插上“隱形的翅膀”，“翱翔”于三角形世界

文黃志琴

專題復習：三角形

領 銜 人：吳粉連

組稿團隊：江蘇省常州市金壇區初中數學吳粉連名師工作室

親愛的同學：看見“三角形”這三個字，你的大腦里會呈現哪些圖形？你想到哪些相關的內容與方法呢？梳理三角形的內容，使其條理化，或許你覺得三角形很簡單。嘗試先思考以下問題，聯想知識，再提煉一些方法。

問題1 如圖1，點P是⊙O外一點，請找到圓上一點Q，使PQ最短。

答案見圖2。你能說出道理嗎？跟三角形有關系嗎？

如圖3，在⊙O上任意取點A，連接PA、OA，根據三角形的性質“兩邊之和大于第三邊”判斷PO最小，從而得到圖2 中的點Q使PQ最短。這條性質的實質是“兩點之間線段最短”。三角形是以線段、角等為基礎，卻比線段、角更復雜些的圖形。請聯想三角形的邊有哪些性質，三角形的角又有哪些性質。試說明“直徑是最長的弦”，試回答“過圓內一點的最短（或最長）的弦是哪一條？為什么？”在圖4 中嘗試解答。

三角形這部分知識的應用，還是要從定義及其重要性質（邊、角關系）開始，從一般到特殊。這里主要跟同學們聊聊一些隱蔽的三角形和三角形隱含的作用，特別是特殊三角形。

問題2 如圖5，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，將△ABC繞點B逆時針旋轉60°得到△A′BC′，連接A′C，則A′C的長為 。

同學們，你們覺得此題的突破點可能在哪里？除已知的特殊三角形外，常見的處理辦法是連接CC′得到等邊三角形C′BC（如圖6）。把A′C拆分成兩條線段后分別放在等腰三角形A′BC′和等邊三角形△C′BC中求解。

三角形考查的重點是特殊三角形：等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、等腰直角三角形等。“隱形”三角形是難點，它們還可以“隱形置身”于動態問題中。把一條線段繞端點旋轉任意角度，連接對應點可以得到等腰三角形。

問題3 如圖7，在矩形ABCD中，AB=5，BC=3，將矩形ABCD繞點B按順時針方向旋轉得到矩形GBEF，點A落在矩形ABCD的邊CD上的點G處，連接CE，則CE的長是 。

旋轉問題中全等或相似會成對出現，通常需要尋找或構造相似（或全等）三角形，利用相似（或全等）三角形性質（數量關系）求解。這里有矩形全等，連接AG得△ABG，由對應邊旋轉后可得

△ABG∽△CBE。

如果旋轉角度為特殊度數，可以得到更特殊的三角形。反之，看到特殊三角形應該盡可能多地聯想到特殊度數。

問題4 如圖8，⊙O的半徑OM=1，A為⊙O上一點，點B為直徑MN延長線上的點，OB=3，連接AB，把AB繞點B順時針旋轉90°得到CB。連接OC，求OC的最小值。

此題以動態的眼光來看更容易理解。如圖9，“把AB繞點B順時針旋轉90°”從整體來看，所有點C的集合可以看作把所有點A的集合⊙O，繞點B順時針旋轉90°得到的⊙O′，問題轉化為⊙O′外一點O到⊙O′上點的距離的最小值。以OB為直角邊，點B為直角頂點，順時針構造等腰直角△OBO′。從圖中不難發現，△OBO′∽△ABC，△OAB≌△O′CB及⊙O與⊙O′全等。

請同學們思考：把“AB繞點B順時針旋轉90°得到CB”改成“以AB為直角邊作等腰直角△ABC，使∠ABC=90°，A、B、C逆時針排列”，從這里的等腰直角三角形可以挖掘哪些信息呢？

我們應用整體的眼光看動點問題，用敏銳的大腦覺察特殊三角形邊、角之間的關系，用靈活的思維應對特殊三角形邊角關系與動態的一致性，尋找或構造特殊關系（相似或全等）的圖形，實現問題的轉化和解決。

變式1 如圖10，以AB為直角邊作等腰直角△ABC，使∠CAB=90°，A、B、C逆時針排列。連接OC，求OC的最小值。

變式2 如圖11，以AB為邊作等邊△ABC，A、B、C逆時針排列。連接OC，求OC的最小值。

變式1 中同是等腰直角三角形，但構造不同，帶來邊的關系AB∶BC由1∶1變為構造兩對三角形都是相似關系，把圓按放大。變式2 中三角形不同，∠ABC由90°變為60°，因等邊三角形的邊長相等，與問題4 一樣可以構造三角形分別相似和全等，兩個圓全等。

我們在解決與三角形有關的問題時，應緊扣其邊與邊、角與角及邊與角之間的關系，用構造三角形說明一些數量關系，特別是線段的相等關系。特殊三角形的條件和特殊三角形帶來的特殊數量關系是考查的重點，我們要學會聯想：看見特殊三角形要想到它擁有的特殊性質，浮現內隱的邊或角的關系。