雙重向量積展開(kāi)法則的兩種證明方法*

馬寶林，李 帆

(河南科技學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)院，河南 新鄉(xiāng) 453003)

雙重向量積運(yùn)算是解析幾何中的重要內(nèi)容，其展開(kāi)法則更是向量代數(shù)的重點(diǎn)與難點(diǎn).文獻(xiàn)[1]中對(duì)雙重向量積展開(kāi)法則的證明是利用線性相關(guān)性化將一般形式化為特殊形式的方法進(jìn)行，證明過(guò)程繁瑣，套用結(jié)論較多，學(xué)生理解困難.文獻(xiàn)[2]利用坐標(biāo)法給出證明，較文獻(xiàn)[1]簡(jiǎn)單，但邏輯性太強(qiáng)，只適用于程度較好的學(xué)生.文獻(xiàn)[3]的證明比較特殊，相對(duì)比較直觀簡(jiǎn)單，但證明過(guò)程不夠完整.本文在以上文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，給出兩種更為一般的證明方法，且通過(guò)課堂實(shí)踐發(fā)現(xiàn)教學(xué)效果更佳.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[1]59給定空間三向量，先作其中兩個(gè)向量的向量積，再作所得向量與第三個(gè)向量的向量積，那么最后的結(jié)果仍然是一個(gè)向量，叫做所給的三個(gè)向量的雙重向量積.

2 雙重向量積展開(kāi)法則

(*)

依據(jù)引理2可知，

將二階行列式展開(kāi)有

X=aybxcy-aybycx-azbzcx+azbxcz=(aycy+azcz)bx-(ayby+azbz)cx

同理可得

所以，(*)成立，定理得證.

該證明方法依據(jù)雙重向量積與三階行列式的對(duì)應(yīng)關(guān)系而進(jìn)行，關(guān)鍵點(diǎn)在于行列式的展開(kāi)與項(xiàng)的合并，最后利用加項(xiàng)減項(xiàng)湊得數(shù)量積的運(yùn)算.思路清晰，過(guò)程簡(jiǎn)單，利于學(xué)生獨(dú)立完成證明.

由引理2得

依據(jù)內(nèi)積的定義可知，

所以，(*)成立.

該證明方法利用將三個(gè)向量置于直角標(biāo)架的特殊位置后產(chǎn)生的特殊坐標(biāo)而進(jìn)行，關(guān)鍵點(diǎn)在于向量坐標(biāo)的特殊性以及內(nèi)積的定義，等式兩端左右開(kāi)弓，形成結(jié)論.運(yùn)算簡(jiǎn)單，邏輯清晰，更有利于學(xué)生發(fā)散性思維的培養(yǎng).

(**)

3 結(jié)語(yǔ)

三向量的雙重向量積是解析幾何中的一個(gè)重要內(nèi)容，其應(yīng)用也非常廣泛，特別在向量代數(shù)、恒等式證明和基本圖形的位置關(guān)系以及公垂線方程的求解等方面有著重要的應(yīng)用，本文的兩種證明方法更為一般化，第一種適合運(yùn)算能力較強(qiáng)的學(xué)生，第二種適合邏輯能力較強(qiáng)的學(xué)生，二者具有互補(bǔ)作用，為學(xué)習(xí)解析幾何與相關(guān)專業(yè)研究提供參考.