機械示波器的研制與振動合成演示

林春丹，李秋真，周廣剛，楊振清，張萬松

(中國石油大學(北京) a.理學院;b.新能源與材料學院，北京 102249)

大學物理教學中，為形象地說明簡諧振動的合成，通常采用1臺電子示波器和2臺信號發生器來演示拍現象和李薩如圖形的合成[1-2]. 將2臺信號發生器產生的簡諧振動信號同時輸入到電子示波器Y輸入端時顯示拍現象；將2臺信號發生器產生的簡諧振動信號分別輸入到電子示波器的X輸入端和Y輸入端后，示波器顯示李薩如圖形[3]. 此模式顯示的波形雖然穩定度好，但學生觀察不到波形的形成過程和合成過程，教學效果并不理想[4-5]. 此外，演示設備數量多、體積大、重量重且成本較高[6]. 而其他利用電振音叉[7]、單片機[8]等制成的儀器也存在穩定性低、圖形單一、結構復雜等弊端，難以達到理想的教學效果.

本文采用由3個振子(電磁振子、電動振子和鋼尺自由振動振子)、3面反射鏡、多面柱反射滾筒、激光筆、頻率計、電源等組成機械示波器，可以分別觀察到3個振子單獨振動的振動曲線，也能夠觀察到2個不同振子同時進行機械振動的合成運動圖形. 演示儀器結構簡單，實驗現象直觀，有助于加深學生對不同類型的振子振動及振動合成原理的理解.

1 實驗裝置結構

機械示波器的實驗裝置結構如圖1所示，由打點計時器、圓周運動轉換為往復運動、鋼尺振動分別作為電磁振子、電動振子和鋼尺自由振動振子的振源. 電磁振子和電動振子縱向安裝，鋼尺自由振動振子橫向安裝. 鋼尺自由振動振子位于電磁振子和自由振動振子之間，以使入射的激光光束通過反光轉筒的鏡片反射后，能依次經由電磁振子、電動振子和自由振動振子上的鏡片反射，在屏幕上成像.

1.電源 2.頻率計 3.屏幕 4.反光轉筒 5.電動機 6.連桿機構 7.第2反光鏡 8.電磁線圈 9.振片 10.第1反光鏡 11.鋼尺 12.第3反光鏡 13.頻率調整塊 14.激光發射器圖1 機械示波器結構示意圖

電磁振子如圖2所示，電磁線圈通過振片與第1反光鏡連接，電磁線圈產生電磁場帶動振片豎直振動，使第1反光鏡產生豎直振動. 為便于實驗展示，用打點計時器作電磁振子，將第1反光鏡替換打點計時器中與振片連接的振針，打點計時器的振動頻率為交流市電的工頻50 Hz.

圖2 電磁振子結構示意圖

電動振子如圖3所示，連桿機構上設有一固定點，且連桿機構的兩端分別與電動機和第2反光鏡連接，電動機的輸出軸作圓周運動，帶動連桿機構圍繞固定點轉動，第2反光鏡同時產生豎直振動，從而使得該電動振子實現縱向振動，激光光束通過第2反光鏡反射時，能夠反映該電動振子的縱向振動狀態. 通過改變電動機供電電壓即可實現該電動振子的振動頻率的變化.

圖3 電動振子結構示意圖

自由振動振子如圖4所示,包括鋼尺和第3反光鏡，鋼尺的一端固定，另一端與第3反光鏡連接，鋼尺用于帶動第3反光鏡作水平橫向振動. 鋼尺上設有頻率調整塊，頻率調整塊能沿鋼尺長度方向滑動，以調節鋼尺的振動頻率.

圖4 自由振子結構示意圖

反光轉筒包括滾筒和減速器，滾筒的外表面貼覆有反光鏡片，滾筒的轉動軸與減速器的輸出軸連接，減速器帶動滾筒轉動. 根據需要可以調整激光光束的反射角度. 為了保證反光轉筒對激光光束的反射角度精確可調，滾筒設計為多邊形截面的柱體結構，以使滾筒具有多個側表面，滾筒的每個側表面上分別設有一面反光鏡. 為了便于實驗，滾筒的外表面貼覆有25面反光鏡. 激光發射器用于向反光轉筒發射激光光束，減速器通過開關與可調直流電源連接，以調節滾筒轉盤的轉速. 頻率計與電磁振子連接，用于顯示電磁振子的振動頻率,裝置實物如圖5所示.

圖5 機械示波器實物圖

2 實驗原理

2個振動方向相同、頻率相差很小的簡諧振動合成為拍現象[9].

設2個分振動的振幅相等且初相均為零，2個簡諧振動的頻率ω1和ω2很接近，且ω1>ω2，故

x1=A1cos (ω1t+φ0),

(1)

x2=A2cos (ω2t+φ0).

(2)

根據運動疊加原理，設兩者的振幅相等，令

A=A1=A2,

(3)

因ω1～ω2，故ω1-ω2?ω1或ω2,

在2個簡諧振動的位移合成表達式中，第1項隨時間作緩慢變化，第2項是角頻率近于ω1或ω2的簡諧函數. 合振動的振幅隨時間作緩慢的周期性變化，振動出現時強時弱的拍現象[10]，如圖6所示.

圖6 拍現象示意圖

當2個方向相互垂直、頻率成簡單整數比的簡諧振動疊加時，在屏幕上顯示規則且穩定的封閉的合成運動軌道曲線，稱為李薩如圖形[11]. 李薩如圖形的具體形狀和兩分振動頻率的比值及初相位差有關.

3 實驗操作

3.1 振子的振動

機械示波器中電磁振子和電動振子的振動方向為縱向，而自由振動振子的振動方向為橫向. 當電磁振子、電動振子和自由振動振子中只有1個振子單獨振動，且反光轉筒中的滾筒未轉動時，激光光束反射后的光斑在屏幕中的軌跡分別為垂直線、垂直線和水平線；如果只有1個振子振動且滾筒轉動(即將光斑水平掃描)，則光斑在屏幕中的軌跡分別為正弦波、正弦波和水平線；此外，由于電動振子的頻率可變，則當滾筒轉動、且只有電動振子振動時，光斑在屏幕中的軌跡所顯示的正弦波的圖形會隨著電動振子的頻率變化而發生疏密變化，即該正弦波的頻率隨電動振子的頻率變化而變化.

3.2 拍現象的演示

當滾筒轉動時，如果電磁振子和電動振子同時振動，它們的振動方向均為縱向，保證電磁振子的頻率固定不變，調整電動振子的頻率大小，使之與電磁振子的頻率之間存在頻率差而且相差不大時，則光斑在屏幕中的軌跡為包絡面幅度呈周期性變化的拍現象圖形，如圖7所示. 常利用拍現象來校準樂器、測定聲波或無線電波的頻率.

圖7 實驗原理示意圖

3.3 李薩如圖形的演示

當滾筒不轉動時，如果電磁振子或電動振子分別與自由振動振子同時振動，它們二者的振動方向相互垂直. 保證電磁振子的頻率固定不變，分別調整電動振子或自由振動振子的頻率大小，使實驗中電磁振子或電動振子的頻率分別與自由振動振子的頻率之間存在整數比關系，隨著頻率比的不同則光斑在屏幕中的軌跡為不同形狀的閉合曲線，即一種李薩如圖形. 當僅有電磁振子與自由振動振子同時振動時，確保滾筒不轉動，由于電磁振子為縱向振動振子，且頻率固定，而自由振動振子為橫向振動振子，且頻率可調，則可調整自由振動振子的頻率，使2個振子的頻率間的關系為1∶1，則光斑在屏幕上顯示為斜線[如圖8(a)]、橫橢圓、豎橢圓或斜橢圓[如圖8(b)]中的一種李薩如圖形. 若2個振子的頻率之間的關系為1∶2或2∶1，則光斑在屏幕上顯示為橫8字、豎8字或斜8字[如圖8(c)]中的李薩如圖形. 當僅有電動振子與自由振動振子同時振動時，且滾筒不轉動，由于電動振子為縱向振動振子，而自由振動振子為橫向振動振子，且兩者的頻率均可調，只要調整兩者的頻率，使二者的頻率成簡單的整數比關系，則光斑在屏幕上顯示為一種李薩如圖形.

(a) (b) (c)圖8 3種典型的李薩如圖形

此外，如果已知1個振動的周期，根據李薩如圖形可以求出2個信號的周期比，由此求出另一個信號的周期. 因此在電工、無線電技術中常用于測定頻率或相位差[12].

4 結束語

機械示波器用于展示機械振動的運動圖像，學生不僅能夠直接看到電磁振子、電動振子和鋼尺自由振動振子各自的振動圖形，了解3種振子不同的振動原理，也能夠看到不同振子同時進行機械振動的同方向和垂直方向的合成運動軌跡圖，此外還能夠方便地進行拍現象圖形和李薩如圖形的切換觀察，節省了實驗時間. 無論采用何方式最終振子的運動均是機械運動，因此機械示波器全部采用能夠看得見的純機械振動來完成振動波形的顯示與合成，演示現象直觀、生動，且設備簡單、體積小、重量輕，便于攜帶，成本較低，適合用于大學物理的演示教學，有助于學生對振動合成的理解，提升教學和演示效果.