弗蘭克-赫茲實驗物理分析新視角

李潮銳

(中山大學 a.物理國家級實驗教學示范中心；b.物理學院，廣東 廣州 510275)

弗蘭克-赫茲實驗是物理實驗課程經典項目之一. 該實驗不僅方法巧妙，物理圖像直觀，更是連接經典物理(技術)與量子物理(原理)的“橋梁”實驗. 《物理實驗》雜志自創刊以來，已刊載了30多篇以弗蘭克-赫茲實驗為主題的文章，內容遍及實驗技術改進[1-4]、實驗條件(參量)優化[5-9]以及實驗物理分析[10-14]等多方面，從而也反映了弗蘭克-赫茲實驗內容豐富，是值得深入教學交流的物理實驗教案. 通常，弗蘭克-赫茲實驗歸屬物理本科高年級近代物理實驗課程的教學內容. 隨著教學設備技術性能改善和實驗教學方法改進，結合跨校區本科物理課程建設和物理實驗中心整體規劃，2001年筆者將弗蘭克-赫茲實驗調整到低年級的基礎物理實驗課程，這既有助于本科生學習量子力學理論課程，又擴大經典物理實驗教學的受益面. 同時，也將實驗項目改名為“原子定態能級觀測分析”，更直觀地凸顯弗蘭克-赫茲實驗的物理實質. 針對普遍關注的實驗物理問題，本文將以新視角分析弗蘭克-赫茲實驗結果的涵義，并采用微分測量技術獲得在不同G2柵極電壓作用下弗蘭克-赫茲管中熱電子能量分布，以期為解決管中原子激發電位隨加速電壓遞增問題提供參考思路.

1 實驗技術方法

實驗主體設備是上海復旦天欣FD-FH-C弗蘭克-赫茲實驗儀,在室溫環境中使用氬管且設定VG1K=0 V進行實驗觀測分析. 根據需要，固緯APS-1102A電源工作在AC+DC-INT或AC+DC-SYNC模式,提供G2柵極電壓. 使用Keysight 34470A、Keithley 2701和DMM7510多用表分別測量板極電流IP直流分量、減速電壓VG2P和加速電壓VG2K直流分量. 中大科儀OE1022鎖相放大器用于測量板極電流IP交流分量，可以同時測量基頻(和多次諧波)信號的幅值和相位. 普源DG4162信號發生器為APS-1102A和OE1022提供f=314.00 Hz同步參考信號. 使用步進電機驅動電位器轉動，調節減速電壓VG2P. 計算機通過RS232、USB和GPIB接口對實驗系統實施測控操作和數據采集分析，還可以通過互聯網實現遠程(跨校區)實驗(操控)示教，輔助物理課堂教學.

2 實驗結果及分析

2.1 傳統分析方法

使APS-1102A工作在AC+DC-INT模式，設置其交流輸出為零，僅提供直流可調的G2柵極電壓.

在燈絲電壓VF=1.75 V,減速電壓VG2P=9.50 V條件下，板極電流IP隨加速電壓VG2K變化的實驗結果如圖1所示.

圖1 板極電流IP隨VG2K變化

圖1中IP是由到達G2柵極且能夠跨越減速電壓VG2P而被板極所收集的所有不同速度熱電子電流累加(或積分)結果，反映了單位時間內到達板極熱電子速度與數量隨VG2K變化情況. 對于相同燈絲電壓VF和加速電壓VG2K，板極電流IP隨VG2P減小而增加. 在VG2K加速過程中，熱電子與管中原子發生碰撞(散射)或能量交換(吸收)，可以認為，盡管電子個體速度(能量)在不斷變化，但集體行為遵從動態統計規律. 當VG2K增加時，可以到達板極電子速度與數量都將增加，從而板極電流隨之上升；一旦發生能量交換使到達板極電子數量與速度減少則板極電流下降. 當熱電子電流上升量大于下降量時，板極電流IP增大；反之，則板極電流IP減小. 由上述分析可知，在圖1曲線峰處，熱電子電流上升量與下降量相等. 顯然，峰處加速電壓VG2K與VG2P有關，而非熱電子與管中原子發生能量交換的起點電壓. 曲線谷處反映了隨著能量交換(失去動能)粒子數增加，熱電子電流下降量大于上升量且變化達到最大值. 同理，曲線谷處加速電壓VG2K也與VG2P有關. 隨VG2K繼續增大，到達板極的熱電子速度與數量再次逐步增加，從而板極電流恢復逐漸上升趨勢. 實驗結果也確認IP-VG2K曲線峰處和谷處加速電壓VG2K與VG2P有關的實驗事實.

圖1準周期震蕩IP-VG2K曲線呈整體上揚趨勢說明：a.存在部分熱電子沒有交換能量且繼續被加速；b.管中熱電子運動猶如江水奔流“后浪推前浪”. 源源不絕從燈絲發射出來的熱電子，在加速電壓VG2K作用下獲得能量，滿足激發條件的部分熱電子與原子發生能量交換而突然停止運動，隨后繼續被加速；部分即使滿足激發條件但沒交換能量或不滿足(能量小于或大于)激發條件的熱電子也同時繼續被加速. 上述2種情形電子在隨后的熱運動過程中達到新的動態平衡并再次達成能量統計分布. “加速—統計分布—能量交換”過程周而復始，每次統計分布進程是以前次能量交換結束為起點.

2.2 仿I-V分析法

由上述分析可知，IP-VG2K曲線的板極電流IP反映了在設定VG2P條件下所有熱電子的集體貢獻(或積分結果)，VG2K加速和能量交換兩者分別提供了熱電子電流中的上升量和下降量. 曲線峰或谷僅描述集體貢獻(或積分結果)的特殊情形，前者反映上升與下降2部分達到平衡時刻，后者則包含了最大概率能量交換過程.

由流經導體的直流電流及其在導體兩端壓降可測得導體電阻，或稱電阻I-V測量法. 若使用交流電流，I-V法可獲得被測對象的交流阻抗. 實驗測量的實質就是拾取被測對象對激勵的響應. 電阻(阻抗)I-V法測量中，電流I提供激勵，被測對象壓降V描述響應.IP-VG2K曲線記錄了在加速電壓VG2K驅動下弗蘭克-赫茲管中(可測熱電子)電流IP變化，可理解為實驗是以電壓激勵且由電流體現響應. 盡管與電阻I-V測量法的主從關系相反，但是其VG2K/IP值依然可以反映管中熱電子能量損耗的物理過程. 由此，借用電阻概念，引入弗蘭克-赫茲管等效電阻RF-H=VG2K/IP. 由圖1實驗數據可得到圖2分析結果.

由圖2可見，弗蘭克-赫茲管等效電阻RF-H峰位于圖1中板極電流IP谷處，意味著此時在所有到達板極的熱電子中包含著最大概率能量交換(損耗)的物理信息. 同理，等效電阻RF-H峰處加速電壓VG2K與VG2P取值有關. 弗蘭克-赫茲管開始“導通”時VG2K=9.56 V(紅色字體)，表明它與VG2P=9.50 V減速作用吻合. 相對于圖1傳統分析方法，圖2結果更直觀地反映了熱電子與管中原子能量交換，即類似于共振吸收過程. 而且，峰型分析有助于探究管中電子-原子相互作用的物理過程.

圖2 等效電阻RF-H隨VG2K變化

2.3 熱電子運動重聚

使APS-1102A工作在AC+DC-SYNC模式，設置其交流輸出為VRMS=0.10 V，同時提供直流可調的G2柵極電壓.

上述分析認為，弗蘭克-赫茲管中熱電子運動猶如江水奔流“后浪推前浪”，每一浪熱電子都將與管中原子發生能量交換，最終(可能)到達G2柵極. 在此過程中，每完成1次激發即可出現圖2“共振吸收”，此時絕大多數熱電子失去能量而停止運動. 隨后，在加速電壓VG2K作用下再次獲得能量，且與少數沒有交換能量的熱電子“達成”新的統計分布并繼續推進.

教科書通常采用設定VG2P通過調節改變VG2K獲得IP-VG2K曲線，即圖1實驗結果. 在VG2K作用下到達G2柵極的所有熱電子中，圖1中IP只記錄了能量高于eVG2P部分電子所構成的板極電流. 由于減速電壓VG2P與VG2K以G2柵極為共電位端，所以在確定的VG2P和VG2K條件下所獲得板極電流歸屬于能量小于e(VG2K-VG2P)熱電子的集體貢獻(或積分). 在設定VG2K條件下，測量一系列(等步長)不同VG2P對應的IP值，進而由相鄰IP差值即可得到管中(VG2K-VG2P)所在位置的熱電子電流. 這就是板極電流微分測量. 選擇合適VG2K觀測點，通過等步長改變VG2P可以獲得每一浪熱電子在發生能量交換之前的能量統計分布. 實驗儀采用VG2P的P端接地，另一端與VG2K在G2柵極共電位且浮地. 為盡量簡化測量，選擇在G2柵極處加載微分測量所需的周期調制小信號[15]. 實驗過程發現，調節VG2P可引起VG2K微小變化. 文獻[16]采用G2柵極為共地端以消除調節VG2P對VG2K影響，本文則保留儀器原設計而通過測量VG2P和VG2K并實時修正(VG2K-VG2P)實驗值的方法解決上述問題.

實驗儀VG2P可調范圍為1.26～16.12 V，由圖1和圖2可知相鄰2次激發VG2K間距，只要選擇合適VG2K工作點則可由步進電機驅動電位器調節VG2P測量單個熱電子統計分布進程.圖3為燈絲電壓VF=1.67 V，分段設定VG2K再分別調節VG2P“拼接”而成的板極電流微分測量結果，圖3中交替使用不同顏色為凸顯分段測量實驗過程. 如上所述，圖3中每個能量分布峰描述一浪熱電子，在兩峰之間區域熱電子與管中原子完成定態能級共振激發.

圖3 管中熱電子能量分布情況

圖3結果表明，即使減速電壓VG2P高于圖1中相鄰IP峰或谷處VG2K間距，板極電流微分測量值依然不為零，從而說明存在能量高于原子激發電位但沒有發生能量交換的熱電子，也再次解釋了IP-VG2K曲線呈整體上揚趨勢的物理本質.

圖4顯示了圖3中VG2K為50.82 V熱電子能量分布峰隨G2柵極電位在共振激發區域改變時變化情況. 可以認為，從陰極發射出來的熱電子在極短時間內遍布弗蘭克-赫茲管，且與管中原子不斷碰撞(散射)形成不同位置和速度(動能)的熱運動統計分布. G2柵極電場作用不僅使電子定向運動，而且部分電子在電場中被加速而達成速度或動能一致，或稱為速度或能量重聚；隨后，熱電子又以各自不同速度繼續運動而逐漸分散.圖3和圖4能量分布峰描述了熱電子運動(速度或動能)“重聚—共振”的物理過程.圖3中峰電位為4.93 V的第1個能量分布峰表示熱電子從陰極發射后首次重聚. 利用微分測量的相位參量，再次確認圖3中所有能量分布峰都歸屬于熱電子重聚過程.

圖4 熱電子能量分布隨G2柵極電位變化

對于可發生重聚熱電子的特定分布，重聚電位VG2K是確定的；反之，在特定電位VG2K處可重聚的熱電子，其熱運動分布初態也應該是確定的. 上述分析表明，每次統計分布進程是以前一次共振激發結束為起點(初始狀態).圖4說明，在共振激發區域改變G2柵極電位，對當前熱電子能量分布峰形和峰位置影響不明顯.

隨G2柵極電位上升，速度逐漸分散的熱電子進入能量交換區，部分獲得足夠能量以激發管中原子. 共振吸收發生在原子定態能量之間，激發電位展寬由熱電子能量分布所決定.圖4中G2柵極電位為62.30 V測量結果清晰地展示了這一事實，這也解釋了圖2等效電阻RF-H“譜線”展寬的物理實質. 由圖4可見，隨著G2柵極電位從57.80 V升至62.30 V過程中，能量交換區的微分板極電流也在逐漸增加.圖4中62.30 V情形顯示存在微分板極電流峰，但它與重聚峰電流反相. 重聚峰反映了伴隨熱電子浪形成過程板極電流逐漸增大，而能量交換區微分板極電流峰則記錄了重聚峰熱電子在能量交換區激發原子失去動能而使板極電流減小的物理事實. 上述分析與圖1實驗結果一致.

2.4 激發電位遞增分析

隨著G2柵極電位逐步升高，處于能量交換區發生共振激發電子數量增加而使板極電流繼續減小.圖5(a)實驗結果顯示，微分板極電流絕對值(模量)隨G2柵極電位升高而增大.圖5(b)結果表明，能量交換區與熱電子重聚的微分板極電流互為反相. 重聚時電流增加，能量交換使電流減小.

(a)微分板極電流

(b)微分電流相位

(c)板極電流圖5 能量交換區微分板極電流、微分電流相位和板極電流隨G2柵極電位變化

由圖5(a)可見，當處于能量交換區的G2柵極電位升高，能量交換區與電子重聚區微分板極電流互為反向變化：前端熱電子重聚峰在逐漸減弱，而能量交換區反相微分電流在增大. 在燈絲電壓(電流或者燈溫)不變條件下，可以認為單位時間發射的電子數量是近乎穩定. 當所有熱電子都產生激發交換能量時，前端重聚峰將隨之消失. 事實上，即使減速電位VG2P高于管中原子激發電位，前端重聚區依然存在微分板極電流. 這一實驗現象再次說明，有部分攜帶高于激發電位的熱電子沒有發生交換能量而直接到達板極. 顯然，已經交換或者沒有交換能量的電子集體將形成下一浪熱電子，也隨之出現如圖5(a)所示的再次重聚峰.

在汞管實驗中，普遍發現IP-VG2K曲線相鄰IP峰(或谷)電位間距隨峰(或谷)序逐漸增大[17-21]. 文獻[20-21]認為板極電流峰電位間距遞增是由于“額外加速程”所致，文獻[14,19,21]還考慮了汞原子多能級激發概率統計. 盡管氬原子共振激發屬于單能級激發，但是圖1和圖2實驗結果也明顯存在IP峰(或谷)電位間距隨峰(或谷)序遞增現象. 由圖4可見，熱電子重聚峰形近乎對稱，但圖5(a)共振激發峰形明顯偏離對稱且向高VG2K移動. 在能量交換區，產生共振激發而失去能量(動能)的熱電子瞬間停止運動，或者說，此時在管中彌漫著負電位背景(本底)，它部分屏蔽了G2柵極電場的驅動作用. 因此，熱電子必將在比預期更高VG2K處才能獲得共振激發所需能量，圖5(a)實驗結果很直觀地展示了這一物理過程. 顯然，能量交換電位高移也延緩了后浪電子的能量統計分布進程. 如上所述，管中熱電子運動猶如江水奔流“后浪推前浪”，但每一浪都由于能量交換出現短時負電場屏蔽而延緩重聚進程.圖5(c)中，在能量交換區出現板極電流平臺也支持上述本底電場屏蔽作用分析. 隨之，后續“重聚—共振”又再次推高了能量交換電位……從而導致共振激發電位觀測值隨IP峰(或谷)序遞增的現象.

只要存在由于共振激發而失去動能熱電子在管中形成本底負電場對G2柵極產生屏蔽，且無法準確測量(或定量描述)其影響時，那么關于原子激發電位隨IP峰(或谷)序遞增的數值(擬合)分析都缺乏物理依據. 由此可見，盡管教科書中對圖1實驗數據提供了清晰的物理原理解釋，但是由相鄰板極電流峰(或谷)處VG2K間距所得原子激發電位并非準確定量結果.

3 結 論

以新視角分析了弗蘭克-赫茲實驗的物理實質，并采用微分測量技術深入研究了熱電子運動統計分布規律及其與管中原子交換能量的物理過程. 使用仿I-V法，引入弗蘭克-赫茲管等效電阻RF-H描述IP-VG2K關系，可以更直觀地反映熱電子與管中原子能量交換的共振吸收過程. 管中熱電子運動猶如江水奔流“后浪推前浪”，通過一系列不同G2柵極電位改變減速電壓VG2P微分板極電流測量結果，深入分析熱電子“重聚—共振”周期規律. 根據電流相位的物理涵義，區分電子重聚和共振激發不同情形的微分板極電流變化的物理本質. 實驗觀測發現，處于能量交換區共振激發而失去動能的電子在管中形成負電場本底且部分屏蔽G2柵極電場的加速作用. 這一現象不僅導致其他電子需要比預期更高VG2K才能獲得足以共振激發的能量，而且延緩了下次電子重聚進程.

致謝：在2015年暑假全國高校近代物理實驗教學研討會上，復旦大學蘇衛鋒教授介紹了在弗蘭克-赫茲實驗中使用鎖相技術測量板極電流隨VG2K變化的研究成果. 受此啟發，采用驅動電場周期調制方法測量微分板極電流隨VG2P變化. 在此表示感謝！