賞析解析幾何中的典型問(wèn)題

■江蘇省無(wú)錫市第六高級(jí)中學(xué) 陳偉斌

■江蘇省無(wú)錫市青山高級(jí)中學(xué) 張啟兆

解析幾何是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,也是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容。解析幾何的核心觀點(diǎn)就是恰當(dāng)運(yùn)用代數(shù)的方法解決幾何問(wèn)題,基本思想是數(shù)形結(jié)合思想,核心方法是坐標(biāo)法。數(shù)形結(jié)合思想和坐標(biāo)法是統(tǒng)領(lǐng)全局的,解析幾何就是在坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上,用代數(shù)的方法研究幾何問(wèn)題的一門學(xué)科。同學(xué)們?cè)趶?fù)習(xí)過(guò)程中要注意積累解決解析幾何的基本問(wèn)題及典型問(wèn)題的常用方法、技巧,提高解題能力,確保復(fù)習(xí)效果。

一、存在性問(wèn)題

解析幾何中探究存在性問(wèn)題實(shí)質(zhì)上是探索結(jié)論的開放性問(wèn)題,是在一定的條件下判斷某種數(shù)學(xué)對(duì)象是否存在的問(wèn)題,它有結(jié)論存在和結(jié)論不存在兩種情形,解答這類問(wèn)題,一般先對(duì)結(jié)論作肯定存在的假設(shè),然后由此出發(fā),結(jié)合已知條件進(jìn)行推理論證。若導(dǎo)出矛盾,則說(shuō)明先前假設(shè)錯(cuò)誤;若推出合理的結(jié)論,則說(shuō)明先前假設(shè)正確,由此得出問(wèn)題的結(jié)論,“假設(shè)—推證—結(jié)論”是解答此類問(wèn)題的三個(gè)步驟。

(Ⅰ)求橢圓C的方程。

(Ⅱ)AB是經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)F的任一弦(不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P),設(shè)直線AB與直線l相交于點(diǎn)M,記PA,PB,PM的斜率分別為k1,k2,k3。

(1)是否存在直線AB,使得PF是∠BPA的角平分線?若存在,求出直線AB的方程;若不存在,說(shuō)明理由。

(2)是否存在常數(shù)λ,使得k1+k2=λk3?若存在,求出λ的值;若不存在,說(shuō)明理由。

分析：(Ⅰ)利用橢圓中三個(gè)參數(shù)a,b,c之間的關(guān)系a2=b2+c2,以及橢圓的離心率和橢圓上一點(diǎn),三個(gè)方程三個(gè)未知數(shù)可以解出a,b,c。

(Ⅱ)(1)假設(shè)存在滿足條件的直線AB。注意到PF⊥x軸,PF是∠BPA的角平分線,可以轉(zhuǎn)化為kPA=-kPB,設(shè)PA的斜率為k,進(jìn)而得到PA的方程,與橢圓方程聯(lián)立后可以用k表示出A點(diǎn)坐標(biāo),用-k代替k即為B點(diǎn)坐標(biāo),利用A,F,B三點(diǎn)共線得到關(guān)于k的方程。若方程有解,則直線存在;若方程無(wú)解,則直線不存在。

(2)兩種思路：①設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)(x0,y0),結(jié)合點(diǎn)F寫出直線AB的方程,和橢圓的方程聯(lián)立解出A點(diǎn)坐標(biāo),和直線l的方程聯(lián)立解出M點(diǎn)坐標(biāo),把k1,k2,k3都用x0,y0表示,最后可得出k1,k2,k3之間的關(guān)系;②設(shè)直線AB的斜率為k,A(x1,y1),B(x2,y2),利用k與點(diǎn)F寫出直線AB的方程,和直線l的方程聯(lián)立解出M點(diǎn)坐標(biāo),和橢圓的方程聯(lián)立結(jié)合韋達(dá)定理用k表示x1+x2,x1·x2。注意到A,F,B三點(diǎn)共線,所以有x,而k1,k2,k3都可以由x1,y1,x2,y2表示,結(jié)合x1+x2,x1·x2與,可以把k1,k2,k3最終都用k表示,進(jìn)而發(fā)現(xiàn)三者的關(guān)系。

解：(1)由點(diǎn)

由①②解得c2=1,a2=4,b2=3,故橢圓C的方程為

(Ⅱ)(1)假設(shè)存在直線AB,使得PF是∠BPA的角平分線。

設(shè)直線PA的斜率為k,由PF是∠BPA的角平分線且PF⊥x軸可知直線PB的斜率為-k,則直線PA的方程為y-=2符合題意。

解法二：由題意可設(shè)直線AB的斜率為k,則直線AB的方程為y=k(x-1)。 ⑤

評(píng)注：(1)已知橢圓中的某些參數(shù)求橢圓方程是常見題型,因?yàn)闄E圓中三個(gè)參數(shù)a,b,c三者之間已經(jīng)有了關(guān)系a2=b2+c2,所以只要再給出兩個(gè)條件就可以解出方程,若已知離心率,常見的處理辦法就是利用離心率減少變量,即把a(bǔ),b,c都用一個(gè)變量來(lái)表示,比如這道題目就可得到a=2c,b=3c。

(2)對(duì)于一道綜合題,要能認(rèn)真審題,發(fā)現(xiàn)其中隱含的條件,比如題目中的PF⊥x軸,這些隱含條件有時(shí)就是解決問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)。該題涉及了解析幾何中常見的兩種處理辦法,已知直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn),可結(jié)合韋達(dá)定理求另一個(gè)交點(diǎn),以及利用對(duì)稱性用-k代替k得到另一個(gè)交點(diǎn)。在求k時(shí),把A,F,B三點(diǎn)共線轉(zhuǎn)化成斜率來(lái)運(yùn)算也是簡(jiǎn)化計(jì)算的一個(gè)技巧,若寫出AB的方程,再利用過(guò)點(diǎn)F求k就比較煩瑣了。

(3)該小題中的兩種不同的思路,其實(shí)都是在抓整個(gè)圖形的關(guān)鍵元素,關(guān)鍵元素就是指這個(gè)元素定下后,整個(gè)圖形也就定下了,解法一抓的關(guān)鍵元素就是A,B中的點(diǎn),解法二抓的關(guān)鍵元素就是AB的斜率,然后把所有變量都由這個(gè)元素表示,這個(gè)思想和向量中的基底思想有點(diǎn)類似。

二、定點(diǎn)、定值問(wèn)題

解析幾何中的定值問(wèn)題是指某些幾何量(線段的長(zhǎng)度、圖形的面積、角的度數(shù)、直線的斜率等)的大小或某些代數(shù)表達(dá)式的值等和題目中的參數(shù)無(wú)關(guān),不依參數(shù)的變化而變化,而始終是一個(gè)確定的值。

解析幾何中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題的解法的一般規(guī)律：(1)定點(diǎn)問(wèn)題：要探究直線或者圓是否過(guò)定點(diǎn),通常有兩種策略,策略一：首先要表示出直線或者圓的方程,這就需要恰當(dāng)設(shè)好變量,選擇合適的路徑進(jìn)行求解,而過(guò)定點(diǎn)就是要與變量無(wú)關(guān),一般情況下利用系數(shù)為0就能解決問(wèn)題;策略二：先通過(guò)特殊位置的圖形進(jìn)行猜測(cè),猜出定點(diǎn),再證明。(2)定值問(wèn)題：主要是通過(guò)化簡(jiǎn)求值得到,只要恰當(dāng)設(shè)好變量,合理進(jìn)行運(yùn)算,一般都能解決,得到的結(jié)果要通過(guò)特殊值進(jìn)行檢驗(yàn),解析幾何中的設(shè)法主要就是設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)或者設(shè)直線的斜率,兩種設(shè)法的本質(zhì)是一樣的,在不同的題目里各有優(yōu)勢(shì),我們要在平常解題過(guò)程中認(rèn)真總結(jié),解題之前一定要通過(guò)比較選擇最適合的解法。

②過(guò)點(diǎn)P作兩條斜率分別為k1,k2的直線l1,l2,且直線l1,l2與橢圓C1均有且只有一個(gè)公共點(diǎn),求證：k1·k2為定值。

分析：(2)①設(shè)直線OP的方程為y=kx,把轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的比。

②設(shè)直線l1的方程為y-y0=k1(xx0),換元：記t=k1y0-x0,則直線l1的方程可優(yōu)化為y=k1x+t,與橢圓C1的方程聯(lián)立,利用判別式Δ=0,得4k21-t2+1=0,再將t=k1y0-x0代入,得到關(guān)于k的一元二次方程,k1,k2為這個(gè)方程的根,然后利用韋達(dá)定理即可證出。

解：(1)已知C2與C1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)之比為∶1,C1的長(zhǎng)軸為4,所以C2的長(zhǎng)軸為,即a=。

當(dāng)直線OP的斜率存在時(shí),設(shè)直線OP的方程為y=kx,代入橢圓C1的方程,消去y整理得(4k2+1)x2=4,所以

評(píng)注：(1)求定值問(wèn)題常見的方法有兩種：一是從特殊入手,求出定值,再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān);二是直接推理、計(jì)算,并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量,從而得到定值。

(2)在第②小題中,設(shè)直線l1的方程為y-y0=k1(x-x0),換元：記t=k1y0-x0,則直線l1的方程可優(yōu)化為y=k1x+t,從而優(yōu)化解題過(guò)程。

三、與面積有關(guān)的問(wèn)題

解析幾何中與面積相關(guān)問(wèn)題的解題思路：(1)根據(jù)題目條件確定所運(yùn)用的面積公式;(2)不規(guī)則圖形的面積問(wèn)題需要割補(bǔ),轉(zhuǎn)化為我們熟悉的規(guī)則圖形;(3)注意運(yùn)用坐標(biāo)的幾何意義;(4)有些面積問(wèn)題可通過(guò)幾何性質(zhì)去處理。

例3 已知橢圓,動(dòng)直線l與橢圓交于B,C兩點(diǎn)(B在第一象限)。

(2)設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2),且3y1+y2=0,求當(dāng)△OBC的面積最大時(shí),直線l的方程。

圖2

圖3

分析：(1)由于本題沒(méi)有給圖,所以在讀題時(shí)應(yīng)該在草稿紙上先畫個(gè)圖(如圖2),再?gòu)哪繕?biāo)出發(fā)：要求△OBC的面積的最大值,可以建立目標(biāo)函數(shù),那么以△OBC的哪一條邊為底邊比較好呢?結(jié)合圖形和已知條件,選擇合適的解題路徑。在△OBC中,OB的長(zhǎng)度為定值,故以O(shè)B為底邊。第(1)小題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)C到直線OB的距離的最大值,于是有兩種解法。

(2)要求當(dāng)△OBC的面積最大時(shí),直線l的方程,通性通法是設(shè)出直線l的方程,然后把△OBC的面積表示出來(lái),即建立目標(biāo)函數(shù),再去求△OBC面積的最大值。結(jié)合圖形(如圖3)和已知條件B(x1,y1),C(x2,y2),且3y1+y2=0,選擇怎樣的解題路徑呢?用割補(bǔ)法,將△OBC的面積轉(zhuǎn)化為△BAO與△CAO的面積之差,而在計(jì)算這兩個(gè)三角形的面積時(shí)均以AO為底邊,因此巧設(shè)直線l的方程為x=my+n,用m,n表示出△OBC的面積,求出△OBC的面積最大時(shí)m的值,即可解決問(wèn)題。

評(píng)注：第(1)小題如果以BC為底邊去求△OBC面積的最大值,也可以解決問(wèn)題,但運(yùn)算稍微復(fù)雜一些,而且要討論直線BC的斜率是否存在,請(qǐng)同學(xué)們?cè)囈辉嚒５?2)小題采用割補(bǔ)法,并利用直線的橫截距和兩個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)表示三角形面積,使問(wèn)題得到簡(jiǎn)捷解答,這種方法是解有關(guān)橢圓中三角形面積的最大值問(wèn)題的常用方法。那么,是否可以利用直線的縱截距和兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示三角形面積呢?答案是肯定的,同學(xué)們不妨試一試。

解析幾何中的運(yùn)算往往比較復(fù)雜,因而解題需要先規(guī)劃,認(rèn)真分析題目,觀察已知和未知,制定合理運(yùn)算程序,選擇有效策略,認(rèn)真分析、觀察解答過(guò)程中的每一步及題目要求,便可施以技巧,從而優(yōu)化解題方法,簡(jiǎn)化解幾運(yùn)算,提高思維品質(zhì),使做題達(dá)到事半功倍之功效。