雙肢薄壁墩連續剛構橋的參數優化

徐智杰， 郭細偉

(武漢理工大學，湖北 武漢 430063)

0 引 言

隨著我國基礎設施事業的發展,連續剛構橋以其施工方便、造型簡潔優美、養護成本低等優點被設計者們廣泛采納,好的連續剛構橋參數可以提高梁體受力性能、減少混凝土用量,因此連續剛構橋的參數優化成了現在研究的一大熱門問題,徐岳等[1]以墩身體積最小為目標函數,考慮強度和穩定性約束條件,利用有限元軟件ANSYS對墩身進行優化設計。吳俊虢[2]等運用向量回歸法得出連續剛構橋優化數學模型,從而指導主梁設計參數的優化。這種優化方法簡單高效,但實際剛構橋的優化往往是多目標函數、多設計變量的優化,且由于連續剛構橋墩梁固結的特性,設計變量應考慮梁體參數和雙肢薄壁墩參數的耦合性。為解決以上問題,本文提出了以響應面法原理為基礎,建立多目標函數與多個設計參數的響應面模型,利用粒子群優化算法進行迭代尋優的方法,為連續剛構橋的優化設計提供依據。

1 響應面法原理及在橋梁工程中的應用

響應面法(response surface methodology,RSM)最早是由Box和Wilson在20世紀50年代提出[3]，最初在化學計量學中應用的較為廣泛。RSM由現代試驗設計和數理統計組合而成,將經驗模型與試驗設計相關試驗數據進行擬合,一般用線性或平方多項式函數對所研究的數據進行描述,可以得出試驗單個因素對整體因素之間的相互關系。最后運用尋優算法求解響應面模型,可以得到優化結果。

當我們對橋梁工程結構進行優化時,如果目標函數與設計變量能夠存在一定的顯性表達式,那么優化就會變得簡單,但是往往實際情況是眾多的設計變量很難通過理論推得一個簡潔的表達式。為解決此類情況,研究者通過構造最小二乘法響應面函數來解決此類問題。近似函數的選取極大地影響著響應面函數的精度,合適的近似函數使得模擬結果更為精確。但是在實際工程中,設計變量往往多而雜,所以難以確定設計變量和響應之間的關系。實踐表明,二次多項式就可以達到實際工程應用的精度。二次多項式的表達式為:

y=α0+∑ki=1αixi+∑ki=1αiix2i

(1)

y=α0+∑ki=1αixi+∑ki=1∑kj=1αijxixj+∑ki=1αiix2i

(2)

式中:αi,αij為表達式的待定系數;k為設計變量的個數。

表1 α的個數與近似函數形式的關系

試驗設計(design of experiment)[4]是響應面法非常重要的一個步驟,決定著響應面模擬的精度和響應面構建的成本。試驗設計的核心是試驗點的選取,它決定著試驗設計的成功與失敗,同時影響著響應面函數待定系數的取值。響應面法試驗最常用的設計有正交設計、拉丁超立方抽樣試驗設計、Three Level Factorial Design、Box-Behnken Design(BBD)、Central Composite Design(CCD)和Doehlert Design等。本文采用Box-Behnken Design,Box-Behnken Design(BBD)以其試驗設計次數少、效率高等優點成為響應面設計中最常用的方法[5-7]。在BBD試驗設計中,抽樣點是選取N維超立方體每個邊的中點,如圖1所示，它常用于考慮因素的非線性影響進行研究時的試驗,每個影響因素設置為3個水平,分別編碼為-1,0,1,其中-1為試驗中變量的最小值,0為中心點,1為變量最大值[7]。

當響應面函數擬合完成后,要通過一些標準來判斷響應面的擬合程度,最常用的判斷方法是修正復相關系數R2adj、復相關系數R2是否接近于1,越接近1證明響應面結果越可靠。

圖1 Box-Behnken矩陣抽樣法樣本示意圖

2 連續剛構橋的參數優化

2.1 工程概況

采用貴州地區跨徑為(48+88+48) m的某跨河三跨連續剛構橋,該橋主梁為三跨預應力混凝土變截面連續箱梁,截面形式為單箱雙室,邊跨合攏段梁高與跨中梁高均為2.2 m,箱梁根部梁高為5 m,梁底曲線冪次為1.8。兩主墩為混凝土實心雙肢薄壁墩,墩高都為24 m,高跨比為0.272,橋型布置及主要截面尺寸如圖2、圖3所示。

圖2 主橋橋型布置圖(單位:m)

圖3 主梁橫截面圖(單位:mm)

2.2 目標函數的選取和實驗設計

2.2.1 選取目標函數

混凝土用量:對于混凝土連續剛構橋,混凝土的總用量在很大程度上影響了工程造價,混凝土方量越小工程造價就會越低,同時橋梁的總重也會變小,從而結構的主要受力性能也有所提高,所以在此考慮連續剛構橋的混凝土總用量,即上部梁體結構和下部墩身結構混凝土用量之和,故:

f1=∑mi=1Vi+∑nj=1Vj

(3)

式中:Vi為主梁的第i個單元的體積;Vj為橋墩的第j個單元的體積;m表示主梁單元個數;n表示橋墩單元總數。

穩定性安全系數:橋梁結構的穩定性安全系數反映了結構的安全儲備能力,考慮了截面應力滿足要求的情況下發生屈曲失穩的可能。穩定性安全系數越大，則安全儲備值越高,安全系數的表達式為:

f2=λ

(4)

主梁的彎曲應變能:主梁彎曲應變能在很大程度上反映了主梁彎矩分布均勻性的大小指標,其值越小則表明主梁的受力狀態越好、彎矩分布越均勻。彎曲應變能的表達式為:

f3=Ub=∑mi=1Li4(EI)i(M2iL+M2iR)

(5)

式中:MiL和MiR分別表示主梁第i個單元的左端彎矩和右端彎矩;Li表示第i個單元的長度,m表示主梁單元總數。

單墩強度:雙肢薄壁墩連續剛構橋在使用階段的整體抗彎剛度由雙薄壁墩提供,即Ej=ab36+2abe2,(a為梁底寬度,b為單肢壁厚,e為雙肢間距的一半),由該式可知,雙肢薄壁墩的抗彎剛度較大,整體剛度和穩定性達到要求時,需考慮每一肢單墩的抗壓(拉)強度,兩肢墩沿橋梁縱向水平力相同,沿橋梁豎向的軸力相差較大,單墩強度表示剛構墩墩身強度儲備。所以對小軸力墩按大偏壓構件設計,并按對稱配筋考慮,則單墩強度應滿足[1]:

ndγbγcRaab≤0.55

(6)

式中：nd為墩底軸力；γb和γc分別為工作條件安全系數和混凝土材料安全系數；Ra為混凝土極限抗壓強度；a為單墩沿橋梁縱向的壁厚；b為單墩沿橋梁橫向的寬度(一般與箱梁底板寬度相同)。由式(6)可知，比值越小則單墩的強度儲備越大,墩身結構越安全。單墩強度的表達式為:

f4=ndγbγcRaab

(7)

由上,得出本文需要優化的4個目標函數,以上優化目標函數在設計當中被重視的程度清晰明了,故可運用加權法將4個目標函數聯系在一起,構成一個綜合目標函數,作為最終的優化目標。由于各個目標函數的單位數量級不同,并且f1、f3、f4的值越小越優,f2的值應盡量大，因此可將f1、f3、f4分別除以各自的平均值后得到f1、f3、f4,將f2除以平均值后取其倒數,記為f2，則最終的優化目標函數為:

f=λ1f1+λ2f2+λ3f3+λ4f4

(8)

式中：λ1、λ2、λ3、λ4為目標函數的權重系數,均為正值,且滿足λ1+λ2+λ3+λ4=1,相關研究資料顯示,好的優化設計應在滿足結構安全和受力合理的情況下盡量減少工程造價,所以在本文中將λ1、λ2、λ3、λ4的大小分別定為:0.4、0.3、0.2、0.1。所以,在此整個優化轉化為求解一組自變量x1、x2、x3、x4使得f的值最小。

2.2.2 設計變量的選取

連續剛構橋的參數優化需綜合考慮上部結構與下部結構參數之間的耦合作用[8]。本文選取邊中跨比x1、梁底曲線冪次x2、雙肢間距x3、單肢壁厚x4為4個設計變量,根據文獻調查[9],確定這4個設計變量的取值范圍為:0.48≤x1≤0.7;1.5≤x2≤2;3≤x3≤7;0.8≤x4≤2。

2.3 響應面模型的建立與分析

依據2.2節的分析,建立BBD響應面模型模擬試驗,運用MIDAS/Civil橋梁有限元分析軟件建立29組試驗模型,每組模型中除了4個自變量發生變化外,其余參數均按原橋型的設計參數不發生變化,提取模型的各個單元的截面慣性矩、兩端彎矩、單元長度、主梁彈性模量、單墩墩底軸力、整體重量和穩定性安全系數。將得到自變量與目標函值的對應關系見表1。

表2 BBD模擬試驗結果表

2.4 粒子群算法優化求解

采用Design-expert V8.0.5軟件對表2進行響應面結果分析,得出復相關系數R2=0.968、修正復相關系數R2adj=0.975,證明該響應面模型較為可信度較高。圖4為綜合目標函數預測得出綜合目標函數的回歸方程,采用粒子群優化算法通過計算軟件MATLAB對綜合目標函數進行迭代尋優,由圖5可知經過粒子群迭代尋優,迭代至10代即發生收斂。

圖4 綜合目標函數預測值與實際值對比圖

圖5 粒子群迭代收斂圖

以最優參數組合建立橋型,與原設計橋型計算結果進行對比,對比結果見表。優化后橋梁穩定性系數增加了16.3%,梁體彎曲應變能減少了14.4%,雙肢薄壁墩有更好的強度儲備,證明優化后橋梁結構受力更加合理；混凝土總用量雖然增加了5.3%,但綜合目標函數提高了8.3%,說明橋梁結構受力性能更好、穩定性和橋墩安全儲備得到了很大的提高。

表3 優化結果對比

3 結 論

(1)以最優參數組合建立橋型，與原設計橋型進行對比，數據證明優化后的橋梁結構受力更加合理，穩定性和橋墩安全儲備得到了很大提高。

(2) 采用粒子群優化算法對響應面模型回歸方程進行迭代尋優的收斂速度較快,且可為其他參數不同的雙肢薄壁墩連續剛構橋優化提供參考。

(3) 響應面法應用于連續剛構橋優化時應盡量多地設置設計變量,這樣優化結果才更完善,但是增加設計變量會導致試驗次數的大量增加,從而使得工作量大大提升,應盡量采用更為智能化的計算方式計算目標函數,減少試驗工作量。