超聲換能器聲場的快速數值模擬與聲透鏡的優化設計

(西安電子科技大學 微電子學院，西安，7100071)

1 引言

高頻的超聲換能器聲場建模一直是一個困擾超聲換能器優化設計和研制的難題[1-5].利用COMSOL等有限元仿真軟件進行高頻超聲換能器的仿真需要耗費大量時間，隨著仿真頻率的提高，消耗時間會指數上升.超聲換能的器設計參數眾多，使用有限元模擬方法對其進行優化設計不利于縮短研發周期.此外，超聲聲場調控在生物成像、神經調節、粒子操縱和無損檢測中起著至關重要的作用[6-8].利用超材料透鏡，控制聲場的每一個網格點的相位，從而實現聲場調控是一個比較熱門的方法.

角譜傳播方法在光場的快速建模方面具有顯著成效，可以將其應用到聲場的快速建模中.基于角譜傳播方法，利用COMSOL等有限元仿真軟件或利用水聽器等手段得到的表面聲場進行傳播計算，可以快速得到超聲換能器聲場傳輸的二維/三維信息，比有限元軟件仿真速度有大幅提升.Gerchberg-Saxton迭代算法[9,10](后文簡稱GS算法)是一種檢索光分布相位的方法.類似地，可以將GS算法用于聲場相位的計算，結合聲場快速建模方法實現聲全息表面的快速調控.

本文建立一種基于角譜法的超聲換能器聲場快速建模算法，可以完成超聲換能器聲場的二維/三維快速建模.此外，結合角譜法和GS算法，優化聲全息透鏡，實現超聲換能器聲場調控.

2 基本原理

2.1 角譜概念

對于一維時域聲場u(t)，其存在固有的屬性如周期T，頻率f，同時，可以計算得到其空間角頻率ω=2πf=2π/T.同理，對于空間中深度為z處的平面二維聲場U(x,y,z)，也會存在空間周期λ，空間頻率fs，及空間角頻率k=2πfs=2π/λ.k亦稱為波矢.

對一隨時間變化的信號u(t)進行傅里葉變換，得到的是該信號的頻譜分布；對空間中深度為z處的平面二維聲場U(x,y,z)進行二維傅里葉變換，則可以得到其空間頻譜分布.由于各個不同空間頻率的傅里葉分量，可看作沿不同方向傳播的平面波，因此，也可稱其為平面波的角譜.

2.2 角譜與二維傅里葉變換

空間中深度為z處的一個單頻單向(方向為k0)的平面波聲場U0(x,y,z)可表示為：

=A0exp[j2π(fx0x+fy0y+fz0z)],

(1)

式(1)可以化為：

從上式提取前兩個因子得到聲場某一方向的角譜AS(angle spectrum)：

若考慮一個z平面(即z=z的平面)中可以自由傳播的單頻平面波聲場U(x,y,z)，則其與角譜AS(fx,fy,z)有如下關系：

上式即為單頻平面波聲場的二維傅里葉變換，其逆變換如下：

2.3 基于角譜法(ASM)的聲場快速建模

由于自由傳播的聲場U(x,y,z)為穩態聲場，滿足亥姆霍茲(Helmholtz)方程，故我們得到以下方程組[11-14]

可求得其特解

(2)

其中，AS(fx,fy,0)表示位于平面z=0的聲場U(x,y,0)對應的角譜.

通過式(2)，我們看到z平面內聲場的角譜與振幅和頻率無關.在理想情況下，聲場在傳播過程中僅發生相位改變，振幅不變.此外，將角譜與傳輸距離z相關的項提取出來，可以得到傳輸函數H(z)的表達式：

波數k在x,y軸上的投影分別為：

對某一特定尺寸聲場，kx的取值范圍為：

其中，M為初始聲場采樣點的數量，L0為初始聲場在x軸方向上的寬度(默認x軸和y軸寬度相等).ky的取值范圍類似.

對于不滿足此條件的kx,ky，將傳輸函數置零，相當于實現了空間濾波.

綜上所述，我們利用角譜方法獲得超聲換能器三維聲場的步驟為：

1)對初始平面進行二維傅里葉變換得到z=0平面的角譜；

2)利用不同z平面的傳輸函數，得到一系列z平面角譜；

3)利用逆傅里葉變換，得到不同傳輸深度z的聲場.

2.4 基于角譜法與GS算法的聲場調控

提出GS算法是為了解決光場調控的問題，將其與角譜傳輸進行結合，即可很好實現對聲場的相位調控.不斷地迭代z平面的聲場幅值，得到相應的z=0平面相位φ0，然后通過下述公式(3)，(4)，將相位轉換為透鏡厚度T，利用透鏡改變初始聲場相位，從而實現目標平面的聲場調控[12,15]：

T(x,y)=T0-ΔT(x,y),

(3)

ΔT(x,y)=Δφ(x,y)/(km-kh),

(4)

式中，T0為透鏡初始厚度，是由傳輸介質(通常為水)和透鏡材料2π相位波程差確定，kh是全息(Hologram)透鏡材料波數，km是傳輸介質(通常為水)的波數，Δφ(x,y)是透鏡產生的相位差.

利用GS算法進行迭代的流程如圖1所示，具體步驟如下：

圖1 通過GS算法迭代求出調控換能器聲場透鏡流程圖

1)通過COMSOL或利用水聽器測量得到初始聲場U(x,y,0)，默認初始相位φ0為0；

2)利用角譜傳輸，得到指定z平面內的聲場U(x,y,z)，提取其幅值Az和相位φz；

3)判斷輸出幅值Az和目標圖像幅值Atarget間誤差是否滿足要求，是,則輸出此時的透鏡厚度T，否則繼續迭代，將相位φz給到步驟4)；

4)利用目標圖像幅值Atarget，和當前平面相位φz得到一個新的z平面聲場；

5)利用逆傅里葉變換以及逆角譜傳輸得到新的z=0平面相位φ0；

在步驟6)中，如果考慮透鏡材料帶來的衰減，則衰減系數可以利用如下公式計算[15]：

其中，Z代表材料聲阻抗，可利用材料聲速與密度的乘積求得.下標t，h，m分別指代換能器材料、全息透鏡材料、傳輸介質材料.在步驟6)中重新生成迭代的初始聲場為：

3 模型應用與實驗

3.1 聲場快速建模

圖2(a)為換能器歸一化表面聲場，利用水聽器測得，中心頻率為1MHz，尺寸為直徑25mm的圓形.圖2(b)為利用角譜傳播算法計算得到的歸一化三維截面聲場，分別為x，y軸中心零點處截面.

圖2 (a)利用水聽器測得表面聲場；(b)使用ASM實現快速三維建模

3.2 聲場調控

利用如圖3(c)所示初始聲場，通過角譜迭代的方式，使特定z=3cm平面的聲場幅值靠近目標圖3(a)，最終輸出歸一化聲場幅值為圖3(b)所示.圖3(d)為通過透鏡校正后初始平面的歸一化聲場，圖3(e)為輸出聲全息透鏡的三維模型，帶有正方形外殼.通過3D打印技術可以制備出所需要的透鏡，進而實現超聲換能器的聲場調控.

圖3 (a)反演目標圖像；(b)反演輸出(歸一化)圖像；(c)初始聲場；(d)反演后的初始聲場；(e)輸出透鏡

4 總結

本文基于角譜法實現超聲換能器聲場的快速建模，對于高頻換能器聲場的三維建模，該方法可以有效提高仿真效率.結合GS算法，可以優化出到聲學全息表面的透鏡，實現超聲換能器聲場的準確調控.但是，該方法只能對單頻平面波聲場進行計算，且要求為縱波.當換能器存在其他振動模態，產生橫波、表面波等非縱波時，實際結果會與仿真計算結果產生很大誤差.同時，利用COMSOL等軟件，或者利用水聽器等設備得到聲場，消耗時間仍較長.在后續研究過程中，可以使用瑞利積分等方式來計算超聲換能器初始聲場、利用多個頻率聲場疊加的方法來解決上述問題.