基于ARIMA模型的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值預(yù)測(cè)

蔡淅韻

近年來(lái)，中國(guó)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值保持較快增長(zhǎng)，經(jīng)濟(jì)總量不斷擴(kuò)大，發(fā)展取得顯著成就。國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP），是指按照市場(chǎng)價(jià)格計(jì)算的一個(gè)國(guó)家或地區(qū)所有常住單位在一定時(shí)期內(nèi)生產(chǎn)活動(dòng)的最終成果，能夠反映經(jīng)濟(jì)實(shí)力和市場(chǎng)規(guī)模。如何利用適當(dāng)?shù)哪Ｐ蛯?duì)其進(jìn)行時(shí)間序列分析和預(yù)測(cè)，對(duì)更好地研究國(guó)家經(jīng)濟(jì)表現(xiàn)具有重要的經(jīng)濟(jì)意義。為了更好地研究國(guó)家的經(jīng)濟(jì)表現(xiàn)，本文選取季度GDP作為經(jīng)濟(jì)指標(biāo)，對(duì)該指標(biāo)進(jìn)行分析，建立了包含趨勢(shì)和季節(jié)成分的ARIMA模型并進(jìn)行短期的季度預(yù)測(cè)。

1 基于ARIMA模型的GDP預(yù)測(cè)理論模型

對(duì)GDP進(jìn)行短期預(yù)測(cè)時(shí)，季節(jié)性ARIMA模型能夠刻畫出數(shù)據(jù)變化特征和周期性特征。利用ARIMA模型建模首先需要對(duì)序列平穩(wěn)性進(jìn)行識(shí)別。一般來(lái)說(shuō)，經(jīng)濟(jì)運(yùn)行的時(shí)間序列都不是平穩(wěn)序列，則需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行差分處理。如果數(shù)據(jù)存在異方差需進(jìn)行對(duì)數(shù)運(yùn)算，直到處理后數(shù)據(jù)的自相關(guān)函數(shù)值、偏自相關(guān)函數(shù)值無(wú)顯著地異于0。在生活中，部分時(shí)間序列具有明顯周期性季節(jié)效應(yīng)、趨勢(shì)效應(yīng)和隨機(jī)波動(dòng)。首先求出季節(jié)效應(yīng)擬合St，并采用中心化的方法將該估計(jì)加以修正得到新的估計(jì)，最終通過(guò)差分處理消除趨勢(shì)效應(yīng)的影響。根據(jù)時(shí)間序列模型的識(shí)別規(guī)則，建立相關(guān)的模型：若平穩(wěn)序列的偏相關(guān)系數(shù)是截尾的，而自相關(guān)函數(shù)是拖尾的，可斷定序列適合AR模型；若平穩(wěn)序列的偏相關(guān)系數(shù)是拖尾的，而自相關(guān)函數(shù)是截尾的，則可斷定序列適合MA模型；若平穩(wěn)序列的偏相關(guān)系數(shù)和自相關(guān)函數(shù)均是拖尾的，則序列適合ARMA模型。

2 實(shí)例分析

本次建模中，所使用數(shù)據(jù)為1992—2018年的全國(guó)GDP季度數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)來(lái)源于中經(jīng)網(wǎng)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)庫(kù)。利用1992—2016年共100個(gè)季度GDP數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練集設(shè)定模型參數(shù)，用2017—2018年的數(shù)據(jù)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臄M合效果及誤差分析，比對(duì)預(yù)測(cè)值和實(shí)際值以驗(yàn)證模型的可信度，最后預(yù)測(cè)2019—2021年。

2.1 數(shù)據(jù)波動(dòng)性分析

由原序列xt的時(shí)序圖可以看出該序列有非零均值、有明顯的增長(zhǎng)趨勢(shì)，說(shuō)明該序列是非平穩(wěn)且存在異方差；具有明顯的周期性，周期為4個(gè)季度，因此可以確定xt是帶有趨勢(shì)性和季節(jié)性的時(shí)間序列。自相關(guān)系數(shù)沒(méi)有隨著延遲期數(shù)的增加衰減到0的趨勢(shì)，因此可以認(rèn)為是xt非平穩(wěn)序列。由白噪音檢驗(yàn)得知在顯著性水平為5%時(shí)，序列值之間蘊(yùn)含相關(guān)關(guān)系，拒絕原序列xt是白噪音的假設(shè)。

接著對(duì)xt做對(duì)數(shù)變換消除異方差性，得到序列yt=ln(xt)，進(jìn)一步觀察yt的時(shí)序圖發(fā)現(xiàn)該序列有明顯的增長(zhǎng)趨勢(shì)，自相關(guān)系數(shù)沒(méi)有隨著延遲期數(shù)的增加衰減到0的趨勢(shì)，因此可以認(rèn)為是yt非平穩(wěn)序列。由白噪音檢驗(yàn)得知在顯著性水平為5%時(shí)，P值均小于0.05，拒絕yt是白噪音的原假設(shè)，即yt不是白噪音，具有研究?jī)r(jià)值。

2.2 參數(shù)估計(jì)

自相關(guān)函數(shù)圖顯示Zt一階截尾性質(zhì)明顯，通過(guò)BIC信息可判斷選用AR(4)模型。在Dickey-Fuller單位根檢驗(yàn)中（表1），統(tǒng)計(jì)量的P值都明顯小于顯著性水平5%，可以進(jìn)行接下來(lái)的參數(shù)分析。初次參數(shù)估計(jì)結(jié)果顯示截距項(xiàng)不顯著，去除后重新擬合的結(jié)果如表2。可知，在顯著性水平5%所有參數(shù)的P值都小于0.05，參數(shù)顯著不為零，因此通過(guò)顯著性檢驗(yàn)。白噪音檢驗(yàn)結(jié)果表明檢驗(yàn)P值均遠(yuǎn)大于0.05顯著性水平，接受序列為白噪音的原假設(shè)，可以認(rèn)為殘差序列是白噪音，所以模型顯著。

表1 Dickey-Fuller單位根檢驗(yàn)

表2 最小二乘法擬合結(jié)果

該序列模型為：

2.3 預(yù)測(cè)結(jié)果

根據(jù)擬合模型對(duì)2017—2018年的GDP季度數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，2017年第一季度預(yù)測(cè)值與實(shí)際值相對(duì)誤差率17.8%，第二季度相對(duì)誤差率4.3%，第三季度相對(duì)誤差率12.2%，第四季度相對(duì)誤差率12.3%；2018年第一季度相對(duì)誤差率21.7%，第二季度相對(duì)誤差率0.6%，第三季度相對(duì)誤差率19.7%，第四季度相對(duì)誤差率22%。估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差為0.036，AIC值為-370.795。2017年GDP擬合結(jié)果平均絕對(duì)百分比誤差(MAPE)為4.31%；2017—2018年GDP擬合結(jié)果平均絕對(duì)百分比誤差為7.33%；2018年GDP擬合結(jié)果平均絕對(duì)百分比誤差為10.36%。當(dāng)MAPE值低于10%，則認(rèn)為預(yù)測(cè)精度很高，屬于高精度預(yù)測(cè)類型，所以本模型擬合效果較好?？梢钥闯鲱A(yù)測(cè)值和實(shí)際值在4個(gè)季度內(nèi)預(yù)測(cè)比較準(zhǔn)確，隨著時(shí)間預(yù)測(cè)的延長(zhǎng)，8個(gè)季度以上預(yù)測(cè)誤差相對(duì)增大。根據(jù)2017年及2018年觀測(cè)的實(shí)際值進(jìn)一步修正模型后，得到2019—2021年12個(gè)季度GDP預(yù)測(cè)值見(jiàn)表3，預(yù)測(cè)走勢(shì)見(jiàn)圖2。從預(yù)測(cè)結(jié)果上看，國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值仍然延續(xù)以往的增長(zhǎng)規(guī)律，每年的第四季度都是一年中的最大值，這和往年的變化規(guī)律是一致的。

圖1 Zt 二階差分后時(shí)序圖

圖2 2019—2021年GDP預(yù)測(cè)走勢(shì)圖

表3 2019—2021年GDP預(yù)測(cè)值（億元）

3 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)GDP進(jìn)行短期預(yù)測(cè)，首先結(jié)合時(shí)間序列模型分析GDP數(shù)據(jù)特征，由于序列非平穩(wěn)進(jìn)行差分作平穩(wěn)化處理，構(gòu)建季節(jié)性ARIMA模型。以2017—2018年數(shù)據(jù)進(jìn)行模型參數(shù)估計(jì)后的測(cè)試組，將預(yù)測(cè)的GDP數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比。結(jié)果顯示，季節(jié)性ARIMA模型作為GDP預(yù)測(cè)模型是可行的，擬合平均絕對(duì)百分比誤差MAPE等于7.33%，驗(yàn)證了模型有良好的精度。隨著時(shí)間跨度的增加，該模型的預(yù)測(cè)值與真實(shí)值之間的誤差率逐漸增大。但盡管如此，如果在建立模型過(guò)程中根據(jù)觀測(cè)的實(shí)際值進(jìn)一步修正模型對(duì)8個(gè)季度以后的預(yù)測(cè)，則可以得到精確度更高的預(yù)測(cè)值。因此從短期來(lái)看，ARIMA模型對(duì)GDP的預(yù)測(cè)具有一定的可信度，有一定的實(shí)用性。