透過有文化味的數學課堂提高數學學科素養
——以“向量的概念及表示”教學為例

齊娟

（江蘇省沙溪高級中學，江蘇蘇州 215400）

方延明教授提出數學文化的“三元結構”，即現實世界、概念定義和模型結構。數學起源于現實世界，特別是現實世界中發生在人與自然之間的諸多問題，是數學科學的基礎。人們通過大量觀察以及對這些問題間相互關系的了解，包括借助經驗的發展，經過類比、歸納，進而抽象出有確切內容和明確含義的概念，然后將這些概念應用到現實世界中去，把問題化歸為一種形式結構，這就是我們講的模型結構。數學概念的抽象、歸納，實際上為建立模型奠定了基礎。

一、透過數學文化體系中的“現實世界”提高直觀想象

數學文化體系“三元結構”中的“現實世界”是指現實是第一性的，數學是第二性的，沒有現實世界的社會活動，就沒有數學文化。

數學素養中的直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用圖形理解和解決數學問題的過程。主要包括：借助空間認識事物的位置關系、形態變化與運動規律；利用圖形描述、分析數學問題；建立形與數的聯系；構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路。

當我們打開“向量的概念及表示”一節的教材時，數學的“文化味”撲面而來，湖面上的三個景點的實際問題引發了我們的思考，即教學中的：“為什么要學向量？”——解決現實問題——“生活——數學”。

此處可將生活與數學的關系進一步強化，由“數學——生活——數學”的形式進行。

問題一：請觀察右圖，你可以“看”到哪些數學問題？

設計意圖：題目較為開放，意在引起學生發現六邊形的相關關系，如線段長度相等，角相等，線段平行，等等。（數量）

問題二：若右圖為一小島觀光的路線圖，甲在A地，乙在C地，丙在E處，請問，三個人如何走才能在D處會合？

設計意圖：由現實問題引發思考，由圖直觀觀察，除了數量還需考慮其方向的問題。（向量）

二、透過數學文化體系中的“概念定義”提高數學抽象

數學文化體系“三元結構”中的“概念定義”是指數學概念的形成是人們對客觀世界認識科學性的具體體現。

數學素養中的數學抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數學研究對象的思維過程。主要包括：從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出數學概念及概念之間的關系，從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構，并且用數學符號或者數學術語予以表征。

數學抽象是數學的基本思想，是形成理性思維的重要基礎，反映了數學的本質特征，貫穿在數學的產生、發展、應用的過程中。數學抽象使得數學成為高度概括、表達準確、結論一般、有序多級的系統。

上述“現實世界”中的會合問題僅僅從數量上已無法解決，需要從“科學角度”引入新的量——方向。這樣的設置是水到渠成的，既引起了學生的認知沖突，也順應了學生的認知結構——研究既有大小又有方向的量。

1.4 統計學方法 采用SPSS 22.0統計軟件處理數據。計量資料以x±s表示，采用t檢驗；計數資料以百分比表示，采用χ2檢驗。以P<0.05為差異有統計學意義。

之前學的量均用一個實數即可以研究，我們稱之為數量，既有大小又有方向的量我們稱之為向量。（本質特征：大小、方向）

學生活動：請舉一舉學過的既有大小又有方向的量。

設計意圖：學生自然能夠想到如力、位移、速度等的矢量。這種與其他學科的融入也是文化的一種體現，學習數學不僅是解決數學問題，也要為其他學習而服務。

問題三：既然我們發現了這一新的量——向量，關于它你還想研究些什么呢？

設計意圖：從學生的興趣出發，提高學生學習的主動性。更重要的是，幫助學生建立起“如何研究”的習慣與方法。

預設：由上圖的幾何圖形的直觀給出，希望學生可以想到利用“帶箭頭”有向線段來表示向量。

辨析：有向線段與向量的區別與聯系：有向線段是指規定了起點、大小和方向的線段，向量只有大小和方向，可用有向線段來表示向量，即有向線段不等價于向量。

設計意圖：通過對二者的辨析，使學生理解向量只與大小和方向有關，這也是內化向量本質的思考，另外即可提出既然向量與起點無關，我們研究的向量均為“自由向量”為下面向量的平行與共線作鋪墊。

學生活動：請大家畫一個長度為2的向量。

設計意圖：引起認知沖突：（1）長度為1 的向量多長？（引導學生思考研究向量引入單位元的必要性——單位向量）；（2）只畫長度為2，那么方向呢？（再次強化學生注意向量的本質：既有大小又有方向，為探究單位向量的方向作鋪墊）

問題：將單位向量的起點放在一起，其終點的軌跡是什么？

設計意圖：（1）感受單位向量的方向，為與零向量的方向進行辨析；（2）模長可大可小，引發學生用動態的觀點看問題，當縮成一點時，即為零向量，直觀理解零向量方向的任意性。

三、透過數學文化體系中的“模型結構”提高邏輯推理

模型結構：數學起源于人類的各式各樣的社會實踐活動，又從活動中抽象出一般的概念，然后將這些概念應用到實際中去，把問題化為一種結構，即模型。

邏輯推理是指從一些事實和命題出發，依據邏輯規則推出一個命題的思維過程。主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比；一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹。邏輯推理是得到數學結論、構建數學體系的重要方式，是數學嚴謹性的基本保證，是人們在數學活動中進行交流的基本思維本質。在邏輯推理核心形成過程中，學生能夠發現問題和提出命題；能夠掌握推理的基本形式，表述論證的過程；能理解數學知識之間的聯系，建構知識框架；形成有論據、有條理、合乎邏輯的思維品質，增強數學交流能力。而向量概念的學習本身就是從特殊到一般再由一般到特殊的思維過程。

我們已經解決了研究向量的基本工具——單位向量與零向量，那么你還想研究一下向量的哪些內容呢？

設計意圖：希望可以引發學生自主研究向量間的關系，內化研究數學的思想和方法。

活動設置：請將剛才的六邊形中加上一些箭頭，來觀察向量，并研究一下它們之間的關系。

設計意圖：從直觀的幾何模型中來探討向量間的關系，利用平面幾何中的知識可以類比得到一些相關的結論。

預設：從學生認知的最近發展區出發，由平面幾何中線段的相等及直線的平行，學生應該較容易發現向量的大小是相等的，其平行也是應該較容易發現的。

難點：相反向量、共線向量的突破。

突破方法：向量的本質為大小和方向，研究其關系也無非從這兩方面出發，引導學生從此方向研究四種關系：（1）大小相同，方向相同；（2）大小相同，方向不同；（3）大小不同，方向相同；（4）大小不同，方向不同。

設計意圖：四種關系既可辨析出向量間的關系，內化其數學本質，也可探究出向量是不可以比大小的，只有其模長可以比大小。

問題：什么關系？

設計意圖：體會數學的嚴謹性——嚴格遵照定義方向相同或相反即為平行；因為其在一條直線上，可稱為共線向量。

辨析：（1）共線向量與平行向量的區別；（2）直線平行與向量平行的區別。

設計意圖：引起學生的認知沖突，平行與共線的干擾點在于平面知識中，線段是固定的，而向量是自由的，抓住此想法，這兩個辨析題即可水到渠成，再次指導學生研究問題可通過數學建模的途徑突破。

本節課的難點在于，接觸一個與過去認知有沖突的知識，并且相關概念較多，容易混淆，此處，筆者設計一個學生活動來突破這一難點。

學生活動：我們研究過了向量的相關概念：單位向量，零向量，平行向量，共線向量，相等向量，相反向量，你可以試著將它們歸歸類，說出歸類理由嗎？

設計意圖：學生再次深化理解向量的本質——大小、方向，無論研究什么問題都從這兩個要素出發，為今后研究向量的運算打下基礎。

由此，本節課的重難點全部突破，學生表面上研究的是純數學的概念，實際上經歷了這樣一個過程：為什么要學向量？（生活實際問題所迫）——怎么學向量？（通過數學抽象以及數學建模來突破）——學了向量怎么用？（有了研究向量的工具，即可研究向量的關系，為后面研究向量的運算打下堅實的基礎）

什么是數學？曾經有一種非常普遍的說法，即“數學是鍛煉思維的體操”，學數學就是為了培養邏輯思維能力。對于數學，絕大多人的印象是嚴格、抽象或者還有單調、枯燥的。但隨著人們對數學更加深層次的認識，人們已經意識到數學是一種文化，是可以被繼承和發展的。當我們翻開現行教材時，數學的文化味是撲面而來的，那一幅幅充滿“人性化”的插圖，那一篇篇“通俗化”的閱讀材料，無不透射出當代數學教育的“人性化”“通俗化”“大眾化”的教育理念。以弘揚“數學文化”為核心的數學教育才是數學教育，也只有從文化教育出發才能提高數學素養。而在我們的教學過程中，往往過分強調它的“邏輯性”“演繹性”“封閉性”，這樣的教學方式，學生只能暫時會解題目，但是卻無法體會到數學的文化。要改變這種現狀，教材的改革固然重要，但歸根到底還是取決于人才機制的變革，取決于教育理念的更新，而一線教師則有著責無旁貸的責任。

學生應該學會用數學的眼光觀察世界，用數學思維思考世界，用數學語言表達世界。數學學習來源于生活，最后又服務于生活。在后期的學習過程中，遇到一個新的概念時，學生已經會用這樣的數學思維來進行思考，比如在學習基本不等式的概念時，筆者利用一個想占便宜的買家小故事引入，在最后知識生成后，請學生思考我們為什么要學習基本不等式時，學生便說為了解決生活實際問題而學習，并總結出此知識點可以用于求最值及證明不等式。相信，在這樣的潛移默化中，學生們的數學素養會慢慢提高，并可以形成自己的學習能力，在遇到新的未知時，可以進行自主學習。