如何上好數學概念課
——以“平方根”的教學設計為例

■張曉蔚

數學概念課是數學基礎知識和基礎技能教學的核心，任何一部分內容的教學，都離不開概念教學。如何高效實施數學概念教學，值得我們思考。下文筆者以“平方根”的教學設計為例，對概念課教學進行闡述。

一、教學設計

1.學習目標。

知識與技能：

（1）了解平方根的概念，會用根號表示正數的平方根；

（2）了解開平方與平方互為逆運算，會用平方運算求某些非負數的平方根。

過程與方法：

（1）通過學習平方根，進一步建立數感和符號感，發展抽象思維；

（2）通過對正數平方根特點的探究，了解平方根與算術平方根的區別和聯系，體驗類比、化歸等數學思想方法的運用，提高對問題的遷移能力。

2.教學流程。

（1）問題與情境。

師：我們學過了有理數的加法、減法、乘法、除法、乘方這五種運算，在這五種運算中哪些是互為逆運算的呢？

師：正方形面積為25 平方厘米，那么它的邊長是多少呢？

生：5厘米。

師：如果把面積改為2 呢？那么它的邊長是多少呢？我們在已學過的數的范圍內找不到這個數，那么今天便來學習“平方根”。

設計意圖：回顧幾種運算，一方面為引進平方根的概念起到借鑒作用，另一方面為弄清楚開平方運算做鋪墊。通過引入，學生感受到今天是一節概念課，同時也是一種運算的呈現。

（2）探索規律，揭示新知。

師：在已知正方形面積25，求正方形的邊長的問題上，我們實際上在思考哪個正數的平方是25。大家易想到5。那如果老師寫出以下式子，括號里應該填什么數呢？（ ）2=25；（ ）2=4。

生：5和-5；2和-2。

師：很好，我們知道 25 是正負 5 的平方，4 是正負2 的平方，那么反過來，正負5 是25 的什么呢？正負2是4的什么呢？

生：平方根。

師：很好，大家能感受到平方和平方根的聯系與區別嗎？你能舉出類似的式子嗎？互相問答并分小組討論平方根的定義。

小結:一般地，如果一個數的平方等于a，那么這個數就叫作a的平方根（或二次方根）。就是說，如果x2=a，那么x叫a的平方根，記作

師：知道了平方根的概念和表示方法，請問（ ）2=2？

設計意圖：情境問題的延續，對平方根的本質進行探討，學生能夠較快地接受平方根的概念。學生在活動中初步體會一個數的平方根的個數與這個數的性質有關。

師：你能編幾個求平方根的題目，考考你周圍的同學嗎？

接著教師提問：（ ）2=9（ ）2=5；（ ）2=0；（ ）2=-4。

師：同學們發現了什么？

生：一個正數有兩個平方根，它們互為相反數。 因為只有0 的平方得0，所以0 只有一個平方根，是本身。因為任何數的平方都不可能是負數，所以負數沒有平方根。

設計意圖：學生通過對具體的數的平方根進行討論交流，總結出正數、0、負數的平方根的情況。學生親自探索規律過程，加深對規律的理解。

師：我們通過探討得到了正數a有兩個平方根，其中正的平方根叫作a的算術平方根，記作而求一個數a的平方根的運算，叫作開平方（a≥0）。

師：請同學們說說平方根和算術平方根的聯系與區別。

生1：平方根有兩個；算術平方根有一個，是正的那個。

生2：不對。應該說正數的平方根有兩個；正數的算術平方根有一個，是兩個平方根里正的平方根。

師：很好，也就是說我們求某個正數的平方根，應該寫出兩個，而求某個正數的算術平方根只能寫出一個。那么0有沒有算術平方根呢？

生：是0。

師：對，0 的平方根只有 1 個，規定 0 的算術平方根也是0。

設計意圖：指明概念，給出相應問題，層層辨析，再轉化成符號語言，培養學生的數感和符號感，讓學生弄清楚平方根和算術平方根的區別和聯系。提問中再現概念，思考本質，鞏固深化。

（3）學以致用。

例1判斷下列各數有沒有平方根，如果有平方根，試求出它的平方根；如果沒有平方根，說明理由。

（1）81；（2）-81；（3）0 ；（4）（-7）2；（5）-72。

例2求下列各數的平方根。

請你說出上述各數的算術平方根。

例3（1）若有意義，則a的取值范圍是__________。

設計意圖：圍繞教學目標，明晰概念。學生通過例1判斷有沒有平方根，關鍵看所求的數是不是非負數；學生通過例2再次感受到非負數的算術平方根的唯一性。而例3用字母代替數字，讓本節課提升到一定的高度。根據算術平方根的意義，有隱含條件，根號下的式子必須大于等于0，學生能更深刻地理解被開方數的非負性，也為以后二次根式的學習做鋪墊。

二、教學反思

數學概念都有其本質特征，教學過程中應注重概念的分析，一步步揭示概念的本質。在平方根的教學中，筆者創設了恰當的背景引入概念，通過問題再現，引導學生觀察、分析并嘗試概括平方根的真正內涵與實質。教師在教學中主要引導學生經歷從具體實例抽象出數學概念的過程，在探索中逐步理解概念的本質，同時有效的數學概念教學不是以讓學生學會概念為終極目標，而是讓學生在參與活動中生成和構建數學概念，更要讓學生體悟概念蘊含的豐富的實際意義，理解它的生活價值，獲得對知識的整體認知。