基于迭代學(xué)習(xí)控制的雙容水箱液位控制

侯君虹

（陸軍步兵學(xué)院 石家莊校區(qū)，石家莊 050000）

0 引言

在現(xiàn)代工業(yè)生產(chǎn)控制過程中，主要的被控量通常為：液位、流量、溫度和壓力4 種。其中，液位作為這4 種常見被控量中最容易測量和直接觀察的被控量，理所應(yīng)當(dāng)受到的關(guān)注也是最多[1]。而雙容水箱作為最常見的液位控制對象，工業(yè)上很多復(fù)雜的被控對象常常抽象為它的數(shù)學(xué)模型來研究。所以，對雙容水箱的液位控制研究具有很廣泛的應(yīng)用背景和很重要的研究價值。

可是雙容水箱系統(tǒng)一般呈非線性，并且存在著容積延遲，液位變化緩慢，系統(tǒng)慣性比較大等問題[2]。實踐證明，傳統(tǒng)PID 系統(tǒng)對雙容水箱的調(diào)節(jié)時間比較長且控制效果并不是很好。

迭 代 學(xué) 習(xí) 控 制（Iterative Learning Control，ILC）由Uchiyama 于1978 年首先提出[3]，影響較小，后來Arimoto等[4]又于1984 年用英文發(fā)表。該方法的基本策略是，針對一類在有限區(qū)間上重復(fù)運行的非線性動態(tài)系統(tǒng)，通過前一次或前幾次運行得到的誤差信息和控制輸入信息來修正當(dāng)前的控制輸入信息，以便可以使得整個重復(fù)任務(wù)可以取得更好的效果，如此不斷重復(fù)，知道在整個時間區(qū)間上，系統(tǒng)的輸出完全跟蹤期望軌跡[5,6]。

本文為雙容水箱的液位控制提供了一種利用I/O 數(shù)據(jù)的控制方式——ILC。首先對ILC 進行了詳細(xì)的研究，然后利用控制系統(tǒng)的I/O 數(shù)據(jù)得到一次迭代的控制量，進而對雙容水箱的液位進行控制，最后在MATLAB 中進行仿真，得到多次迭代后的仿真圖，通過這些仿真圖可以看出ILC的有效性。

1 迭代學(xué)習(xí)控制

考慮如下連續(xù)被控系統(tǒng)：

其中，x∈Rn，u∈Rr，y∈Rm，x為系統(tǒng)的狀態(tài)向量，u為系統(tǒng)的控制向量，y為系統(tǒng)的輸出向量。假設(shè)系統(tǒng)在時間區(qū)間[0,T]不斷重復(fù)，最終使得y(t)→yd(t)。

在第k 次運行時，式（1）表示為：

輸出誤差為：

迭代學(xué)習(xí)控制的目標(biāo)：對給定的控制對象，在規(guī)定的時間t∈[0,T]，尋找優(yōu)化的控制輸入uk(t)，使得當(dāng)?shù)螖?shù)k 趨于無窮時，系統(tǒng)的輸出信號yk(t)與期望軌跡yd(t)之間的偏差為零[7,8]。

關(guān)于目前已有的迭代學(xué)習(xí)控制的學(xué)習(xí)律包括P 型、D 型、PID 型、高階學(xué)習(xí)算法以及帶遺忘因子的學(xué)習(xí)算法[9-11]，本文將詳細(xì)介紹PID 型學(xué)習(xí)律。

PID 型學(xué)習(xí)律可以描述為：

由于PID 型學(xué)習(xí)律算法簡單有效、計算量小，且需要極少的系統(tǒng)先驗知識，從而得到了廣泛和深入的研究，是最成熟的迭代學(xué)習(xí)控制算法之一[12]。

閉環(huán)迭代學(xué)習(xí)控制的迭代效果要好于開環(huán)迭代學(xué)習(xí)控制，因為在迭代的過程，它使用的是本次操作時的輸出誤差，而不是上一次迭代的輸出誤差。開環(huán)迭代學(xué)習(xí)控制采用的是離線的計算方法，對系統(tǒng)的計算要求不高；閉環(huán)迭代學(xué)習(xí)控制存在部分在線計算量，對系統(tǒng)的要求更高。

每一次迭代結(jié)束時，需要檢驗是否滿足停止條件。若滿足，則停止運行。設(shè)ε 為設(shè)定的允許跟蹤精度，一般的停止條件為：

迭代學(xué)習(xí)控制算法具體算法流程[8]如下所述，設(shè)t∈[0,T]：

1）k=0 時，給定期望輸出yd(t)，初始輸入u0(t)。

2）對被控對象施加輸入uk(t)，采集并存儲yk(t)。

3）計算輸出誤差ek(t)=yd-yk(t)，根據(jù)迭代學(xué)習(xí)律，計算出下一次控制輸入量，存入存儲器中。

4）檢驗停止條件，若滿足，停止迭代；若不滿足，則k=k+1，跳入第二步重復(fù)運行。

2 控制器參數(shù)優(yōu)化方法

開環(huán)PID 型迭代學(xué)習(xí)控制器參數(shù)優(yōu)化的過程是基于對迭代過程收斂性分析得出的[13,14]。

設(shè)被控對象為線性時不變的離散系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)為：

其中，z-1為標(biāo)準(zhǔn)的時間延遲算子，參數(shù)hi為系統(tǒng)H(z)的標(biāo)準(zhǔn)Markov 參數(shù)。并且該系統(tǒng)在時間[0,T]上不斷重復(fù)運行，k 表示迭代次數(shù)。定義下列向量：

則受控系統(tǒng)（6）可以表示為：

則Hp為由被控對象Markov 參數(shù)構(gòu)成的矩陣為：

則受控系統(tǒng)的離散PID 型迭代學(xué)習(xí)控制律為：

其中，kp，ki， kd為PID 型迭代學(xué)習(xí)控制器的參數(shù)。

式（6）采用向量的形式為：

其中，Ti=T([1,1,…,1]T)，Td=T([1,-1,…,0]T)。

由（6）式可得：

經(jīng)計算可以得到：

整個迭代過程的收斂條件為：

由于He是一個下三角的Toelitz 矩陣，可知：

且有He=T(he)，所以條件∥He∥＜1 是Ek的1-范數(shù)和∞-范數(shù)收斂的充分條件，這樣ILC 參數(shù)的設(shè)計就會轉(zhuǎn)換成求解合適的kp，ki，kd使得∥He∥＜1。從而，使得應(yīng)用簡單的數(shù)學(xué)計算方法來完成ILC 參數(shù)的設(shè)計成為可能。

定義下面優(yōu)化設(shè)計的性能指標(biāo)：

令H=[hi:h:hd]∈RN×3和gPID=[kp,ki,kd]T，并對g 求導(dǎo)，經(jīng)過一系列計算可得：

式（14）就是求得學(xué)習(xí)控制器最優(yōu)參數(shù)，采用此數(shù)據(jù)結(jié)果可以緩解收斂速度慢的問題，加快學(xué)習(xí)收斂速度。

圖1 輸出跟蹤曲線Fig.1 Output tracking curve

圖2 誤差變化圖Fig.2 Error variation chart

關(guān)于連續(xù)系統(tǒng)迭代學(xué)習(xí)控制器參數(shù)優(yōu)化的方法可以借鑒離散系統(tǒng)的求法，但條件是連續(xù)系統(tǒng)必須保證在整個仿真過程中采樣時間（仿真步長）不變。

3 仿真

通過對雙容水箱進行機理建模[2]，可以得出其傳遞函數(shù)為：

其中，A1=A2=2m2，R1=0.3656，R2=0.305[15]。

根據(jù)開環(huán) PID 型迭代學(xué)習(xí)控制器參數(shù)優(yōu)化的方法可以得出：Kp=1.4005，Ki=0.0084，Kd=12.5495。

另外，通過實驗試湊法得出閉環(huán)PID 型迭代學(xué)習(xí)控制器參數(shù)如下：Kp=4.5，Ki=1，Kd=20。可以得出迭代學(xué)習(xí)控制的輸出跟蹤曲線和誤差變化曲線分別如圖1、圖2 所示。

具體部分?jǐn)?shù)據(jù)見表1。

從圖1 的（a）（b）可以看出，開環(huán)PID 型迭代學(xué)習(xí)和閉環(huán)PID 型迭代學(xué)習(xí)都可以實現(xiàn)對雙容水箱的控制。從圖2 和表1 可以看出閉環(huán)迭代學(xué)習(xí)控制只需要較少迭代次數(shù)便可以實現(xiàn)精確地跟蹤，這是因為開環(huán)迭代學(xué)習(xí)控制只利用了系統(tǒng)的前一次信息，而閉環(huán)迭代學(xué)習(xí)在系統(tǒng)前一次信息的基礎(chǔ)上更好地利用了系統(tǒng)的當(dāng)前信息。但是，由于閉環(huán)迭代學(xué)習(xí)控制系統(tǒng)學(xué)習(xí)律參數(shù)是通過實驗試湊得到的，過程往往復(fù)雜卻得不到理想的控制效果。在本文中閉環(huán)迭代學(xué)習(xí)控制系統(tǒng)對雙容水箱的跟蹤速度更快。

表1 誤差eTable 1 Error e

4 結(jié)束語

將迭代學(xué)習(xí)算法應(yīng)用于雙容水箱的液位控制中，通過仿真結(jié)果表明：不管是開環(huán)PID 型迭代學(xué)習(xí)還是閉環(huán)迭代學(xué)習(xí)都可以取得較好的控制效果，達到了較高精度的跟蹤控制要求。在本文中對開環(huán)PID 型迭代學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)律參數(shù)進行了優(yōu)化設(shè)計，使其參數(shù)可以通過簡單的數(shù)學(xué)計算得到，不需要進行反復(fù)的試湊，這也是開環(huán)迭代學(xué)習(xí)優(yōu)于閉環(huán)迭代學(xué)習(xí)的地方。因此，對閉環(huán)迭代學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)律參數(shù)需要做進一步的研究，得出一個更加便捷的方法。