讓“數形結合”思想在高中數學課堂中綻放異彩

劉靜

【摘 要】本文論述培養學生數形結合思想方法的措施，結合具體教材內容合理運用數形結合方法，借助信息技術手段營造數形結合情境，借形助數直觀展現數量關系，形數結合發掘隱含條件，數形轉化發展學生思維能力，并精心設計專題訓練，以加強數形結合方法的應用能力。

【關鍵詞】高中數學 數形結合思想 數形轉化 專題訓練

【中圖分類號】G? 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2020）01B-0148-03

數和形是研究數學的兩大元素，數形結合是一種重要的數學思想。通常分為兩種情形，一種是運用數的精確性來表述形的屬性，另外一種是借助形的直觀、形象來闡明數之間的關系，兩者相互促進。在高中數學教學中，知識難度、深度有所增加，數形結合思想是一種解決問題的有效的教學方法。教師可以通過形象具體的圖片直觀展示抽象的知識，或者用數量揭示幾何關系，讓數學課堂變得更為精彩。

一、結合具體教材內容，合理運用數形結合方法

自從新課改實施以來，高中數學教材內容也有所調整，不少知識都蘊含一定的數形結合思想。這是新課改的一大發展趨勢，使數學知識要點與數形結合思想之間的關系更為密切。在高中數學教學中，為讓數形結合思想在課堂上綻放異彩，教師首先需認真分析和研讀教學內容，善于從中提取有關數形結合的知識點，然后據此有針對性地滲透數形結合思想。轉變教學形式與學生的學習方式，使他們在數形結合思想輔助下更好地學習與理解數學知識。

例如，在北師大版高中數學必修 1 第一章《集合》教學時，教師可以這樣引入，請全班同學起來，然后請女生坐下，讓學生觀察、思考，可否用畫圖的方式來表示女生與男生及全班同學的關系。他們可能會想到，畫一個大圓表示全班同學，再將大圓分成兩個部分，一部分代表站立的男生，另外一部分代表坐下的女生，使其逐步認識集體與部分，部分與部分之間的關系。教師以此為切入點講解集合的概念，逐步認識集合。利用圖形進一步講解集合和集合中的元素，以及集合中元素的特點。利用圖與數的關系詮釋集合概念的形成過程。

教師結合教材內容有針對性地滲透數形結合思想，引導學生在數形結合下認識和理解概念，增強他們的直觀認識和記憶力，提高學習質量。

二、借助信息技術手段，營造數形結合情境

近年來，隨著信息技術的飛速發展和廣泛應用，多媒體教學設備已經普及，給課堂教學形式與內容帶來巨大改變。在高中數學課程教學中教師需緊跟時代潮流，借助信息技術手段直觀化、形象性的優勢，通過圖形或動畫形式將部分抽象難懂的知識呈現出來，營造生動、具體的數形結合情境。為學生提供一個良好的學習平臺，使其在信息技術引領下展開思考、分析和討論，鍛煉他們的學習能力與探究能力，深化認識數形結合思想。

比如，在實施北師大版高中數學必修 4 第二章《平面向量的線性運算》教學時，學生已經了解向量的表示方法，零向量、平行向量、單位向量、相等向量等概念，教師可設置這樣的問題：（1）類比數的加法猜想向量的加法，需怎樣定義向量的加法？（2）加法法則是什么？與數的運算法則有什么不同？然后讓他們進行分析。因為向量是既有大小又有方向的量，所以教師可引導學生聯系物理中位移的概念，并在課件中出示圖 1，展示設置的問題：某人從 A 點經 B 點到 C 點，與從點 A 直接到點 C 的位移是否一樣？學生很快就知道，從 A 點直接到 C 點的位移? 是 A 點經 B 點到 C 點的位移? 和? 的合成，即位移 。也就是說，A 點經 B 點到 C 點的位移? 和? 的結果與 A 點直接到 C 點的位移? 結果相同。然后引入向量運算方法，讓學生清晰地了解向量加法的定義，直觀理解計算過程。令 ，，則向量? 叫做? 與? 的和，記作 ，即 。令 ，則 。讓他們知道，數學中向量和的運算方法跟矢量的加運算一樣。

教師充分借助信息技術手段直觀、形象的優勢，將向量加法計算過程生動、具體地呈現出來，營造數形結合情境。不僅便于學生理解向量加法的意義，而且更具趣味性。

三、借形助數，直觀展現數量關系

由于“數”和“形”是一種對應關系，有些數量較為抽象，學生難以把握，而“形”具有形象、直觀的優勢，能表達出較多的具體思維內容。因此，我們可將數量轉化為圖形來分析和處理問題。在高中數學教學過程中，教師可以采用以數化形的方法，把一些難懂抽象的有關數量關系的數學形式進行化解，通過圖形的方式直觀呈現出來，以此降低學生對知識的理解難度，利用圖形輔助分析、推理，最終解決數量問題。

在開展北師大版高中數學必修 4 第一章第 4 節《任意角的三角函數》教學時，教師可以這么提問，銳角三角函數是否能推廣至任意角？讓學生先獨立思考，再相互討論。然后引導學生畫圖，在 Rt△MOP 中，∠M 為直角，OP 為斜邊，∠MOP=α，于是 ，，。但這僅能表示銳角的三角函數，使其產生認知沖突，發現以前用直角三角形的銳角的對邊、鄰邊、斜邊之間的比值來表示三角函數的方法在此行不通。接著畫一個直角坐標系，用角終邊上點的坐標表示銳角三角函數，設銳角 α 的頂點與原點 O 重合，始邊與 x 軸的正半軸重合，那么它的終邊就在第一象限。在 α 的終邊上任取一點 P，設點 P 坐標為（x，y），它與原點的距離 ，過 P 作 x 軸的垂線，垂足為 M，則線段 OM 的長度為 x，線段 MP 的長度為 y，使其結合平面直角坐標系表示角 α 正弦、余弦和正切，那么就可以用這種方法求任意角的三角函數值。

教師指導學生先用幾何圖形求銳角三角函數的正弦、余弦和正切，然后再借助平面直角坐標系求銳角三角函數的正弦、余弦和正切，借助圖形將數學符號直觀地展現出來，降低理解難度。

四、形數結合，發掘隱含條件

雖然圖形有直觀、形象的特點，但在定量方面還必須借助數量來計算。特別是對于較復雜的圖形來說，既要把圖形準確數量化，又需留心觀察圖形特點，發掘其中的隱含條件，利用圖形的幾何意義和性質，準確地把圖形中的數量關系找出來，然后分析計算。在高中數學教學中，教師需組織學生仔細觀察和認真分析圖形，把圖形中的各元素之間的關系轉化成數量關系或運算形式，以有效解答問題。樹立以形化數的數學思想，掌握高效的學習方法。

以北師大版高中數學必修 2 第三單元《直線的方程》教學為例，教師可以設置例題如下：

求點 P（-1，4）到直線 l：（m+1）x+（2-m）y+m-5=0 的距離 d 的最大值。

設 Q 是直線 l 上的任意一點，因為點與線之間最短距離是垂線段，所以 d≤PQ，當且僅當 PQ⊥l 時兩者相等，此時 d 取得最大值為丨PQ丨。學生雖然能畫出草圖，但難以求出答案。這時要用到以形化數的方法，將原方程轉化為 x+2y-5+m（x-y+1）=0，表示直線過 x+2y-5=0 與 x-y+1=0 直線的交點，據此求出 x=1，y=2，兩直線交點是 Q（1，2），即直線 l 恒過定點 Q（1，2）。當 PQ⊥l 時，d 取最大值 。

圖數結合，將數的問題與圖的問題進行結合，給學生充足的觀察與思考時間，激活思維，引導他們高效、快速地解答方程問題。

五、數形轉化，發展學生思維能力

在數形結合思想中，數量與圖形是能夠相互轉化的，有些知識或問題并非純粹的以數化形，或以形化數，而是要兩者之間相互轉化。在高中數學教學中，教師需依據具體的知識與問題，引領學生從已知出發，認真分析并找出數量與圖形的相互轉變關系。通常的方法是看到圖形思考數量、見到數量想象圖形，也就是說，以數化形、以形變數，兩者相結合，把繁瑣抽象的數學問題進行簡單化處理，提升學生運用數形結合思想的能力。

在北師大版高中數學必修 1 第二章《函數》教學實踐中，有這樣一道例題：

已知函數 ，如果 f（x0）>1，求 x0 的取值范圍。

本題主要考查函數的基本知識，可利用函數的單調性解不等式或借助數形結合思想解題。教師可先介紹一般解法，讓 x>0， 或 x≤0，2x-1>1，解得 x<-1 或 x>1。然后講述數形結合法，要求學生在平面直角坐標系中畫出函數 y=f（x）的圖象與直線 y=1。他們就能清晰地看到兩者的交點是（-1，1）和（1，1），由 f（x0）>1 得出 x0<-1 或 x0>1。

隨后教師可設置類似題目：已知函數 f（x）是定義在 R 上的奇函數，當 x≥0 時，f（x）=x（1+x），試求當 x<0 時函數 f（x）的解析式。讓學生繼續運用數形結合思想解題。

教師指導學生先將題目中的數量轉化為圖形，再根據圖形轉化成數量關系，實現數與形之間的靈活轉化。以此活躍學生的思維，讓他們學會準確運用數形結合方法解題。

六、精心設計專題訓練，加強數形結合方法的應用能力

在高中數學教學中，涉及數形結合的知識點很多，比如，集合、函數、方程與不等式、三角函數、解析幾何、立體幾何等。教師要想提高學生運用數形結合思想的能力，那么就要在課堂教學中精心設計專題訓練，專門設置一些適合運用數形結合方法解決的題目，觸類旁通，使其掌握解題方法，形成知識遷移能力，提高他們的解題能力。

在北師大版高中數學必修 5 第三章《不等式》教學中，當學習完本章知識內容后，教師可圍繞數形結合思想開展專題訓練，設置需要利用數形結合思想求解的練習題。如，已知不等式? 的解集為（0，4]，那么 a 的取值范圍是什么？教師要求學生先在同一平面直角坐標系內分別作出 y=ax 和? 的圖象，然后進行求解。令 y=ax，，得到 0≤x≤4。因此 y=ax 是過原點且斜率是 a 的直線;（0≤x≤4）是圓心坐標為（2，0），半徑為 2 的圓，但它僅是在 x 軸及 x 軸上方的部分。不等式? 的幾何意義是半圓在（0，4]上，恒處于直線的上方。如圖 3 所示，由此可知當 a<0時，上述結論成立，所以 a 的取值范圍為 a<0。

教師圍繞數形結合思想設計專題訓練，為學生提供更多運用數形結合思想分析和解答題目的機會，使他們學會舉一反三，使數學課堂綻放異彩。

在高中數學課堂教學中，教師需綜合多個方面的有利因素融入數形結合思想，全力提升課堂的精彩程度。對學生進行熏陶與感染，使其學會主動運用數形結合思想學習知識和解答題目，進而提高他們的綜合素質。

【參考文獻】

[1]汪冬興.數形結合在高中數學教學中的價值滲透[J].數學大世界（下旬），2019（8）

[2]王仁貴.淺析高中數學教學中數形結合方法的應用[J].學苑教育，2019（18）

（責編 盧建龍）