基于運動模糊圖像的數學模型建立與研究

張小圓 鄧昌瑞 汪遙遙 吳國斌 聶水晶

（江西工程學院，江西 新余338000）

人們在使用相機進行拍照時，由于相機與被拍攝物之間存在相對運動，運動模糊圖像的產生幾乎是不可避免的，探討在相對運動的狀態下模糊圖像產生的原因，進行機理分析并建立相應數學模型，為圖像修復提供理論上的依據的工作就很有價值和必要。

1 本文涉及的幾個重要符號說明

為探討問題方便，做如下符號說明。

T：相機的曝光時間；

f（x，y）：沒有受到噪聲干擾下圖像在點（x，y）處的像素灰度值，以下簡稱原圖像；

ε（x，y）：在點（x，y）處圖像所受到的噪聲或干擾；

g（x，y）：受到噪聲干擾圖像在點（x，y）處的像素灰度值，以下簡稱模糊（退化）圖像；

h（x，y）：在點（x，y）處的圖像退化函數，以下稱亦稱點擴展函數；

F（u，v）：f（x，y）的傅立葉變換；G（u，v）：g（x，y）的傅立葉變換；

H（u，v）：h（x，y）的傅立葉變換，即運動模糊傳遞函數。

2 運動模糊圖像產生的原因分析

要對由運動產生的模糊圖像進行復原處理，首先要了解運動模糊圖像的產生原因[1-3]。下面就被拍攝物在運動時所造成的模糊圖像原因進行更深度的探討。

為了研究方便，我們假設在拍攝時相機是靜止的，而被拍攝物體是相對運動的。拍攝過程可以用如下示意圖（見圖1）進行描述：在位置A 處被拍攝物體以速度V1（t）在曝光期間（從拍攝的開始運動到拍攝結束）運動到A'，相對應地被拍攝物在相機靶面上移運動的速度為V2（t），且其影像則從a 運動到a'（這里假設AA'//aa'）。假設在拍攝過程中被拍攝物產生的位移為D，所對應在相機靶面上的影像位移變化為L，相機的曝光時間為T，相機的最大焦距為fmax。

在拍攝期間被拍攝物產生的位移為：

相機在曝光時間[0，T]內的平均速度為：

被拍攝物在靶面上產生的位移為：

被拍攝物在相機靶面上的平均速度為：

圖1 拍攝運動情景模擬示意圖

相機所拍攝出的圖像實際上是在相機曝光期間所生成被拍攝物影像疊加而成的。由此可知，在相機的曝光期間，被拍攝物體由于運動產生了位置移動，造成被拍影像也變成其運動所產生的疊加圖像，從而產生了由運動原因引起的模糊現象。

（1）當V1（t）=0 時，A 與A' 相重合，則此時相機所拍攝的圖像最為清晰，此時曝光時間T 的變化，只會改變圖像的亮度，而不會導致運動模糊；

（2）被拍攝物體移動速度V1（t）變化較快時，產生的圖像就越模糊，此時曝光時間T 越大，圖像的模糊程度就越嚴重破。

3 運動模糊圖像數學模型的建立

要想對產生的運動模型圖像進行修復還原，就要從更深層的角度對產生模糊的原因進行機理分析[4-5]，以建立出相應的數學模型，從而可以為圖像復原做好理論依據。

3.1 圖像的退化過程分析

模糊圖像g（x，y）的形成，可以理解為是在拍攝過程中原圖像f（x，y）的退化、外界噪聲（或干擾）ε（x，y）所導致的，其圖像退化過程可以描述如下（見圖2）。

圖2 圖像退化過程示意圖

由此，模糊圖像的形成模型為：g（x，y）=f（x，y）*h（x，y）+ε（x，y）。

特別地，當ε（x，y）=0 時，有g（x，y）=f（x，y）*h（x，y）。

3.2 相對靜止或勻速直線運動下模糊圖像形成模型的建立

特別地，當被拍攝物體在拍攝期間做速度為V1（t）=V 的勻速直線運動時，顯然有f（x，t）≡f（x）。

3.3 變速非直線運動下模糊圖像形成模型的建立

在相機曝光時間內，物體不斷地在做變速非直線運動的情況比較復雜的多，此時可假設在t 時刻，物體相對運動的運動分量為（x0（t），y0（t）），此時顯然最終所得到的模糊圖像為：

對上式g（x，y）做傅氏G（u，v）變化，有

3.4 兩個重要參數的確定

令a=x0（T）Lcosθ，b=y0（T）Lsinθ，可得到

再對G（u，v）=F（u，v）H（u，v）進行傅氏逆變換，即可把得到的g（x，y）還原成f（x，y）。

4 結論

運動是絕對的，用相機拍攝圖像，不可避免的會因為相對運動而造成生成圖像變模糊。但是只要我們能從實際出發，做到認真分析模糊圖像產生的外在原因和進行科學的機理分析，總能并找到最佳解決的辦法，能把生成的模糊圖像最大限度地進行修復還原。