網格助解三角函數問題

文 季承潔

（作者單位：江蘇省東臺市實驗中學教育集團城東分校）

初中數學中銳角三角函數是建立在直角三角形的基礎上定義的。但近年來的中考三角函數試題常常脫離直角三角形，需要我們利用網格的特征去構造直角三角形，對轉化能力有更高的要求。下面以2018年揚州市中考第27題為例剖析，希望能給同學們一點啟示。

問題呈現如圖1，在邊長為1的正方形網格中，連接格點D、N和E、C，DN和EC相交于點P，求tan∠CPN的值。

方法歸納求一個銳角的三角函數值，我們往往需要找出（或構造出）一個直角三角形。觀察發現問題中的∠CPN不在直角三角形中。對此，我們常常利用網格畫平行線等方法解決，比如連接格點M、N，可得MN∥EC，則∠DNM=∠CPN，連接DM，那么∠CPN就變換到Rt△DMN中。

問題解決（1）直接寫出圖1中tan∠CPN的值為 ；

圖2

（2）如圖2，在邊長為1的正方形網格中，AN與CM相交于點P，求cos∠CPN的值。

思維拓展（3）如圖 3，AB⊥BC，AB=4BC，點M在AB上，且AM=BC，延長CB到N，使BN=2BC，連接AN交CM的延長線于點P。用上述方法構造網格求∠CPN的度數。

圖3

【分析】第（1）問中點P為非網格點，∠CPN也不在直角三角形中，如果直接作垂線構造直角三角形，求線段的長度有難度。方法歸納提示我們將CE平移，使得它與DN的交點恰好是格點，再利用平行線的性質“兩直線平行，內錯角相等”解決問題。

第（2）問中，點P也是非網格點，∠CPN也不在直角三角形中，根據方法歸納，我們需要將CM（AN）進行適當的平移，使得它與AN（CM）的交點恰好是格點，再利用平行線的性質“兩直線平行，同位角相等（內錯角相等）”解決問題。

順承問題的思路，第（3）問要求我們構造網格圖去解決問題。我們可以利用網格，構造等腰直角三角形即可。

解：（1）如圖 1，由勾股定理，得DM=

∴△DMN為直角三角形，

（2）方法一：如圖4中，平移AN到CD，連接DM。

圖4

圖5

∵CD∥AN，∴∠CPN=∠DCM。

∴DM2+CM2=CD2，

∴△DCM是等腰直角三角形，

∴∠DCM=∠D=45°，

方法二：如圖5，平移CM到AE，連接EN。同方法一，可求得cos∠CPN=cos∠EAN。

（3）方法一：如圖6，根據題意，以BC長為單位構造正方形網格，平移CM到AF，連接FN。

圖6

方法二：如圖7，根據題意，以BC為單位構造正方形網格，平移CM到EN，連接AE。

圖7

∵CM∥EN，∴∠CPN=∠ANE。

【點評】本題是一道綜合性的閱讀理解題，屬于中考壓軸題。它考查了平行線的性質、勾股定理、直角三角形的判定和性質、銳角三角函數、特殊角的三角函數等知識。解題的關鍵是巧構直角三角形，而后進一步利用數形結合、轉化以及“從一般到特殊”的數學思想思考問題，這樣問題就會迎刃而解。