基于D- M 模型的II 型加載裂紋問題的J 積分表達(dá)式

方豪

（重慶交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，重慶400000）

1 概述

D-M模型是D.S.Dugdale 提出來的，他將如圖1A 所示的曲線三角形看成裂紋的塑性區(qū)，并假設(shè)其區(qū)域內(nèi)的材料具有理想塑性。[1]D-M模型是對貫穿裂紋的大型薄板拉伸試驗的研究。本文想對D-M模型的裂紋加載方式進(jìn)行改變，從I 型加載裂紋改為II 型加載經(jīng)典裂紋，即讓裂紋從受拉變?yōu)槭芗?。從而再來計算其J 積分的表達(dá)式。

2 COD 法及D-M 模型

COD 法又稱裂紋張開位移法，這是由Wells 在1963 年提出的。[1]雖然這種方法是建立在實踐之上的經(jīng)驗分析方法，但是工程界已經(jīng)得到了廣泛的應(yīng)用。所謂COD，就是裂紋尖端的裂紋表面張開的位移量。這個位移量的大小很明顯與對象的受載情況有關(guān)，兩者是一一相關(guān)的，由此可得這個位移量的大小也同時對應(yīng)裂紋端部一定的應(yīng)力、應(yīng)變場的強(qiáng)弱程度。對于金屬材料尤其是延性較好的金屬裂紋體，在荷載的作用下，由于裂紋尖端的應(yīng)力集中的影響，該裂紋尖端材料會發(fā)生塑性滑移，這會導(dǎo)致裂紋尺寸的增大，裂紋尖端稍稍張開，從而引起裂紋尖端的鈍化。[2]下文所用到的位移量δ，就是這里的COD 值，也是裂紋端部應(yīng)力、應(yīng)變場的間接度量。

但是COD 法仍然存在一些問題，比如COD 定義的究竟是裂紋上哪一點的位移量，目前也還沒有統(tǒng)一的說法。

D-M模型實際如圖1A 所示，其裂紋長度2c，計算所得強(qiáng)度因子為K1；而在圖1B 中，同樣是拉伸狀態(tài)下的2a 長度的裂紋，所求得的強(qiáng)度因子為K1'；C 中在兩個曲線三角形，也就是我們假設(shè)的理想塑性區(qū)單獨加載所求得的強(qiáng)度因子為K1''。三者有如下關(guān)系：

從上式可以得出A 可以拆分成B C 兩個模型來分別計算，即A 模型是由B C 的疊加。

圖1 D-M 模型示意圖A（左）、B（中）和C（右）

3 公式推導(dǎo)

由于D-M模型是消除了奇點，如圖2 所示的整個區(qū)域的應(yīng)變都是小應(yīng)變，所以J 積分的路線無關(guān)性是準(zhǔn)確成立的。

圖2 積分示意圖

這里選取彈塑性區(qū)域的邊界線ABC 作為積分的回路來計算。J 積分有兩種表達(dá)形式：一是回路積分定義的表達(dá)式；二是變形功率定義的表達(dá)式。其中回路積分定義為：[3]

其中：

dy=0

所以原式改成：

現(xiàn)有

帶入(2)得：

設(shè)n1、n2為弧線元ds 的外法線方向n 的方向余弦，即：

所以有：

由于積分路線上有：

故：

將其帶入式(3)可得：

又因

故得

4 結(jié)論

推導(dǎo)得II 型裂紋下的J 積分表達(dá)式：