二次型及其在實際中的應用

摘?要：二次型的理論及其性質是高等代數中的重點內容之一，二次型的應用及其廣泛，尤其是二次型的理論在曲線方程和曲面方程的研究，以及在經濟管理等方面都有著重要的理論和實用價值。為使讀者能夠較全面深入的了解，正確清晰的理解和掌握二次型的理論及其應用，本文主要是針對二次型及其理論在幾何和化二次型為標準形的應用作一些簡介。如有不恰當之處，歡迎老師，同學以及讀者給予批評指正。

關鍵詞：二次型;二次曲線;二次曲面;標準型

二次型及其理論的建立有著很強的幾何背景，二次型的理論的探討是從18世紀開始的，它的起源是對二次曲線和二次曲面的分類問題的討論，將二次曲線和二次曲面的方程變形，選擇主軸方向的軸作為坐標軸以簡化方程的形狀。柯西在他人研究著作的基礎上，探討化簡變數的二次型等問題，證明了特征方程在直角坐標系的任何變化下具有不變性，以及n個變量的兩個二次型能用一個線性變換，同時化為平方和。在1858年，維爾斯托拉斯給出了對同時化兩個二次型成為平方和的一般的方法。

一、二次圓錐曲線方程化為標準形

在平面幾何中，對于一般的二次圓錐曲線方程

我們都可以利用旋轉和平移變換進行化簡，使得一般的二次圓錐曲線方程（1）劃分為橢圓，雙曲線，或拋物線三種類型之一。其步驟如下：

解：首先將二次型用正交變換化成標準型，為此，令，經計算可求得的特征值為，對應的特征向量分別為，將它們單位化，得到，作如下的正交變換，代入二次圓錐曲線方程得到：，再通過配方后，得到標準形，它是以為中心得雙曲線。

二、二次曲面方程化為標準形

在空間解析幾何中，二次曲面方程得一般形式為：

令，則（3）式就化為由于此式的二次項中不含有變量的交叉乘積，只含有平方項，在通過一次平移變換就可以把二次曲面方程（1）化為易于判定類型的標準方程了。

另外二次型在探討系統的穩定性、最優化中極值求解、高等代數以及物理力學、物理學電阻器功率的消耗等方面都有著非常廣泛的應用.由于篇幅所限，這里就不在累贅了。

參考文獻

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作者簡介：楊付貴（1957.5）男，天津人，副教授。從事最優化方法研究。