最小二乘法中的不確定度評估及應用

劉茹 李昕 李均勝

摘? 要：本文分析了當被測量的估計值由實驗數據用最小二乘法擬合的直線或曲線上得到時，預期的估計值或表征曲線擬合參數的標準不確定度的評定方法，并實例演示了計算過程，最后得到預期估計值的測量不確定度。

關鍵詞：最小二乘法;不確定度評定

中圖分類號：TH-39? ? 文獻標識碼：A? ? 文章編號：1005-2550（2020）03-0063-03

Abstract： In this paper， the evaluation method of standard uncertainty of estimated value or characteristic curve fitting parameter is analyzed when the estimated value of measured is obtained from the experimental data by the line or curve fitting with least squares， an example is given to demonstrate the calculation process， and the uncertainty of measurement of the estimated value is obtained.

Key Words： Least squares; Evaluation of uncertainty

1? ? 引言

傳感器廣泛應用于社會發展及人類生活的各個領域，如工業自動化，農業現代化，環境監測、交通運輸等，通過傳感器將被測量的信息，按一定的規律轉換為電信號或其他所需形式的信息輸出。在計量工作中，我們需找出傳感器輸入信息與輸出信息的規律，常用最小二乘法擬合曲線，得到傳感器的參考工作曲線方程，該曲線最接近傳感器的實際工作曲線，通過參考工作曲線方程及傳感器的輸入信息，得到的輸出值是否準確，直接關系到傳感器測量的準確度，因此需評定參考工作曲線的不確定度。本文結合位移傳感器的校準實例，評定了其估計值的測量不確定度。

2? ? 最小二乘法中的不確定度評估原理

設傳感器的輸入量 x 與輸出量 y 有線性關系y=a+bx，對其獨立測得若干對數據（x1，y1），（x2，y2），……，（xn，yn），n>2，欲得到預期估計值及其標準不確定度，要用到最小二乘法，設y=a+bx，誤差方程為：

3? ? 最小二乘法不確定度評估實例

3.1? ?數學模型

以位移傳感器為例，用最小二乘法求出擬合直線方程：

3.1? ?數學模型

3.2.1 擬合直線斜率引入的不確定度分量

3.2.2 由傳感器輸出值測量引入的不確定度分量

校準用萬用表電壓測量誤差0.01%+0.0005V，服從均勻分布，則：

3.2.3 由擬合直線截距引入的不確定度分量

式中 s 為殘余標準查，計算方法為式（10）。

3.2.4 校準數據分析

以型號為SA572-S69的胸部位移傳感器的校準結果為例，校準數據如下：

由最小二乘法得到傳感器的擬合直線方程為

L=15.197Y+0.8703 計算得殘余標準差：

則合成標準不確定度：

說明測量不確定度與傳感器的輸出電壓有關，用式（14）計算得各校準點的不確定度值見表2：

4? ? 結語

表2給出的預估值的擴展不確定度是以最小二乘直線為基礎求出的，最小二乘直線是根據殘差平方和最小原則求得的，最接近于傳感器實際工作曲線，求其預估值的不確定度對于傳感器的后續使用更有參考意義。