單跳移動的分子通信系統(tǒng)的信道容量和比特錯(cuò)誤率分析

程 珍，章益銘，涂宇淳

(浙江工業(yè)大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院， 杭州 310023)

E-mail ：chengzhen@zjut.edu.cn

1 引 言

目前，分子通信(Molecular communication，MC)的研究主要集中在靜態(tài)MC系統(tǒng)[1,2].在靜態(tài)MC中，發(fā)送方納米機(jī)器(Transmitter Nanomachine，TN)和接收方納米機(jī)器(Receiver Nanomachine，RN)是固定的.而在移動的MC中，納米機(jī)器均處于移動的狀態(tài)，這在很多實(shí)際應(yīng)用，例如在人體內(nèi)藥物投送、健康監(jiān)測、目標(biāo)檢測等應(yīng)用中更為常見[3,4].因此，移動的MC是納米網(wǎng)絡(luò)中最為實(shí)用的分子通信方式.

移動的MC技術(shù)的研究還在起步階段.最早期移動MC的工作來自于2012年Guney等人的工作[5]，他們設(shè)計(jì)了可移動的ad hoc分子納米網(wǎng)絡(luò)，研究了影響該納米網(wǎng)絡(luò)平均發(fā)送時(shí)延和吞吐量性能的因素.2014年，Kuscu等人[6]采用具有連續(xù)時(shí)間的馬爾可夫鏈生滅過程對單比特信息傳播進(jìn)行建模，并分析了移動ad hoc分子納米網(wǎng)絡(luò)的信道容量和通信速率.2016年，Luo等人[7]提出了移動MC的時(shí)鐘同步策略，并通過基于最大似然估計(jì)的時(shí)鐘偏移估計(jì)方法推導(dǎo)了時(shí)鐘偏移估計(jì)量.同年，Qiu等人[8]為了減少移動納米機(jī)器人間的符號換位錯(cuò)誤，提出了位置距離碼，該編碼方式較漢明距離碼大大降低了系統(tǒng)的比特錯(cuò)誤率.

納米機(jī)器的移動方式和移動軌跡是研究移動MC系統(tǒng)的重點(diǎn).2017年，Iwasaki等人[9]為非擴(kuò)散的移動MC網(wǎng)絡(luò)的建立了數(shù)學(xué)模型，數(shù)學(xué)分析表明了處于穩(wěn)態(tài)的納米機(jī)器將根據(jù)給定的目標(biāo)分布進(jìn)行分布.Nakano等人[10]建立了基于領(lǐng)導(dǎo)者-追隨者模式的移動MC模型，該模型可用于移動MC納米網(wǎng)絡(luò)的目標(biāo)檢測.Haselmayr等人[11]在一維無界的流體環(huán)境中建立基于高斯分布的隨機(jī)信道模型，推導(dǎo)出納米機(jī)器第一次碰撞時(shí)間的概率密度函數(shù).同年，文獻(xiàn)[12]采用布朗運(yùn)動來模擬納米機(jī)器的移動性，通過適當(dāng)修改信息分子的擴(kuò)散系數(shù)來準(zhǔn)確捕獲信道的時(shí)變行為，并推導(dǎo)出了適用于該系統(tǒng)的簡單檢測器的預(yù)期錯(cuò)誤率.

2018年，Ahmadzadeh等人[13]建立了三維的點(diǎn)對點(diǎn)移動MC的隨機(jī)信道模型，得到了信道脈沖響應(yīng)的概率密度函數(shù)和累積分布函數(shù)的表達(dá)式.Chang等人[14]考慮到移動MC中納米機(jī)器之間距離的動態(tài)變化將引起信道脈沖響應(yīng)和ISI的改變，提出了相應(yīng)的信號檢測方案以及減少ISI的方案.Lin等人[15]考慮了碼間干擾ISI以及與信道脈沖響應(yīng)相關(guān)的噪聲，推導(dǎo)出了該信道條件下單跳移動MC系統(tǒng)的互信息和最大可達(dá)速率的計(jì)算公式.

與已有的工作相比較，論文[13]建立了移動的MC系統(tǒng)的隨機(jī)信道模型，并用布朗運(yùn)動模擬發(fā)送方和接收方納米機(jī)器的移動性，但沒有分析該移動分子通信系統(tǒng)的信道容量性能.論文[15]利用正態(tài)分布對接收方納米機(jī)器的接收概率密度分布進(jìn)行逼近，本文則采用泊松分布逼近二項(xiàng)分布，豐富了系統(tǒng)的建模.本文分析了該單跳移動MC系統(tǒng)的信道特征，推導(dǎo)出在多時(shí)隙碼間干擾(Inter-symbol interference，ISI)下該系統(tǒng)的信道容量和比特錯(cuò)誤率.此外，采用加權(quán)和檢測器對RN進(jìn)行建模，得到了最佳的判決值，可通過控制系統(tǒng)參數(shù)的值，從而達(dá)到提高信道容量和降低比特錯(cuò)誤率的目的.

2 系統(tǒng)模型

考慮由一個(gè)TN，一個(gè)RN以及流體介質(zhì)構(gòu)成的一維移動的MC系統(tǒng)，并假定環(huán)境足夠大而使邊界不會限制傳播.TN和RN相隔一定距離且位于同一直線上，且假設(shè)TN和RN滿足時(shí)間上的同步.

考慮分時(shí)隙的移動MC系統(tǒng)，即t=nTs，其中t為信息傳輸?shù)臅r(shí)間，n為時(shí)隙的個(gè)數(shù)，Ts為每個(gè)時(shí)隙持續(xù)的時(shí)間.在每個(gè)時(shí)隙開始時(shí)，TN發(fā)送QA個(gè)A類型的信息分子表示發(fā)送信息比特1，不發(fā)送任何分子表示發(fā)送信息比特0.被TN釋放的信息分子在流體介質(zhì)中遵循布朗運(yùn)動規(guī)則，可擴(kuò)散至RN的檢測范圍，被RN接收.被RN接收到的分子不再存在于流體介質(zhì)中.

先考慮一維靜態(tài)的MC系統(tǒng)，即TN和RN的距離保持不變.則一個(gè)TN釋放的分子被RN收到的關(guān)于時(shí)間t的概率密度函數(shù)f(t)可表示為[2]：

(1)

其中，d0表示兩個(gè)納米機(jī)器TN和RN之間的距離，DA表示A類型的信息分子在介質(zhì)中的擴(kuò)散系數(shù).

圖1 單跳移動的MC系統(tǒng)

(2)

(3)

假設(shè)TN和RN的運(yùn)動相互獨(dú)立，并且它們無法穿過彼此，那么根據(jù)[11]中的結(jié)論，k個(gè)時(shí)隙后，信息分子首次進(jìn)入RN檢測范圍的時(shí)間滿足的概率密度分布函數(shù)如下：

(4)

其中，Dtot=DTN+DRN，Dp,eff=DRN+DA，f(t)為公式(1)所定義的概率密度分布函數(shù)，d0為TN和RN的初始距離，erf(x)是標(biāo)準(zhǔn)的誤差函數(shù).不難看出，當(dāng)DTN=DRN=0 m2/s時(shí)，即在TN和RN都固定的情況下，公式(4)即為公式(1).由公式(4)可知，f(t;k)的累積分布函數(shù)的累積分布函數(shù)用F(t;k)表示，即為在t時(shí)刻內(nèi)一個(gè)分子從發(fā)送方納米機(jī)器TN到達(dá)接收方納米機(jī)器RN的概率，即：

(5)

3 系統(tǒng)信道容量分析

對于RN接收分子和解碼過程，我們參考論文[16]中所述的方法，通過采用加權(quán)和檢測器對RN接收到的分子進(jìn)行解碼，即將一個(gè)時(shí)隙周期劃分成多個(gè)獨(dú)立的更小的時(shí)間間隔，并將這些時(shí)間間隔內(nèi)RN收到的總分子數(shù)與檢測閾值比較，如果總分子數(shù)大于檢測閾值，則判定RN收到的比特為1；否則，判定RN收到的為比特0.假設(shè)第n個(gè)時(shí)隙檢測到的比特為Y[n]，則有:

(6)

其中，y[n]表示RN在第n個(gè)時(shí)隙結(jié)束時(shí)收到的分子數(shù)，ξ表示在RN處設(shè)定的用來判定RN收到的比特對應(yīng)的檢測閾值.更具體地，我們將時(shí)隙周期Ts劃分成M等份，將劃分后的時(shí)間間隔t0稱為樣本時(shí)間，則有：

t0=Ts/M

(7)

用tm表示第一個(gè)比特間隙中的第m個(gè)樣本時(shí)間，即有：

tm=mt0

(8)

用t(n,m)表示第n個(gè)比特間隙的第m個(gè)樣本時(shí)間，由(8)可知，t(n,m)表示如下：

t(n,m)=(n-1)Ts+tm

(9)

(10)

假設(shè)S[n]表示TN在第n個(gè)時(shí)隙發(fā)送的比特，即S[n]∈{0,1}.因此，在S[n]已知的前提下，N[n]所服從的累積分布函數(shù)可表示如下：

(11)

其中，ξ表示RN的檢測閾值.

3.1 干擾分析

RN在當(dāng)前時(shí)隙n收到的分子總數(shù)y[n]由兩部分構(gòu)成，1) RN接收來自TN當(dāng)前時(shí)隙n釋放的分子數(shù)，用NC[n]表示；2) 由ISI產(chǎn)生干擾的分子數(shù)，用NISI[n].則y[n]表示如下：

y[n]=NC[n]+NISI[n]

(12)

(13)

其中，QA表示TN發(fā)送比特1時(shí)釋放的分子數(shù)，F(xiàn)(t(n-i+1,m))以及F(t(n-i+1,m-1))可結(jié)合公式(6)和公式(10)進(jìn)行計(jì)算.

RN在當(dāng)前第n時(shí)隙結(jié)束時(shí)收到來自TN在當(dāng)前時(shí)隙釋放的分子個(gè)數(shù)用NC[n]表示，則NC[n]是一個(gè)泊松隨機(jī)變量，即NC[n]～Poisson(λC)，λC表示該泊松分布的均值.若用p1表示TN發(fā)送比特1的概率，發(fā)送比特0的概率則為(1-p1)，那么根據(jù)公式(14)，均值λC滿足如下等式：

(14)

同理，由于多個(gè)泊松隨機(jī)變量之和仍服從泊松分布，則NISI[n]滿足NISI[n]～ Poisson(λISI)，其均值λISI為：

(15)

3.2 信道容量分析

用Xn和Yn分別表示TN和RN在第n個(gè)時(shí)隙開始和結(jié)束時(shí)對應(yīng)的輸入和輸出比特信息.假設(shè)TN在第n個(gè)時(shí)隙開始輸入比特信息為0，RN在第n個(gè)時(shí)隙結(jié)束時(shí)輸出比特信息為1的概率(誤報(bào)率)用PF表示；TN輸入為1，RN輸出為1的概率(檢測率)PD表示.則根據(jù)PF和PD的定義，我們有：

(16)

根據(jù)互信息定義，Xn和Yn的互信息I(Yn|Xn)可表示為：

(17)

而信道容量表示為互信息的最大值，由(17)式可得：

C=max(I(Xn;Yn))

(18)

H0表示TN在第n個(gè)時(shí)隙發(fā)送比特為0的假設(shè)情況，H1表示TN在第n個(gè)時(shí)隙發(fā)送比特為1的假設(shè)情況.在H0和H1假設(shè)情況下，RN在第n個(gè)時(shí)隙結(jié)束時(shí)收到的分子數(shù)用Zn表示，即有：

(19)

其中，NISI[n]和NC[n]可由公式(14)和公式(15)求得.用z表示隨機(jī)變量Zn的值，則由上節(jié)的分析可知，Zn在H0和H1兩種情況下均服從泊松分布，即滿足：

(20)

其中，λ0和λ1分別表示(20)式中兩個(gè)泊松分布的參數(shù).由(19)式可知，λ0和λ1的計(jì)算公式如下：

(21)

利用最小誤差準(zhǔn)則[18]建立得到RN處閾值檢測的檢測方案，表示如下：

(22)

其中，P(H1)=p1，P(H0)=1-p1.P(H1)和P(H0)分別表示TN發(fā)送比特1和0的概率.P(z|H1)和P(z|H0)分別表示H0和H1假設(shè)情況下RN收到z個(gè)分子的概率，Λ(z)為似然比，表示為：

(23)

(24)

因此，根據(jù)公式(23)和公式(24)，我們可以得到似然比為：

(25)

由公式(23)和公式(25)，可得：

(26)

用ξopt表示最佳的判決閾值，則對公式(26)進(jìn)一步求解得：

(27)

在最優(yōu)檢測閾值ξopt的計(jì)算公式基礎(chǔ)上，公式(16)中定義的PD和PF的計(jì)算結(jié)果如下：

(28)

因此，由公式(28)可知，RN接收來自TN信息的比特錯(cuò)誤率Pe可表示為：

Pe=p1(1-PD)+(1-p1)PF

(29)

4 仿真結(jié)果

本節(jié)將通過Matlab數(shù)值仿真來展示單跳移動的MC系統(tǒng)在不同參數(shù)下的信道容量以及比特錯(cuò)誤率，參數(shù)包括：TN和RN之間的初始距離，A類型信息分子、TN和RN在流體環(huán)境中的擴(kuò)散系數(shù)、時(shí)隙個(gè)數(shù)、樣本個(gè)數(shù)、時(shí)隙長度以及TN的先驗(yàn)概率.參數(shù)的取值范圍可參考表1.

表1 仿真參數(shù)

Table 1 Simulation parameters

參數(shù)定義取值范圍TN和RN間的初始距離d0{1,3,5}μmA分子的擴(kuò)散系數(shù)DA5×10-10 m2/sTN的擴(kuò)散系數(shù)DTN{0.01,1,100}×10-10 m2/sRN的擴(kuò)散系數(shù)DRN{0.01,1,100}×10-10 m2/s時(shí)隙長度Ts{0.01,0.1,1} ms樣本數(shù)量M20時(shí)隙個(gè)數(shù)k{10,20,50}每個(gè)時(shí)隙發(fā)送的分子數(shù)QA0-3000TN先驗(yàn)概率p10-1

4.1 信道容量

如圖2所示，周期長度Ts分別取0.01 ms，0.1 ms，1 ms三種情況下，TN與RN的互信息I(X,Y)隨QA增大的變化趨勢.固定先驗(yàn)概率p1的值為0.5，由圖2可知，一方面，TN與RN的互信息隨QA的增大而變大，并在一定值后達(dá)到最大值；另一方面，周期長度的變大也將導(dǎo)致I(X,Y)的增大.另外，周期越長，信息分子在發(fā)出周期內(nèi)就被RN接收的概率越大，相應(yīng)的ISI就越小.

圖3中，當(dāng)TN與RN的初始距離d0不同時(shí)，TN與RN的互信息I(X,Y)隨TN的先驗(yàn)概率p1增大的變化關(guān)系圖.設(shè)置參數(shù)Ts=0.3 ms，k=20，QA=500.從圖3中的仿真結(jié)果可以看出，I(X,Y)均隨p1先增大，到達(dá)峰值后減小，但初始距離越大，I(X,Y)到達(dá)峰值時(shí)的先驗(yàn)概率越小.此外，TN與RN的距離越近，它們的互信息越大.產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因是：縮短TN和RN之間的距離將導(dǎo)致RN接收TN當(dāng)前時(shí)隙發(fā)出的分子的概率變大的同時(shí)減小了ISI，從而使互信息變大.

圖4展示了TN與RN的互信息I(X,Y)在時(shí)隙個(gè)數(shù)k取3，20，50三個(gè)不同值時(shí)，隨TN的先驗(yàn)概率p1增大的變化關(guān)系.設(shè)置QA=500，Ts=0.3 ms.不難發(fā)現(xiàn)，與圖3類似，I(X,Y)隨p1的增大同樣呈現(xiàn)先逐漸增大至峰值后減小的趨勢，同時(shí)，當(dāng)時(shí)隙個(gè)數(shù)越多，互信息I(X,Y)越小.這是因?yàn)樵趉值較小時(shí)，TN與RN之間的距離變化并不明顯，因此曲線所呈現(xiàn)的變化關(guān)系與TN和RN都固定的情況相似.而隨k值的增大，TN與RN之間距離增大的可能性變大，導(dǎo)致RN接收到TN當(dāng)前時(shí)隙發(fā)來分子的概率減小，從而使互信息變小.

圖2 互信息I(X,Y)與TN每個(gè)時(shí)隙發(fā)送的分子數(shù)的關(guān)系

圖3 不同d0取值情況下，互信息I(X,Y)與p1的關(guān)系

圖4 不同k取值情況下，互信息I(X,Y)與p1的關(guān)系

圖5展示了RN的擴(kuò)散系數(shù)取不同值時(shí)，互信息I(X,Y)隨TN的先驗(yàn)概率p1增大的變化關(guān)系.固定DTN為10-10m2/s，DRN分別取10-12m2/s，10-10m2/s，10-8m2/s.從圖5中可以看出，I(X,Y)隨p1增大呈現(xiàn)先逐漸增大，在到達(dá)某一個(gè)特定的最大值之后逐漸減小；同時(shí)，RN的擴(kuò)散系數(shù)越大，I(X,Y)越小.這是因?yàn)镽N的擴(kuò)散系數(shù)越大意味著RN在流體環(huán)境中的運(yùn)動越劇烈，而導(dǎo)致它位置變化的隨機(jī)性越高，RN接收分子的不確定性也就越大，從而導(dǎo)致更大的錯(cuò)誤率.

4.2 比特錯(cuò)誤率

下面介紹了比特錯(cuò)誤率Pe與QA在系統(tǒng)相關(guān)參數(shù)M和DTN取不同值時(shí)的變化情況.

圖6描繪樣本數(shù)量M分別取5，20，50三個(gè)值時(shí)，比特錯(cuò)誤率Pe隨TN每個(gè)時(shí)隙發(fā)送的分子數(shù)QA增大的變化情況.圖中的參數(shù)為：t0=0.01 ms，DTN=DRN=10-9m2/s.由圖6可知，當(dāng)TN發(fā)送比特1釋放的分子數(shù)越多，比特錯(cuò)誤率越小；同時(shí)，樣本數(shù)量越大，比特錯(cuò)誤率同樣也越小.出現(xiàn)這種情況的原因是：一方面，QA越大代表比特1的分子數(shù)越多，即發(fā)送比特1和發(fā)送比特0兩者的差別也就越大，區(qū)分度越高，發(fā)生錯(cuò)誤的概率也就越小；另一方面，在樣本時(shí)間t0固定的情況下，由于t0=TS/M，則當(dāng)樣本數(shù)量M增加的情況下，每個(gè)時(shí)隙的持續(xù)時(shí)間TS也增大，那么在當(dāng)前時(shí)隙釋放的分子被RN接收的概率也增大，從而產(chǎn)生相應(yīng)的ISI減小，發(fā)生錯(cuò)誤的概率也隨之減小.

在圖7中，設(shè)置TN的擴(kuò)散系數(shù)DTN分別取10-12m2/s，10-10m2/s，10-8m2/s，固定DRN=10-9m2/s.觀察圖7不難發(fā)現(xiàn)，一方面，比特錯(cuò)誤率Pe隨TN每個(gè)時(shí)隙發(fā)送分子數(shù)的增多而降低，這是因?yàn)镼A的增大有效地提高了信噪比；另一方面，DTN越大，Pe越小.這是因?yàn)門N擴(kuò)散系數(shù)的增大，意味著TN運(yùn)動變得更加劇烈，位置變化的不確定性引起信息傳輸?shù)牟淮_定性，導(dǎo)致錯(cuò)誤率增加.此外，當(dāng)DTN達(dá)到10-8m2/s，系統(tǒng)出現(xiàn)過大的錯(cuò)誤率，因此，在單跳移動分子通信系統(tǒng)中，需要調(diào)節(jié)流體的溫度，納米機(jī)器的大小等因素來控制納米機(jī)器的擴(kuò)散系數(shù)，以避免信息傳輸出現(xiàn)過大的錯(cuò)誤率.

圖5 不同DRN取值情況下，互信息I(X,Y)與p1的關(guān)系

圖6 不同M取值情況下，比特錯(cuò)誤率Pe與QA的關(guān)系

圖7 不同DTN取值情況下，比特錯(cuò)誤率Pe與QA的關(guān)系

5 結(jié)束語

首先針對TN和RN都遵循布朗運(yùn)動規(guī)律隨機(jī)移動的場景，建立了一維的單跳的MC系統(tǒng)模型，并分析了系統(tǒng)的通信特征；接著，采用加權(quán)和檢測器對RN進(jìn)行建模，并用泊松分布逼近二項(xiàng)分布得到了RN在第n個(gè)時(shí)隙接收到的分子總數(shù)，得到了該系統(tǒng)信道容量和比特錯(cuò)誤率的計(jì)算公式；最后，仿真結(jié)果表明，兩個(gè)納米機(jī)器TN和RN的擴(kuò)散系數(shù)越大，即它們的移動性越強(qiáng)，系統(tǒng)的信道容量就越低，并且隨時(shí)間的推移(時(shí)隙個(gè)數(shù)k的增加)，TN和RN的位置會發(fā)生更多的不確定性，也會導(dǎo)致系統(tǒng)的信道容量降低.此外，縮短TN和RN的初始距離，延長每個(gè)時(shí)隙持續(xù)的時(shí)間，增大TN每個(gè)時(shí)隙釋放的分子數(shù)可提高該系統(tǒng)的信道容量，降低比特錯(cuò)誤率.