數形結合 自然生成

文劉 佳

數與形，是數學研究的兩個最基本的對象，數是形的抽象概括，形是數的直觀表達。我們把數量關系和空間形式結合起來研究數學問題的方法叫做數形結合。很多問題，僅從代數角度考慮，很難入手，如果借助圖像的直觀性將抽象的數學概念、復雜的數量關系具體化、形象化，給人以直觀的感受，那么很多難題都將迎刃而解。

在一次函數的學習中，這種根據函數圖像的性質和圖像中特殊點來解決代數問題的應用非常廣泛。我們通過解決“一元一次方程kx+b=0（k≠0）的根和一次函數y=kx+b（k≠0）的圖像與x軸交點的關系”“一次函數y=kx+b（k≠0）的圖像與一元一次不等式kx+b＞0（或kx+b＜0，或kx+b≥0 等）的解集關系”“兩個一次函數在有交點的情況下比較兩個函數值的大小關系”等諸如此類的問題，逐步體會用數形結合的思想來解決數學問題的便捷性。

一次函數是初中數學的一個重點，數形結合思想在一次函數中的應用也是中考命題的一個熱點。本文結合2019年南京市中考數學試卷第23題，談一談數形結合思想在實際解題中的應用。

例 （2019·江蘇南京）已知一次函數y1=kx+2（k為常數，k≠0）和y2=x-3。

（1）當k=-2 時，若y1＞y2，求x的取值范圍。

（2）當x＜1 時，y1＞y2。結合圖像，直接寫出k的取值范圍。

【分析】本題考查了一次函數的圖像和性質，一次函數與一元一次不等式、一元一次方程之間的關系，一次函數圖像與k、b值之間的關系等。

問題（1）可用代入法并建立不等式解答，也可利用函數圖像解答。

問題（2）關鍵是隨著k值的變化，熟悉y=kx（k≠0）、y=kx+b（k≠0）函數圖像的變化規律，即“實踐操作經驗”。

當k＞0 時，隨著k值的逐漸增大，y=kx（k≠0）位于第一象限的圖像與x軸正方向的夾角逐漸增大，并且向y軸無限接近，可看成其圖像繞原點作逆時針旋轉；當k＜0 時，隨著k值的逐漸增大，y=kx（k≠0）位于第二象限的圖像與x軸正方向的夾角逐漸增大，并且向x軸無限接近，也可看成其圖像繞原點作逆時針旋轉。

y=kx+b（k≠0）的圖像可看作是把y=kx（k≠0）的圖像沿y軸平移 ||b單位后所得，隨著k值的逐漸增大，其圖像的變化與y=kx（k≠0）的圖像類似：當k＞0 時，隨著k值的逐漸增大，y=kx+b（k≠0）位于x軸上方的圖像與x軸正方向的夾角逐漸增大，并且向y軸無限接近，可看成其圖像繞點（0，b）作逆時針旋轉；當k＜0 時，隨著k值的逐漸增大，y=kx+b（k≠0）位于x軸上方的圖像與x軸正方向的夾角逐漸增大，并且向過點（0，b）且平行于x軸的直線無限接近，也可看成其圖像繞點（0，b）作逆時針旋轉。

兩個一次函數y1=k1x+b1（k1≠0）、y2=k2x+b2（k2≠0）且b1≠b2的位置關系：當k1≠k2時，兩直線相交；當k1=k2時，兩直線平行。

如圖1，本題的關鍵是先求出當x=1時，兩函數圖像的交點坐標為A（1，-2），然后過點（1，0）作垂直于x軸的直線l；由y1的關系式可知該圖像經過y軸上的點（0，2），設為點B，此時y1即為直線AB，可以求出此時k=-4。當x＜1 時，在直線l的左側y1＞y2，所以k=-4 是符合題意的解。

如圖2，只要兩函數圖像的交點A沿著y2的圖像向右上方移動，即y1繞點B逆時針旋轉，所得到的k值均符合題意。

如圖3，隨著k的增大，點A沿著y1的圖像向右上方移動。當k=1時，y1與y2平行，符合題意。

如圖4，當k＞1 時，y1與y2的圖像交點在第三象限。當x＜xA′時，y1＜y2，所以不符合題意。

此外，需要關注到已知條件中k≠0。

綜上分析，k的取值范圍為：-4≤k≤1且k≠0。

解：（1）當k=-2時，y1=-2x+2。

根據題意，得-2x+2＞x-3。

（2）-4≤k≤1且k≠0。

一次函數的重點和難點是一次函數圖像及其性質，我們只有在對一次函數圖像及其性質有充分理解的前提下才能根據關系式或圖形來構建數學模型，實現數與形的結合。在這一類函數的問題中，我們應抓住特殊的點及其所表示的實際意義，從而把復雜的過程簡單化。

我國著名的數學家華羅庚說過：“數形結合百般好，隔離分家萬事休。”在初中數學學習中，數形結合思想在一次函數的學習中占著非常重要的分量。讓我們一起來感受它帶來的驚喜吧！