厘清概念 夯實(shí)基礎(chǔ)

文戴倍琪

（作者單位：江蘇省無(wú)錫市雪浪中學(xué)）

平行四邊形是同學(xué)們初中階段接觸的特殊四邊形，在邊、角、對(duì)角線、對(duì)稱性方面呈現(xiàn)出特有的性質(zhì)與特征。要學(xué)好相關(guān)內(nèi)容，就必須對(duì)平行四邊形的定義、性質(zhì)、判定及應(yīng)用有較好的理解與掌握。下面通過(guò)一道中考題，幫助同學(xué)們加深對(duì)相關(guān)知識(shí)的理解，并能熟練應(yīng)用。

例（2013·江蘇無(wú)錫）如圖1，四邊形ABCD 中，對(duì)角線AC 與BD 相交于點(diǎn)O，在①AB∥CD，②AO=CO，③AD=BC 中任意選取兩個(gè)作為條件，以“四邊形ABCD 是平行四邊形”為結(jié)論構(gòu)造命題。

圖1

（1）以①②作為條件構(gòu)成的命題是真命題嗎？若是，請(qǐng)證明；若不是，請(qǐng)舉出反例。

（2）寫(xiě)出按題意構(gòu)成的所有命題中的假命題，并舉出反例加以說(shuō)明。（命題請(qǐng)寫(xiě)成“如果……，那么……”的形式）

【分析】第（1）問(wèn)，由①AB∥CD 的條件可得出∠OAB=∠OCD 的結(jié)論，加上②AO=CO 的條件，以及∠AOB=∠COD，可以證明△AOB≌△COD，得BO=OD，得到四邊形ABCD 對(duì)角線AC、BD 互相平分，從而證明四邊形ABCD是平行四邊形。

第（2）問(wèn)，應(yīng)列舉所有的可能性①②、①③、②③，并加以甄別。由第一小題的證明可得出①②是真命題。接下來(lái)分析①③，一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等，同學(xué)們能夠舉出等腰梯形的反例，難度不大。再看②③，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不夠扎實(shí)的同學(xué)非常容易出錯(cuò)。在△AOD 和△COB 中，AO=CO，AD=BC，∠AOD=∠BOC，這正是全等三角形中的典型的錯(cuò)誤證明——SSA。如若不能厘清概念，對(duì)全等判定條件沒(méi)有深刻的理解，那么對(duì)于中考中類(lèi)似的題目，很可能就搞不清楚了。

解：（1）以①②作為條件構(gòu)成的命題是真命題。

證明：∵AB∥CD，

∴∠OAB=∠OCD，

在△AOB和△COD中，

∴△AOB≌△COD（ASA），

∴OB=OD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形。

（2）以①③作為條件構(gòu)成的命題是假命題，即如果一個(gè)四邊形有一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等，那么這個(gè)四邊形是平行四邊形。如圖2，四邊形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，但四邊形ABCD 不是平行四邊形。其實(shí)，這時(shí)的四邊形ABCD是等腰梯形。

圖2

圖3

以②③作為條件構(gòu)成的命題是假命題，即如果四邊形ABCD 的對(duì)角線AC、BD 交于點(diǎn)O，AO=CO，AD=BC，那么這個(gè)四邊形是平行四邊形。如圖3，AO=CO，AD=BC，但四邊形ABCD 不是平行四邊形。其實(shí)，這里就涉及全等三角形判定中對(duì)“SSA”的理解問(wèn)題。在△AOD 與△COB 中，滿足“兩邊相等、一角相等”，但這兩個(gè)三角形并不全等，原因就是其中的角不是兩邊的“夾角”。所以“SSA”與“SAS”的內(nèi)涵是不一樣的。滿足AO=CO，AD=BC（或AD=B′C）的三角形有兩個(gè)，即△COB和△COB′，如圖4。

圖4

在綜合運(yùn)用時(shí)，同學(xué)們需要對(duì)各知識(shí)點(diǎn)融會(huì)貫通，比如平行四邊形的判定方法，除了教材給出的判定外，“兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形”“一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形”都是真命題。同學(xué)們要善于通過(guò)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。