值和平均應(yīng)力對(duì)棘輪變形的影響，即棘輪應(yīng)變會(huì)隨著應(yīng)力幅值和平均應(yīng)力的增加而增大.

2.3? ?單晶銅的預(yù)測(cè)結(jié)果

提出的本構(gòu)模型是在單晶水平上建立的，利用顯式尺度過(guò)渡準(zhǔn)則，即β準(zhǔn)則拓展到多晶尺度. 本文應(yīng)用表1中的材料參數(shù)，對(duì)單晶銅在平均應(yīng)力非零的應(yīng)力循環(huán)下的棘輪變形的演化曲線進(jìn)行了預(yù)測(cè)，給出的定性的預(yù)測(cè)結(jié)果如圖4所示.

圖4（a）為單晶銅在不同晶體學(xué)位向的棘輪應(yīng)變的預(yù)測(cè)結(jié)果. 由圖可見(jiàn)，新提出的模型可以對(duì)不同晶體學(xué)位向的棘輪行為進(jìn)行預(yù)測(cè). 圖4（b）和圖4（c）為單晶銅在 晶向上不同應(yīng)力工況下的單軸棘輪行為的預(yù)測(cè)結(jié)果，可以看出新模型能夠合理預(yù)測(cè)棘輪行為對(duì)應(yīng)力幅值和平均應(yīng)力的依賴性.

3? ?結(jié)? ?論

本文通過(guò)把刃位錯(cuò)和螺位錯(cuò)的演化規(guī)律引入到各向同性硬化律，采用修正的Armstrong-Frederick非線性隨動(dòng)硬化模型和顯式的尺度過(guò)渡準(zhǔn)則，建立了基于位錯(cuò)密度的循環(huán)多晶粘塑性本構(gòu)模型，并應(yīng)用該模型對(duì)面心立方結(jié)構(gòu)多晶銅的循環(huán)變形行為進(jìn)行模擬. 結(jié)果顯示，新發(fā)展的模型不僅可以模擬紫銅在對(duì)稱應(yīng)變循環(huán)下的循環(huán)硬化特性，還可以模擬紫銅在不同應(yīng)力水平下的棘輪行為. 同時(shí)單晶形式的本構(gòu)模型也能夠?qū)Σ煌蚝筒煌瑧?yīng)力水平下的棘輪行為進(jìn)行合理的預(yù)測(cè).

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