巧作輔助線 妙解圓問題

在中學(xué)階段,同學(xué)們學(xué)習(xí)了圓的定義、圓的性質(zhì)、圓的數(shù)學(xué)規(guī)律,在進(jìn)行圓知識(shí)的習(xí)題訓(xùn)練中,常遇到一些看上去無(wú)法下手的問題,此時(shí)如果能夠熟練應(yīng)用圓的半徑、直徑、切線等,靈活根據(jù)需要適當(dāng)添加一些輔助線,往往就會(huì)有“豁然開朗”的感覺。下面舉例說(shuō)明。

一、作半徑構(gòu)造等腰三角形

求解圓的邊角關(guān)系問題時(shí),通過(guò)作圓的半徑,可以利用“同圓的半徑相等”構(gòu)造等腰三角形,從而把看上去毫無(wú)關(guān)聯(lián)的線段、角的問題轉(zhuǎn)化到等腰三角形中,利用三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行解答。

圖1

例1如圖1 所示,已知AC是⊙O的直徑,點(diǎn)B在圓周上(不與點(diǎn)A、C重合),點(diǎn)D在AC的延長(zhǎng)線上,連接BD交⊙O于點(diǎn)E。若∠AOB=3∠D。求證：DE=OB。

證明：連接EO,因?yàn)椤螦OB=∠D+∠B,∠AOB=3∠D,所以∠B=2∠D。因?yàn)镺B=OE,所 以∠OEB=∠B。因?yàn)椤螼EB= ∠DOE+ ∠D,所 以∠DOE=∠D,所以DE=OE。因?yàn)镺E=OB,所以DE=OB。

評(píng)析：本題通過(guò)先作輔助線半徑OE,構(gòu)造出等腰三角形OBE,然后利用等腰三角形的兩底角相等和三角形的外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì),順利轉(zhuǎn)化了初看毫無(wú)關(guān)系的線段DE與OB的長(zhǎng)度關(guān)系。

二、作圓的弦構(gòu)造圓心角或圓周角

當(dāng)所求圓的問題中已有半徑或直徑時(shí),通過(guò)作圓的弦,可以利用“同一條弦所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半”“直徑所對(duì)的圓周角是直角”等圓心角與圓周角的特殊性質(zhì),順利求得圓中其他角度的大小等。

例2如圖2所示,AB為⊙O的直徑,弦CD與AB相交于點(diǎn)E。已知∠ACD=55°,∠ADC= 50°,求∠CEB的度數(shù)。

圖2

解：連接BD,因?yàn)锳B為⊙O的直 徑,所 以∠ADB=90°。又因?yàn)椤螦DC=50°,所以∠CDB=∠ADB- ∠ADC=40°。因 為∠CDB與∠CAB是同弧所對(duì)的圓周角,所以∠CDB=∠CAB=40°。所 以∠CEB= ∠CAB+∠ACD=40°+55°=95°。

評(píng)析：本題中有一條直徑,要求的是角度,作弦BD,可以利用直徑所對(duì)的圓周角是直角、同圓中同弧所對(duì)的圓心角相等這兩個(gè)圓心角定理的推論,輕松求得∠CEB的度數(shù)。

三、過(guò)圓心作弦的垂線構(gòu)造直角三角形

當(dāng)所求圓的問題中已有半徑和弦時(shí),通過(guò)作弦的垂線,可以利用垂徑定理及其推論,結(jié)合構(gòu)造出的直角三角形的邊角關(guān)系,求解線段和角度的大小。

例3已知⊙O的半徑為2cm,弦AB為,求弦AB所對(duì)應(yīng)的圓周角。

圖3

解：根據(jù)題意作⊙O和弦AB,如圖3所示,過(guò)圓心O作OD⊥AB交AB于點(diǎn)D。在 Rt △AOD中,有sin∠AOD=sin ∠AOD=所以∠AOD=60°,∠AOB=120°。當(dāng)弦AB所對(duì)的圓周角在優(yōu)弧上時(shí),有∠AP1B=;當(dāng)弦AB所對(duì)的圓周角在劣弧上時(shí),有∠AP2B=180°-60°=120°。

評(píng)析：本題不僅要求同學(xué)們能夠作出過(guò)圓心的弦的垂線這一輔助線,而且要求同學(xué)們能夠注意到多解問題,難度稍大,要求稍高。