周長解法千千萬，旋轉(zhuǎn)平移長不變

圖形王國一年一度的科舉考試已經(jīng)進(jìn)入尾聲，奧幾何同學(xué)以優(yōu)異的成績獲得殿試資格，接下來他要面對(duì)的是糊涂王的考核……

糊涂王：奧幾何，什么是周長？

奧幾何：封閉圖形一周的長度就是這個(gè)圖形的周長。

糊涂王：有什么求周長的公式嗎？

巧算周長

星期五，距離放學(xué)還有30分鐘。

自習(xí)課，教室內(nèi)的同學(xué)們昏昏欲睡。

“楊弘！楊弘！”我一看，是張皮皮這皮小子，性格跟他的名字一樣——調(diào)皮！

“干嗎？”我不耐煩地回了句。

“周末去哪玩兒？”“不知道?！薄芭阄胰ヅ郎桨??！薄安蝗?。”“去吧去吧，我自己沒意思?！薄皼]興趣。”“只要你能去，什么條件隨便開?！?/p>

“這可是你說的?！蔽蚁氲綇埰てぷ钆伦鰯?shù)學(xué)題，頓時(shí)計(jì)上心來。我拿過一張紙和一支筆，唰唰唰畫了一張圖。

如圖所示，一個(gè)大長方形被三條線段分成了四個(gè)小長方形，各條線段長度見圖（單位：厘米）。

看了一眼愁眉苦臉的皮皮，我繼續(xù)說道：“只要你計(jì)算出圖中所有長方形的周長之和，我就陪你去?！?/p>

我本以為他要放棄了，誰想這反而激起了他的斗志。只見他一改嬉皮笑臉的狀態(tài)，認(rèn)真計(jì)算起來：

想求周長之和，首先應(yīng)該查清長方形的數(shù)量。為避免計(jì)算過程中的漏算，可以給各部分編上號(hào)。

這樣，可以得到的單個(gè)長方形有：a、b、c、d，共4個(gè);由兩部分組成的長方形有：a-b、b-c、c-d，共3個(gè);由三部分組成的長方形有：a-b-c、b-c-d，共2個(gè);由四部分組成的長方形有a-b-c-d，1個(gè)。所以一共有長方形4+3+2+1=10（個(gè)）.

長方形的數(shù)量算出來后，就可以算出每個(gè)長方形的周長：

a周長=（2+4）×2=12（厘米）;b周長=（2+3）×2=10（厘米）;c周長=（2+1）×2=6（厘米）;d周長=（2+2）×2=8（厘米）。

（a-b）周長=（2+4+3）×2=18（厘米）;（b-c）周長=（2+3+1）×2=12（厘米）;（c-d）周長=（2+1+2）×2=10（厘米）。

（a-b-c）周長=（2+4+3+1）×2=20（厘米）;（b-c-d）周長=（2+3+1+2）×2=16（厘米）。

（a-b-c-d）周長=（2+4+3+1+2）×2=24（厘米）。

所以，圖中所有長方形的周長之和為：12+10+6+8+18+12+10+20+16+24=136（厘米）。

張皮皮算完，一臉得意地看著我，我笑著說道：“你的答案的確是對(duì)的，但……過程太啰唆了，有沒有簡(jiǎn)便算法呢？”

聽到我的話，皮皮沉思了好一會(huì)兒才說道：“大長方形的長：每條邊上長為4、3、1、2的線段分別被全部長方形計(jì)算了4、6、6、4次;大長方形的寬：因?yàn)楣灿?+3+2+1=10個(gè)長方形，所以長度為2的寬被計(jì)算了10×2=20次，所以，總周長就是：2×（4×4+3×6+1×6+2×4）+2×20=136（厘米）。”

“周末見！”我收拾好書包，笑嘻嘻地拍了拍他的肩膀！

活用平移解難題

晚上，媽媽一臉緊張地坐在電視機(jī)前，盯著“三一五”晚會(huì)的直播。

但今晚有我特別喜愛的電視劇，直接搶遙控器又沒這個(gè)膽子，只好旁敲側(cè)擊地勸媽媽放棄電視。

“其實(shí)這晚會(huì)看不看嘛，都行。要是發(fā)現(xiàn)自己沒被騙，那就是浪費(fèi)時(shí)間;要是被騙了，反而更鬧心。”“像老媽這樣英明神武，怎么可能上別人的當(dāng)？”“你說對(duì)不，老爸你也勸勸嘛！”……

我正自顧自地說來說去。老媽突然給我來了個(gè)死亡對(duì)視，然后用緩慢的語氣說：“說得很有道理，那我就不看了！”

我剛要?dú)g呼，老媽下句話卻讓我如墜冰窟?！霸蹅儊斫獾罃?shù)學(xué)題?！?/p>

不等我分辨，一道題已經(jīng)擺在我的面前：

求所示圖形的周長（單位：厘米）

“這就是兩個(gè)邊長為50和10的長方形嘛，簡(jiǎn)單！”我略一思索，立刻動(dòng)筆計(jì)算起來：【（50+10）×2】×2=240（厘米）

“錯(cuò)！”媽媽簡(jiǎn)單干脆，“粗心鬼，重新審題。”

“呀！多算了一條邊GH。只要……”我正要修改，忽然發(fā)現(xiàn)了問題，“根據(jù)題意是無法知道EF的長度的。”

這一次我細(xì)心許多，仔細(xì)觀察圖形后發(fā)現(xiàn)：也許，可以用平移法來解！

矩形EFHG的邊長EF與GH長度一樣，正好可以移到GH處，這樣就可以使矩形ABCD變得完整。所以，這個(gè)組合圖形的周長就是矩形ABCD的周長再加上矩形EFGH的兩條已知邊長HF和GE。

即：（50+10）×2+50×2=220（厘米）

我正想炫耀，誰想媽媽已經(jīng)回到了電視前，喃喃自語道：“小弘要是算對(duì)了，就再出一道！”

變化中的規(guī)律

“楊弘，好久不見！”

周末，我睡了個(gè)大懶覺，剛迷迷糊糊地從臥室挪出來，就聽見一個(gè)熟悉的聲音！

“小沫！”我立刻來了精神，小沫是我以前的同桌兼好友，后來她跟隨父母去了別的城市。這一走，已經(jīng)有2年了！

“你回來了？”我不可置信地問道。

“她都來了半個(gè)小時(shí)了，就你還當(dāng)個(gè)懶豬，睡個(gè)沒完！”媽媽笑吟吟地從廚房探出頭?！澳銈兒煤镁劬郏医o你們準(zhǔn)備好吃的！”

可2年不見，我倆竟然有些生疏，不知道聊什么。忽然，我想到過去我們倆有個(gè)共同的愛好——數(shù)學(xué)難題，也許一道數(shù)學(xué)題就能重新拉近距離，找到當(dāng)初的感覺呢。

“這么久不見，讓我瞧瞧你的數(shù)學(xué)有沒有長進(jìn)？”我笑著說。

小沫點(diǎn)點(diǎn)頭。我立刻拿出昨天研究了好久才計(jì)算出來的一道數(shù)學(xué)難題：

將若干個(gè)邊長為1的正六邊形拼接起來，得到一個(gè)拼接圖形，如圖：

“要拼接成周長等于18的拼接圖形，需要多少個(gè)單位六邊形？還要畫出對(duì)應(yīng)的圖形哦?！?/p>

我說道：“要先從變化中尋找規(guī)律。”

小沫笑著點(diǎn)點(diǎn)頭，立刻用草紙計(jì)算起來：

在拼接圖形時(shí)，每增加一個(gè)單位六邊形，拼接圖形的周長要么不增加，要么增加2或4！

“不愧是小沫，一上來就找到了解題的關(guān)鍵?！蔽倚睦锇迪搿?/p>

小沫繼續(xù)在紙上一邊畫，一邊喃喃自語：無論怎么拼，兩個(gè)六邊形拼在一起的圖形的周長只能是10，18-10=8，那么只要計(jì)算出在兩個(gè)六邊形基礎(chǔ)上加多少個(gè)六邊形讓周長是18就好啦。

因?yàn)槠唇訄D形時(shí)，周長只有增加2或4兩種情況，8=4+4=4+2+2=2+2+2+2。

所以當(dāng)拼接圖形的周長等于18時(shí)，所拼接的單位六邊形有4個(gè)、5個(gè)、6個(gè)。

4個(gè)：

5個(gè)：

6個(gè)：

小沫計(jì)算完，抬頭笑著對(duì)我說：“這道題真夠難的，你的數(shù)學(xué)水平提升不小嘛！”

“那當(dāng)然，”嘴上這么說，我在心里卻暗暗慚愧，我可是算了一晚上呢！“不過你還是疏忽了一點(diǎn)，當(dāng)6個(gè)圖形圍起來的時(shí)候恰好可以覆蓋一個(gè)六邊形的所有邊，所以拼接的六邊形也可以是7個(gè)?！?/p>

小沫愣了一下，說：“哇，臭小子，給我講講，這兩年你的數(shù)學(xué)怎么進(jìn)步這么快。要不然，我饒不了你?！?/p>

奧幾何：有！長方形的周長=（長+寬）×2;正方形的周長=邊長×4。

糊涂王：你說的都是規(guī)則的圖形，要是碰到不規(guī)則的圖形怎么辦？

奧幾何：對(duì)于不規(guī)則的幾何圖形，可以用轉(zhuǎn)化的方法讓它們變成基本圖形，再利用周長公式求解。

糊涂王：有什么好的轉(zhuǎn)化方法嗎？

奧幾何：那……我這次殿試結(jié)果？

糊涂王：即刻起，本年度殿試的狀元、榜眼、探花都授予奧幾何一人。

奧幾何：感謝國王，我這就介紹幾種常見的轉(zhuǎn)化方法！