“一元”升至“二元”“二元”回歸“一元”

浦敘德

在七年級上學期，我們學習了“第4章 一元一次方程”，由此拉開了初中代數“方程”板塊的序幕。在本學期，我們又開始學習“第10章 二元一次方程組”，顯然本章是一元一次方程內容的延續，當然也是后續方程知識的前奏和基礎。方程是初中非常重要的代數核心知識，可以看成是獨立的一個知識板塊，也可以看成是數與式的運用。全面整體認識“二元一次方程組”，既有利于提高對一元一次方程的認識，又能為后續方程學習奠定扎實的基礎。

一、對方程定義的再認識

含有未知數的等式叫作方程。只含有一個未知數（元），并且未知數的次數都是1（次），像這樣的方程叫作一元一次方程。從一元一次方程的定義可以看出，方程的名稱是由“元”和“次”來確定的。當“元”（也就是未知數的個數）增加，“次”不增加時，就會得到二元一次方程、三元一次方程、……、n元一次方程。顯然，二元一次方程就是在一元一次方程的基礎上增加了一個元，不增加次。當“次”（也就是未知數的最高次數）增加，“元”不增加時，就會得到一元二次方程、一元三次方程、……、一元n次方程，而一元二次方程就是在一元一次方程的基礎上增加了次，不增加元的產物，也是后面九年級我們要研究的內容。如果給出一個二元二次方程、……、n元n次方程，通過以上的分析，你一定可以理解這是怎樣的一個方程。

二、對方程解法的再認識

對于一元一次方程，我們通過“去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1”等基本步驟，可以求出方程的解，并且我們發現，一般的一元一次方程有一個唯一的解。對于二元一次方程，我們發現，由于方程中有兩個未知數，它們之間相互制約，結果一個二元一次方程有無數個解，這就預示著二元一次方程的解具有不確定性，而這不是數學和生活中希望出現的現象。為了使方程的解由無限變成有限，由有限再到唯一，于是，就把兩個方程放在一起組成二元一次方程組。此時我們發現，二元一次方程組一般情況下有唯一的解。同理，數學上還會出現三元一次方程組、n 元一次方程組，感興趣的同學可以對此進行深究。

三、對方程組消元的再認識

如果說，從一元一次方程到二元一次方程（組），是從“一元”上升到“二元”，那么二元一次方程組的“代入法”和“加減法”的消元解法，實際上就是從“二元”回歸“一元”。換言之，就是把新的二元一次方程組化歸到舊的一元一次方程。轉化、化歸，這是數學的精華，把復雜的轉化為簡單的，把新知識轉化為已經學過的舊知識。由此可以看出，對于解三元一次方程組，可以先消去一元變成二元一次方程組，再消去一元變成一元一次方程。這樣對于解方程組的問題，我們的思路就非常明確了，就是通過不斷地“消元”，從三元變成二元，從二元變成一元，最后化歸到最簡單和最特殊的一元一次方程。那么，對于增加了次數的方程如何來解呢？聰明的你一定會想到，那就是“降次”。把高次的逐步降成低次，三次的降成二次，二次的降成一次，這樣，一個一元高次方程最后也化歸成最簡單和最特殊的一元一次方程。

四、對方程單元的再認識

回顧已經學習過的一元一次方程這章的內容，我們分別學習了一元一次方程和解的定義、一元一次方程的解法、一元一次方程的應用三大塊內容。現在再來看本章學習的軌跡就非常清晰了，首先我們學習了二元一次方程和解的定義，接著學習二元一次方程的解法，發現它的解有無數個，具有不確定性，于是我們又學習二元一次方程組和解的定義，再學習二元一次方程組的消元解法，最后學習二元一次方程組的應用。我們發現解法和應用是每一個方程單元的重點核心內容，尤其是在解方程的基礎上的方程應用，是體現學以致用、數學價值的內容，必須引起我們的高度重視。

五、對方程建模的再認識

方程是解決現實世界中具有數量相等關系的生活問題的一個重要模型。一元一次方程重點解決具有一個等量關系的生活問題，二元一次方程組重點解決具有兩個等量關系的生活問題，其他方程以此類推。怎樣把實際問題變成方程問題呢？這就是數學中的方程建模。具體流程如下：把“實際問題”變成一個“數學問題”;把“數學問題”變成一個“方程問題”（一元一次方程或二元一次方程組）;求出“方程（組）問題的解”;檢驗這個解是否符合實際問題，進而得到“實際問題的解”，從而解決實際問題。建立方程模型的標志之一是實際問題中必須含有數量的相等關系。當然，如果出現的數量關系是不等關系，那就要用到我們接下來要學習的“不等式”的知識板塊了。

對于方程，我國古代很早就有人研究。方程這個名詞，最早見于我國古代算書《九章算術》。在公元前一世紀的時候已有多元方程組、一元二次方程及不定方程等幾種。可見，對方程的研究從古到今從未停止過。現在我們可以把方程看成是表達數量之間相等關系的“天平”，也可以把方程看成是“未知”中的“已知”。雖然我們在沒有求解方程之前看到的是未知數，但事實上，這個未知數是一個早就確定的已知數。在方程板塊知識中還有很多有趣、有用、有挑戰性的問題，如費馬大定理等，有志勇攀數學高峰的同學不妨去探究一番。

（作者單位：江蘇省無錫市新吳區教師發展中心）