單向受拉狀態下的鋼纖維混凝土本構模型

畢繼紅，霍琳穎，喬浩玥，趙 云

(1.天津大學建筑工程學院，天津 300350；2.濱海土木工程結構與安全教育部重點實驗室，天津 300072)

混凝土結構在現代的工程建設中已被廣泛應用，但具有抗拉強度低、易受拉開裂、韌性差等缺點。通過在混凝土中加入隨機分布的鋼纖維，可以有效地提高混凝土的抗拉強度，控制裂縫的擴展，提高抗拉強度及韌性[1－4]。

基于一系列鋼纖維混凝土的力學試驗可知，鋼纖維主要在混凝土受拉開裂后起到增強作用，其中受拉開裂破壞是混凝土結構的主要破壞形式[5－7]。通過研究受拉狀態下的鋼纖維混凝土本構模型，可以得出鋼纖維對開裂后混凝土強度、韌度的增強機理，同時也為混凝土結構的有限元數值模擬提供了理論依據。因此，著重研究受拉狀態下鋼纖維混凝土的本構模型是十分必要的。

目前，國內外有很多學者對纖維混凝土的本構模型進行了研究。關虓等[8]澆筑了38 個鋼纖維混凝土試塊，并進行了單軸受壓本構模型試驗，通過對試驗結果進行統計分析，建立了鋼纖維混凝土的細觀損傷本構模型。池寅等[9]基于有限元軟件ABAQUS 中所采用的混凝土塑性損傷本構模型，進一步確定纖維混凝土中的屈服面函數、塑性勢能函數，以及單軸應力-應變關系的定義。Mihai 等[10]提出了一種基于斷裂力學的纖維混凝土本構模型，考慮了纖維混凝土的定向裂縫、粗骨料咬合及纖維的裂縫橋接作用。

現有的這些本構模型雖然適用于某些具體情況，但仍存在一定問題：有些本構模型的建立是基于試驗結果的數據擬合，缺乏理論上的支持，導致只能針對某一具體問題；有些作者考慮纖維對混凝土的影響時忽略纖維在混凝土中的滑移現象。并且，在現有本構模型中，有關鋼纖維在混凝土開裂后的滑移過程的研究仍不夠充分，但混凝土開裂后，在開裂面處通過鋼纖維的橋接作用，將大幅度提高混凝土的強度和韌性。

充分考慮鋼纖維在混凝土開裂后的橋接作用，本文提出了一種新的鋼纖維混凝土本構模型。混凝土開裂后的應力由開裂面上的鋼纖維和素混凝土共同承擔，混凝土所承擔的應力通過混凝土彌散開裂模型中應力-應變曲線的軟化段計算。通過角度影響因子，來考慮隨機分布的鋼纖維的角度對纖維增強作用的影響；采用粘結滑移理論，模擬纖維在混凝土中部分脫粘、完全脫粘并拔出的全過程，建立纖維滑移量與混凝土應變的聯系。

進一步研究了不同的鋼纖維摻量、長度及直徑等鋼纖維基本參數對鋼纖維混凝土抗拉強度、殘余強度及韌度等力學性能的影響，可為鋼纖維混凝土在實際工程中的應用提供參考建議。

1 混凝土及纖維的本構模型

鋼纖維混凝土作為復合材料，由混凝土和摻入纖維兩部分組成，其中混凝土作為基質，鋼纖維作為摻加物[10]。本文對于混凝土和纖維分別采用經典的彌散開裂本構模型[11]和理想彈塑性模型。下面將對這兩種本構模型分別詳細介紹。

1.1 三維混凝土彌散開裂本構模型

為了充分考慮混凝土的應力-應變全曲線中的硬化及軟化現象，基于依留辛假設的應變空間下的塑性力學理論，建立了混凝土本構模型。對混凝土應力增量進行分解，如式(1)。

式中：cdσ為總應力增量；為彈性預測應力增量；為彈性條件下塑性應變增量對應的殘余應力增量。

對于混凝土應變的彈性部分，服從廣義的虎克定律，計算公式為式(2)。

式中：K為素混凝土的彈性體積模量；G為素混凝土的彈性剪切模量。K和G分別被表示如下：

式中，Ec和ν分別為混凝土彈性模量和泊松比。

對于混凝土的塑性應變部分，基于依留辛假設，采用關聯流動準則，混凝土屈服函數等于塑性勢能函數，計算公式如下：

式中：dλ為一個非負比例系數；F為基于應變空間的混凝土屈服函數；ε為混凝土應變。

考慮在中性變載時混凝土屈服函數F 滿足一致性條件[11]，用式(7)表示：

式中，κ為混凝土屈服函數中的硬化軟化參數，定義了屈服函數的硬化軟化規則，用塑性功表示如下：

混凝土屈服面多是通過力學試驗，建立在應力空間下，由于應力空間的屈服面與應變空間的屈服面均為彈性范圍的邊界[12]，因此屈服函數可以按彈性關系進行如下變換：

式中，f為基于應力空間的混凝土屈服函數。

聯立方程組式(6)～式(9)，計算得到dλ: 將式(2)、式(6)和式(10)代入式(1)，混凝土的彈塑性本構模型可表示如下：

1.2 單向受拉狀態下的混凝土本構模型

本文采用有限元軟件ABAQUS 中混凝土彌散開裂本構模型使用的受拉屈服函數[13]，如式(13)所示：

式中：ft為應力空間下的混凝土抗拉屈服函數；b0為與混凝土抗拉強度相關的常數；為素混凝土的抗拉強度；σt為一個與混凝土受拉軟化相關的變量。

在混凝土單向受拉狀態下，σ1為軸向應力，σ2=σ3=0 混凝土的屈服函數可以簡化為：

此時，硬化軟化參數κ如下：

可以計算得到：

此時，dλ的計算如下： 在單向受拉狀態下，混凝土彈塑性本構模型中的彈塑性剛度矩陣計算如下：

1.3 鋼纖維的理想彈塑性本構模型

鋼纖維作為SFRC 中的添加物，在混凝土中始終處于彈性狀態，且僅考慮鋼纖維在軸線方向的受力情況[14]。因此，選用理想彈塑性本構模型表示混凝土中鋼纖維的應力-應變關系，如式(19)所示：

式中：σf為纖維軸向應力；εf為纖維軸向應變；Ef為纖維彈性模量；σfu為鋼纖維的抗拉強度。

2 纖維在彈性階段的增強作用

當SFRC 受拉處于彈性階段時，纖維和素混凝土始終保持粘結狀態，具有相同的位移變形，被視為簡單的復合材料。根據兩相復合材料理論[15]，綜合鋼纖維和素混凝土的彈性模量，SFRC 的彈性模量計算公式如下：

式中：Ef為SFRC 的彈性模量；Vf為纖維在混凝土中的體積分數。

用SFRC 的彈性模量Efc代替式(18)中素混凝土的彈性模量Ec，得到SFRC 的彈性剛度矩陣efcD，SFRC 的彈性階段的單向受拉本構模型如下：

式中：fcσ為SFRC 彈性階段的應力；fcε為SFRC彈性階段的應變。

3 纖維在裂縫處的增強作用

在SFRC 受拉開裂后，鋼纖維在阻止裂縫繼續擴展過程中起到了至關重要的作用。在混凝土開裂后，開裂面上的正應力由鋼纖維和素混凝土共同承擔[13]?；诨炷翉浬㈤_裂本構模型，素混凝土在裂縫發生時進入軟化段，可承受應力的快速下降。開裂后，應力通過開裂面上纖維的橋接作用傳遞給鋼纖維[16]。

3.1 混凝土的開裂準則和裂縫方向

纖維橋接作用發生在混凝土裂縫發生以后，對開裂后的應力傳遞發揮了非常重要的作用，但是纖維的存在不會影響到混凝土的開裂準則及裂縫擴展的方向[17]。

本文選用了有限元軟件ABAQUS 中混凝土的彌散開裂本構模型所采用的“裂紋檢測面”開裂準則，并將混凝土的屈服面作為“裂紋檢測面”，當應力達到“裂紋檢測面”時，混凝土出現裂縫。由于纖維在開裂前沒有橋接作用，仍可以采用素混凝土的開裂準則，使用素混凝土的初始受拉屈服函數作為SFRC 開裂準則的判定函數[18]。

在混凝土的有限元模型中，假設每個單元只存在一條裂縫，該裂縫通過單元的中心點。開裂面法線方向為初始屈服面上的最大塑性應變方向[18]。

基于彌散開裂模型對有限元模型的裂縫寬度的定義，SFRC 的裂縫寬度等于單元的塑性應變乘特征長度，如下式所示：

式中：u是有限元模型的單元裂縫寬度；Lc是有限元模型中單元的特征長度。

3.2 纖維取向的簡化和埋深長度的確定

關于纖維角度對增強作用的影響，不關注具體某根鋼纖維的取向角度，而是考慮所有纖維在混凝土中的角度分布系數。對于澆筑過程中充分振搗攪拌鋼纖維混凝土，鋼纖維在混凝土角度呈3D 隨機分布。如圖1 所示，圖中θ指纖維與混凝土開裂面法向形成的夾角。

圖1 鋼纖維取向的示意圖 Fig. 1 Orientation of steel fiber

通過對混凝土中的纖維角度θ進行積分，得到纖維在混凝土中，3D 隨機亂向分布的SFRC 中的纖維角度系數[19]。

式中：ηθ為纖維在混凝土中分布的角度系數；θ為纖維與混凝土開裂面法向的夾角。

利用角度分布系數ηθ，將在混凝土中隨機分布的纖維的簡化為單向均勻分布[20]。將纖維在開裂面法向方向上的投影長度視為纖維的有效長度，計算如下式：

由于纖維埋深長度較短一側的粘合強度弱于埋深長度較長一側，在混凝土開裂后，裂縫面上的纖維埋深較短側將優先被拉出，被計算為纖維埋深長度lf[21]。由圖2 所示，纖維的埋深長度取值從0 到纖維有效長度的1/2，由于纖維在混凝土中均勻分布，可以對纖維的埋深長度進行積分 計算。

式中，lf為纖維的埋深長度。

圖2 等效纖維分布示意圖 Fig. 2 Distributed of equivalent steel fiber

3.3 纖維在混凝土開裂后的增強作用

纖維對混凝土的開裂后的增強作用，作為一個應力附加項，加入到鋼纖維混凝土的本構模型中，如下所示：

式中：σf為在開裂面上單根纖維的應力；Af和Ac分別為鋼纖維和SFRC 單元的橫截面積；N為有限元模型中混凝土單元開裂面上的纖維根數。

由于鋼纖維在混凝土中均勻分布，每個單元中的纖維根數相同，混凝土單元開裂面上的纖維根數被計算如下：

如圖3 所示，對SFRC 中開裂面上的單根鋼纖維取隔離體，基于應力的平衡，采用剪滯模型[21]如式(29)：

式中，df為纖維直徑。

圖3 纖維隔離體上的應力分布 Fig.3 The stresses of the free-body in the fiber

在纖維混凝土開裂后，纖維通過與混凝土之間的脫粘和拔出過程，在開裂面上起到橋接作用。本文采用粘結滑移模型去模擬纖維在混凝土中的橋接作用[22]。纖維在混凝土開裂面上的橋接作用主要包括以下兩個階段：1) 纖維與混凝土界面的脫粘過程；2) 纖維與混凝完全脫粘后的拔出過程，如圖4所示。

在纖維部分脫粘時，采用粘結滑移模型[23]模擬纖維與混凝土的界面脫粘過程的受力情況；在纖維完全脫粘后，采用摩擦理論[24]模擬纖維與混凝土完全脫粘后，在混凝土空腔內的拔出行為。建立纖維與混凝土基質之間的粘結滑移模型，用如下計算公式表示：

圖4 混凝土中單根纖維脫粘過程 Fig.4 Debonding behavior of single fiber in concrete

式中：μ為纖維與混凝土之間的動摩擦系數，根據試驗可知μ可近似等于0.6[25]；FN為混凝土對纖維的握裹力；τmax為纖維混凝土界面平均最大剪應力；sf,max為纖維部分拔出時最大滑移量。

當混凝土裂縫寬度超過sf,max時，認為纖維與混凝土完全脫粘。分別用式(31)～式(32)計算sf,max和τmax：

式中：Pmax指單根鋼纖維的拔出力，根據試驗可知單根鋼纖維的拔出力可近似為60 N[7,24]；x指從開裂面到纖維埋深末端的距離，如圖5 所示。

圖5 混凝土單元中纖維埋深 Fig.5 Fiber embedded in concrete element

為了保證混凝土中每根纖維都會通過一個開裂面，并且僅通過一個開裂面。假設有限元模型中單元特征長度等于鋼纖維的有效長度，即Lc=l～f。

將式(27)、式(28)和式(30)分別引入式(26)中，建立了包含纖維滑移作用的SFRC 的彌散開裂本構模型：

纖維部分脫粘時：

纖維完全脫粘時：

4 有限元模型的試驗驗證

本文將SFRC 視為單一均質材料，將第3 節提出的單向受拉條件下的SFRC 本構模型，進行Fortran 代碼編程。通過有限元軟件ABAQUS 中的提供的自定義材料本構模型的子程序接口Umat，將本文提出的本構模型作為一種全新的適用于SFRC 單向受拉情況的材料本構模型引入到ABAQUS 的材料模型庫，并用于有限元模型的數值模擬[26]。

4.1 有限元模型的建立

依據Li 等[27]進行的素混凝土及纖維混凝土單向受拉試驗，本文對受拉試驗進行了有限元模型的數值模擬。首先，在有限元軟件ABAQUS 中建立幾何尺寸為100 mm×100 mm×1000 mm 的數值模型，該模型的幾何尺寸和網格形狀如圖6 所示。

圖6 單向受拉試驗的有限元模型和網格尺寸 Fig.6 Finite element model and mesh size for uniaxial tensile tests

選擇三維八節點六面體實體單元(C3D8)來建立SFRC 模型，同時，為了采用ABAQUS 中用戶自定義的材料本構模型，選用線性完全積分單元；并選擇本文在ABAQUS 中建立的本構模型；模型邊界條件為約束模型的底部單元的六個方向的自由度。

試驗中的加載方式，從模型頂端進行位移加載；模型中需要的鋼纖維及混凝土材料的力學性能在表1 中給出。

表1 鋼纖維及混凝土的力學性能 Table 1 Peak seismic responses with and without dashpots

4.2 有限元模型的試驗驗證

將有限元模型模擬的應力-應變曲線與Li 等[27]的試驗數據進行比較，如圖7 所示。SFRC 和素混凝土在單軸受拉狀態下有限元模擬結果與試驗數據吻合良好，對比受拉應力峰值及峰值處的應變值，誤差均小于5%。有效證明了本文提出的SFRC本構模型的正確性及建立的有限元模型的準確性。

在混凝土開裂后，鋼纖維在開裂面上通過橋接作用，承擔拉應力，鋼纖維在開裂面上的橋接作用可以使混凝土在開裂后繼續受拉。且隨著裂縫的擴展，纖維與混凝土逐步脫粘、拔出，在該過程中纖維持續承受拉應力，顯著提高纖維的抗拉強度及殘余強度。由圖7 可知，在混凝土中加入體積分數為2%的鋼纖維，混凝土的抗拉強度從4 MPa 提高到4.75 MPa，提高了19%；殘余應力強度則從0.65 MPa 提高到3.68 MPa，提高了近5.7 倍。

圖7 纖維摻量2%的SFRC 的應力-應變曲線 Fig. 7 Stress-strain curves of SFRC with 2% steel fiber

根據ASTM C1018 規范，采用峰值韌性指數對SFRC 韌性進行了評估[28－29]。峰值韌性指數通過SFRC與素混凝土的峰值韌性之比計算，如式(35)：

式中：TI為混凝土峰值韌性指數；Tfc為SFRC 的峰值韌性；Tc為素混凝土的峰值韌性。

峰值韌性的值是計算：峰值應力時，混凝土的應力-應變曲線與應變軸所圍成的面積，如圖8 所示。

圖8 混凝土韌性計算的示意圖 Fig. 8 Schematic diagram of concrete toughness

通過計算可知，具有2%鋼纖維摻量的混凝土的峰值韌性指數為1.6，即SFRC 的峰值韌度比素混凝土提高了1.6 倍，韌性增強明顯。

5 參數化分析

由第4 節可知，纖維作為混凝土中重要摻加材料，對纖維混凝土的抗拉強度、殘余強度和韌度等力學性能，有顯著的增強效果。本節以Li 等[27]的鋼纖維混凝土單向受拉試驗為基礎，對纖維摻量、直徑、長度等重要參數進行深入探究。

5.1 探究纖維摻量的影響

為了探究纖維摻量對纖維增強作用的影響，保持纖維長度30 mm、直徑0.5 mm、長徑比60 等幾何尺寸不變，分別模擬計算含有纖維摻量為0.5%、1%、1.5%、2%、2.5% 和3%的SFRC 的單向受拉情況，得到其應力-應變曲線，如圖9 所示。

圖9 具有不同纖維摻量的SFRC 的應力-應變曲線 Fig.9 Stress-strain curves of SFRC with different fiber volume fractions

SFRC 的抗拉強度和殘余強度隨著纖維摻量的增強都有大幅提高。是因為纖維體積分數的提高，混凝土中纖維根數線性增加，所以，在有限元模型中每個單元中纖維數量增多，使混凝土開裂后纖維橋接的增強作用更加顯著。

由圖10 可知，纖維體積分數對纖維混凝土抗拉強度的增強作用顯著，并且隨著纖維摻量越大，抗拉強度增長幅度越大，當纖維摻量達到3%時，混凝土抗拉強度提高了近39%。

圖10 纖維摻量對抗拉強度的影響 Fig.10 Effect of fiber content on tensile strength

由圖11 可知，纖維摻量與混凝土的殘余強度呈線性關系。這是由于在混凝土開裂穩定后，裂縫處纖維與混凝土完全脫粘，并在混凝土空腔內拔出，纖維剪應力由摩擦作用提供為定值，因此隨纖維根數增多，SFRC 的殘余強度線性增長。

圖11 纖維摻量對殘余強度的影響 Fig.11 Effect of fiber content on residual strength

5.2 探究纖維直徑的影響

為了探究纖維直徑對纖維增強作用的影響，保持纖維體積分數為2%和纖維長度為30 mm。分別計算纖維直徑為0.2 mm、0.3 mm、0.4 mm、0.5 mm和0.6 mm 的SFRC，在單向受拉時的應力-應變曲線，如圖12 所示。

隨著纖維直徑的提高，纖維混凝土的抗拉強度和殘余強度都出現了降低。是由于纖維摻量不變，混凝土中纖維根數隨纖維直徑的增大而減小。

圖12 具有不同纖維直徑的SFRC 的應力-應變曲線 Fig. 12 Stress-strain curves of SFRC with different fiber diameters

由圖13 可知，隨纖維直徑的提高，FRC 抗拉強度逐漸降低，但仍明顯高于素混凝土的抗拉強度。這是因為在纖維摻量不變的前提下，隨纖維直徑提高，混凝土中纖維根數減少，在混凝土開裂初期纖維與混凝土部分粘結，開裂面上的纖維根數的減少導致纖維對抗拉強度的增強作用有所減弱。

由圖14 可知，隨纖維直徑的提高，SFRC 殘余強度逐漸降低，但仍明顯高于素混凝土的殘余強度。同樣是由于纖維直徑的增大導致了混凝土中纖維數量的降低。

圖13 纖維直徑對抗拉強度的影響 Fig.13 Effect of fiber diameter on tensile strength

圖14 纖維直徑對殘余強度的影響 Fig.14 Effect of fiber diameter on residual strength

5.3 探究纖維長度的影響

為探究纖維長度對纖維增強作用的影響，保持纖維體積分數為2%和纖維直徑為0.5 mm，分別計算纖維長度分別為20 mm、25 mm、30 mm、35 mm、40 mm 和45 mm 的纖維混凝土，得到各自的應力-應變曲線。

如圖15 所示，隨纖維長度的提高，SFRC 抗拉強度有所降低，但仍明顯高于素混凝土。同時，殘余強度都有明顯提高。這是由于在纖維摻量不變的前提下，隨纖維長度提高，混凝土中纖維根數減少， 在開裂初期，主要有纖維根數對抗拉強度和峰值韌度起到增強作用；在開裂后期，則主要有纖維長度對混凝土殘余強度起到增強作用。

圖15 具有不同纖維長度的SFRC 的應力-應變曲線 Fig.15 Stress strain curves of SFRC with different fiber lengths

如圖16 所示，當纖維長度較小時，應力峰值在混凝土開裂初期，由開裂面上纖維根數決定，隨纖維長度增大，抗拉強度有所降低；當纖維長度較大時，應力峰值出現在開裂后期，主要由纖維埋深長度影響，隨纖維長度增大，纖維混凝土抗拉強度顯著提高。

如圖17 所示，隨纖維長度的提高，SFRC 殘余強度的增強，在混凝土開裂后期，纖維長度對殘余應力影響顯著。

圖16 纖維長度對抗拉強度的影響 Fig.16 Effect of fiber length on tensile strength

圖17 纖維長度對殘余強度的影響 Fig.17 Effect of fiber length on residual strength

6 結論

本文基于素混凝土的彌散開裂本構模型，考慮到混凝土開裂面上鋼纖維的橋接增強作用，提出了一種鋼纖維混凝土的彌散開裂本構模型。

通過Fortran 代碼編程，利用ABAQUS 中的自定義材料接口Umat，將本文提出的鋼纖維混凝土本構模型引入到有限元軟件ABAQUS 的材料庫中。并采用該本構模型在ABAQUS 中進行數值建模，并將模擬的應力-應變曲線與實驗數據進行對比，驗證了本構模型的正確性和有限元模型的準確性。

進一步探究了纖維摻量、直徑和長度等變量對纖維增強作用的影響。在混凝土開裂初期，主要由纖維根數影響混凝土抗拉強度的提高，在開裂后期，主要由纖維長度影響混凝土的殘余應力。

在實際工程應用中，纖維的體積分數可以直接有效地提高混凝土的力學性能?；谟邢拊獢抵的M結果，綜合考慮工作性能、抗拉強度以及韌度等綜合因素，在相同的纖維摻量下，摻入直徑0.4 mm、長徑比100 的鋼纖維達到混凝土力學性能最優，建議選取該長細比應用于工程應用。