S曲線加減速控制在數控機床研究中的應用進展*

韓業鵬，王孝偉，陳從桂，沈 騰，朱厚耀，賀香華

（廣州大學機械與電氣工程學院，廣州 510006）

0 引言

數控機床（CNC）首先在美國誕生。1948年，帕森斯公司開發出一種處理直升機葉片輪廓檢測的機床，提出了研制數控機床的初步設想。1949年，帕森斯公司和美國的高等學校進行交流與合作。1952年，全球第一臺數控機床問世，是三軸數控銑床，其硬件系統用電子管來實現。自1960年以來，德國和日本等國家先后開發、生產和使用了數控機床。1968年，北京第一機床廠開發出第一臺數控機床；1974年，微處理器直接應用于CNC，進一步加快了數控機床的推廣應用。由于計算機技術和電子技術的不斷革新，CNC的數控系統也一直在發展，經歷了以下幾代變化。

（1）第一代數控（1952～1959）CNC的硬件數控系統是用電子管制作的；（2）第二代數控（1959～1965）是基于晶體管電路的硬件電路系統；（3）第三代數控（始于1965年）使用中小型集成電路的硬件控制系統；（4）第四代數字控制（始于1970年）是小型通用電子計算機數控系統，采用大規模集成電路；（5）第五代數控（始于1974年），其在計算機數控系統的控制是小型控制；（6）第六代CNC（始于1990年）使用通用數控系統用于工業PC。其中，CNC主要由硬件和軟件構成，硬件聯動結構組成稱為硬件數控；計算機數控主要由軟件完成。近20年以來，隨著國家經濟水平和科技創新能力的提高，國家的工業與制造業也在發展，數控機床的應用越來越廣泛。

目前，S曲線加減速技術在數控機床中比較穩定，所以本文主要論述S曲線加減速技術在數控機床中的相關應用與研究。

1 S曲線加減速的應用和原理

1.1 加減速在數控機床的應用

數控處理的目的是要達到高速度和高精度，這需要機床具有更高的加工速度，才不會損壞機床和刀具。目前，有很多技術可以實現這一目標，包括生成具有所需的加速和減速（acc/dec）特性。加減速可分為幾種常見類型，其中線性加減速[1-2]是最簡單、最容易實現的，但是其速度的突變會導致加速曲線不夠平滑[3]；而指數加減速[4]具有強大的跟蹤能力，但是在高速時穩定性較差、計算方式相對復雜[5]。

為了避免線性加減速的限制，對非均勻的弦誤差和有理樣條曲線（NURBS）等參數插值器提出了不同的約束組合。Yong等[6]和Du等[7]考慮弦誤差和切向加速度分量極限；Feng等[8]考慮了弦誤差和加速度極限；Du等[9]、Emami等[10]和Annoni等[11]考慮了弦誤差、加速度和加加速度限制的切向分量；Lai等[12]、Tsai等[13]和Lee等[14]考慮弦誤差、加速度和切向抖動限制。在雙軸加工中，大多使用現有的參數插值器處理幾何誤差。但是，由于需要2個額外的旋轉軸，隨著復雜性和五軸加工中的約束數量，計算負荷會明顯增加[15]。S曲線加減速具有三角形加速度曲線，因此是S型的速度分布。S型加減速同線性和指數加減速相比較，能生成更平滑的命令，有更好的準確性。此外，其計算量加載比參數插值器少。

2001年，S曲線加減速控制問題由Altintas等[16]首次提出。隨著現代數控系統的發展，加減速控制方法引起了相當多的關注。Chen等[17]提出了一種具有S曲線的前瞻算法連續線性/圓形段的加減速。Wang等[18]提出了一種離散S曲線速度控制算法線性段。除了線性和圓形段，S曲線加減速也適用于NURBS工具路徑。Lin等[19]根據尖角和預定的信息將NURBS路徑劃分為小段，其中的小段屬于S曲線加減速的多個速度曲線。Heng等[20]開發了一種光滑連續的進給模態，采用S曲線和鐘形曲線acc/dec進行多段NURBS刀具路徑模擬。

1.2 S曲線加減速的原理

S曲線加減速法是根據系統加減速過程中速度曲線的形狀推導出來的，是一種速度變化非常平穩的加減速運動控制算法。S曲線加減速的加速度是連續變化的，速度變化也比較柔和，能夠有效減小沖擊和振蕩[21]。運動曲線的過程可分為7個階段：加加速段、加速段、勻加速段、減速段、勻速度段、加減速段、勻減速段。其中，加加速段、減速段、加減速段、減速段的作用是防止力或加速度突然變化，減少沖擊；勻加速段和勻減速段的作用是使其具有最大的力或加速度極限；勻速段的目的是存在最大速度的約束。

S曲線加速減速指的是加速和減速過程中，導數J在加速和減速的加速度是恒定的，和加速度控制導數，避免突然改變的加速度，從而減少了機械系統振動突然改變造成的加速度在加工過程中。采用S曲線加減速算法可以獲得平滑的速度和加速度。

2 S曲線技術

2.1 加減速控制

常用的加速和減速控制規律有很多種，如直線型加減速和S型曲線加減速等。國內的郭新貴[22]和趙國勇[23]利用三角函數構造了基于j控制的新的加減速曲線。這些加減速控制的特點如下所述[24-27]。

（1） 梯形加減速控制運用數學公式簡單、占用時間短、機器反應快，具有高能和高速的特點；缺點是對機床運動有柔性沖擊，速度轉換不夠平穩、運動精度低。

（2） S曲線加減速的控制方式是讓速度沒有波動，加速度的變化也是穩定的。速度是加速度的積分，加速度是加加速度的積分，顧名思義，控制加速度的變化是重要的。S曲線加減速能夠讓加速度更加穩定，讓機床運行得快而平穩，也不會有撞擊；但該計算量比較大，難度較高。

（3）正弦加減速曲線與S型速度曲線相比，正弦加速和減速可以實現平穩運動，這相對簡單且易于實現。

現代工業領域用梯形速度曲線控制方法比較多[1，28]，其結構簡單、計算方便，廣泛應用于控制精度較低的控制系統中。梯形速度曲線以加減速為特征，加速度為一個固定值，其值是人為定值。給出一個真實的加工軌跡，如果給定每個加工點的位置、加工過程的速度，并設置加速度值，就可以得到一個完整的梯形速度曲線。

圖1為梯形速度曲線，包括速度曲線、加速度曲線以及加加速度曲線（jerk曲線）。梯形的速度曲線可分為簡單的3個部分，即加速度增加部分、勻速運動部分和加速度減小部分，加速度增加部分和加速度減小部分的加速度大小相等。由圖可知，速度曲線為典型的梯型速度曲線，因此在加速度的變化處就會產生一定的脈沖，會讓正在加工中的數控機床有抖動，危害很大，嚴重損害機床的使用壽命，影響工件的加工精度。

圖2所示為正弦加減速曲線示意圖。其中，amax是最大的加速度；v1為開始的進給速度；v2為結束時的進給速度。正弦加減速算法比直線型加減速算法更好，正弦曲線中的加速度沒有波動、更穩定，能夠達到機床的運動精度，但是計算量大。正弦型速度曲線和S型速度曲線所表達的相差不大，不同的是正弦曲線的加速度是正弦曲線固有的[29-30]。正弦的速度曲線劃分為3個部分，即加速段、勻速段和減速段。正弦的加速度曲線是速度曲線的導數。正弦速度曲線與S型速度曲線相比較，在讓速度達到穩定的情況下，也減少了速度曲線的段數，速度曲線依然具有平滑性，比S型速度曲線的復雜性要低，更容易應用在實際數控中。

S型速度曲線是工業常用的速度控制方法，可以解決梯形速度曲線的一些缺點。S型速度曲線可以控制加速度的變化率。此外，S型速度曲線的加速度曲線在速度接合處是連續且平滑地過渡。因此S型速度曲線是一種能限制震動的速度控制方法[31-33]。

圖3所示為S型速度曲線，可以分成3個部分，即速度曲線、速度曲線每個段所對應的加速度曲線、加加速度曲線。S型速度曲線勻速段的最大速度為vmax；起點速度為vstr；停止速度為vend；達到的最大加速度為amax；加速度的導數為J（加加速度）。

圖1 梯形速度曲線

圖2 正弦速度曲線

圖3 S速度曲線

2.2 S曲線算法

形狀比較復雜的工件加工一直是數控機床研究的難點和重點。傳統的CNC加工系統使用離散化直線逼近曲線，其顯而易見的不足是形成速度分布的曲線間斷和波動較大，并且形成的數據量較多；另外，重復使用加減速產生軌跡會對機床帶來很大的沖擊，難以滿足高速、高精度加工的要求。為了更好地解決此類難題，提高加工穩定性與零件表面加工質量，許多專家和學術界的領軍人士產生了對數控使用曲線插補方法的想法。Shpitalni M[34]參照Taylor展開式來編寫一階和二階的參數曲線插補方法，體現了穩恒參數插補的良好特性；Yeh S等[35]提出弦高誤差的自適應參數曲線插補算法；Yong T等[6]在控制弦高誤差的同時規劃了數控加工過程中的加減速問題。然而，這些研究的內容主要集中在插補過程中插補點的計算，在插補過程中，并沒有深入去探索加速和減速問題。

此外，一些專家也研究了NURBS插補的加減速。如Xu-Rongzhen等[36]提出了一種自適應的前瞻插補算法，同時對速度自適應控制也要進行前瞻控制，找到速度變化范圍的容許值和不容許的范圍值，再進行加減速變化；王海濤等[37]在S型加減速離散采樣模型的基礎上，提出了一種S型加減速前瞻算法；在加速度恒定的條件下，周勝德等[38]提出了一種基于NURBS曲線插補的5段S曲線加減速控制方法，解決了插補之前的加減速控制中難以預測減速點的問題。S型速度曲線具有連續的加速度變化，可有效地減弱對系統的沖擊和振動。此外，每段的平穩加速和減速將使系統運行更加平穩。

2.3 S曲線數學模型

數學模型已廣泛應用于社會、經濟和科學等各個領域，顯示出強大的生命力。數學模型在解決特定的實際問題方面具有優勢。首先，數學模型為原型提供了簡潔的形式語言。使用數學符號、圖像和公式來揭示原型的性質、規律和結構，以便人們可以掌握原型系統。其次，數學模型提出的數學問題的解完全依靠于數學的概念、命題、微積分方法和邏輯推理。

目前，有很多學者對S曲線數學模型進行相關研究。武小虎[39]分析了數控系統加減速控制方法的基本原理，通過對樣條曲線的數據處理，建立了一個新的數學模型，完成了樣條插補算法的設計。胡建華和廖文和等[40]對數控系統中的幾種加速和控制曲線進行了研究，分別分析了該數控系統的梯形、S型和直線加減速曲線，比較這幾種控制方法的優缺點及其應用場合，主要研究了速度時間曲線在步進電機驅動的經濟型數控系統中的應用。結果表明，直線段逼近曲線算法可以顯著提高步進電機驅動的經濟型數控系統的性能；但缺點是加速度變化突然、機床沖擊靈活、速度過度不夠平穩，不適合高速數控系統。石川等[41]提出使用S曲線加減速算法來總結可能出現的8種S曲線加減速模式，速度和位移采用運動學公式，使算法變得復雜、計算時間長。

在此基礎上，陳友東等[42]推導出S曲線離散采樣迭代公式，但該算法不包括勻加速階段和勻減速階段。潘海鴻[43]總結了不同參數條件下的17種S型曲線加減速類型，但大多數可以組合成統一的數學模型。田軍鋒等[44]根據S型曲線的對稱性、初始速度、最終速度的不同特點簡化了算法，可以快速計劃每個階段的運行時間和MATLAB驗證算法，這樣可以獲得平滑的速度和加速度輪廓。通過簡化S形曲線的速度和位移公式，可以快速判斷S形曲線的幾個階段，從而節省了前瞻模塊處理時間和系統資源，使系統能夠更有效地進行處理。上述S型加減速規劃涉及對稱S型加減速控制，起止速度相等。如果要使用這樣的加減速，電機在處理每個線段時需要從零開始加速。電機在達到最大轉速后，再從最大轉速降至零，電機頻繁啟動，不僅影響加工效率，還會引起抖動或振動，嚴重影響加工精度。楊亮亮等[45]指出非對稱S型加減速時間的規劃在初始和末速度均為非零的情況下比較困難。將加速度曲線劃分為7個時間段，分析了加速度變化時間方程，并將其簡化為一維高階方程。變化的單調性構造其平方函數，將其轉化為一個單凸函數，然后利用牛頓迭代法求出其收斂值，并根據效率原理和加速度、速度約束條件進行修正。對于勻加速時間，直接根據其公式的特點，將其轉化為二次方程進行規劃，并根據效率原理和加速度、速度約束條件進行修正。對于勻速運動時間，直接根據函數進行分析。這樣能夠解決現有始末速度不為零的S型曲線加減速和不對稱的時間規劃過程復雜、繁瑣問題，給出一種方便、簡單、高效的加減速時間算法。

3 結束語

通過對加減速控制方法的分析可知，S曲線加減速控制在數控機床中的應用主要有3個方面。

（1）通過對速度曲線的分析比較，S曲線控制可以避免速度和加速度的突然變化，減少沖擊，提高數控機床運動的平穩性。

（2）采用S曲線算法有效地解決了預插補加減速控制中減速點預測困難的問題。S型速度曲線加速度的變化是連續的，可以有效減弱對系統的沖擊和振動。

（3）采用S曲線數學模型對數控系統的加減速控制進行分析，能夠有效地了解當前對數控機床系統加減速算法的研究，以解決初始速度不為零對加減速時間的規劃問題。隨著科學技術的發展與進步，數控機床不斷地創新與改進，在數控中應用到的算法也會不斷地推陳出新，但對數控機床的研究分析也變得愈加復雜。對于數控機床新出現的問題，S曲線的控制方法會不斷地完善，從而滿足數控機床對加工精度、速度和穩定性的需求。