欠驅動船舶運動數學模型精度及應用問題分析

于鵬 王興龍 浙江富興海運有限公司

1.引言

航運在促進全球貿易方面發揮著重要作用。在船舶領域，船舶數學模型是船舶技術與仿真的核心。在過去的十年中，基于一系列的物理考慮，船舶的建模理論在耐波性和操縱操作方面得到了發展。它有兩個特點：泰勒級數展開（如Abkowitz模型、Norrbin模型）和模塊化處理（如MMG模型、Fossen模型）。在某種程度上，模塊化方法適用于特定船舶。此外，船舶數學模型的優化工作也在進行中。

然而，任何模型與實船之間都存在偏差。在研究不同問題時，應注意模型的選擇。在船舶控制領域中，船舶的航向保持控制、跟蹤保持控制、船舶橫搖阻尼控制和避碰控制等問題在很大程度上依賴于仿真。選擇合適的模型作為仿真的核心是非常重要的。本文給出了三種欠驅動船舶的數學模型，分析了它們之間的區別，以及它們適合作為仿真核心的問題。

本文章節設置如下，第一節介紹了本文研究的意義和主要內容，第二節給出了船舶的三種數學模型，分別是Nomoto模型、非線性響應模型和MMG模型。第三節以上述模型為基礎進行了Z型仿真實驗和旋回實驗，并對其精度和適用問題進行了分析。第四節討論了一些結論。

2.船舶模型

2.1 坐標軸以及船舶運動特點

船舶在海上航行時有六個自由度，即縱搖、首搖、橫搖、縱蕩、橫蕩和垂蕩。

如圖1所示，沿船長方向的前后運動稱為縱蕩，沿船寬方向的左右運動稱為橫蕩，沿吃水方向的上下運動稱為垂蕩。橫搖是繞x軸的旋轉運動，首搖是繞z軸的旋轉運動，縱搖是繞y軸的旋轉運動。

實際上，很難建立六自由度的船船舶運動模型。因此，不同自由度的簡化數學模型得到了廣泛的應用。但是，不同的數學模型精度不同。本文建立了Nomoto模型、非線性響應模型、MMG模型，分析了它們的差異性。

2.2 Nomoto 模型

Nomoto模型是描述三自由度運動的線性模型。同時，二階Nomoto模型在船舶控制領域中得到了廣泛的應用，其數學原理如式（1）。

式（1）中,ψ表示船舶航向,K和T表示船舶操縱性指數，δ表示舵角。

在實際應用中，式（1）經常會以式（2）的傳遞函數的形勢出現：

式（2）中，s 表示拉普拉斯算子。式（2）通常用于設計自動舵的控制器，并評估船舶的操縱性。但與其他非線性數學模型相比，其精度較低。

圖1 船舶六自由度運動

2.3 非線性響應性數學模型

非線性響應性數學模型主要針對δ→→ψ的關系，而略去了其他自由度對航向的影響,得到的微分方程仍然保留了非線性因素。

式（3）中,ψ表示船舶航向,K和T 表示船舶操縱性指數,δ表示舵角,式（4）中，α,β 表示船舶非線性系數。

非線性響應模型主要用于船舶避碰、自動舵設計。但它比Nomoto模型具有更高的精度。非線性響應模型的仿真圖如圖2所示。

2.4 MMG 模型

本文中的M MG 模型描述了船舶的四自由度運動，忽略了垂蕩運動和縱搖運動。在研究航向保持、航跡保持控制、避碰等常見問題時，其精度是足夠的。其數學描述為式（5）和式（6）。

式（5）和式（6）中，u表示船舶前進速度，v表示橫漂速度，r 表示首搖速度，p表示橫搖加速度，m表示船舶質量，mx，my為船舶附加質量，Ixx，Izz表示船舶慣性矩。Jxx,Jzz表示船舶附加慣性矩。XH，PR，YH，PR，KH，P，R，NH，PR表示船舶受到的力和力矩。（x，y）表示船舶位置，ψ，φ分別表示船舶航向和橫搖角。

（1）船舶水動力和水動力距（XH,YH,KH,NH）

（2）推力和推力距(XP，YP，KP，NP)

式（8）和式（9）中,tp為螺旋槳推力減額系數，ρ 表示海水密度，n表示螺旋槳轉速，Dp表示螺旋槳直徑。

式（10）中，a0,a1,a2為常系數,Jp=(1-wp)u/nDP，wp表示伴流系數。

（3）舵力和舵力矩 （XR，YR，KR，NR）

式（11），（12）和（13）中，VR表示有效流速，AR表示舵葉面積λR為展弦比,αR表示流的有效攻角。其他參數如式（14）。

式（14）中,Cb表示方形系數,L表示船長,d表示船舶吃水。

MMG模型通常應用于自動舵設計、船舶橫搖阻尼控制、船舶避碰、船舶動態定位等控制器的設計。

3.仿真

仿真是驗證理論設計的重要手段。在海洋研究領域，船舶數學模型的精度在很大程度上影響著算法的有效性。因此，有必要建立和使用一個具有較高精度的仿真模型。本文以不同模型為核心，進行了Z-型實驗和旋回實驗，并將實驗結果與“育鯤”輪的實船試驗數據進行了比較。圖3所示的為舵機模型，包含限幅模塊和飽和模塊，為了保證實驗的對比性，本文在實驗過程中保持舵機模型不變。

仿真中，最大舵角取35度，舵機最大回轉率取5度/秒。

3.1 Z-型實驗

從船舶的實際操作來看，像旋回實驗這樣長時間保持一定的舵角是很少見的。通常情況下，方向舵是以不同的舵角從左到右連續操縱的。Z-型實驗就是對這種控制方式進行仿真，通過對試驗結果的分析可以得到比旋轉試驗更多的實際數據。此外，Z-型實驗是獲得船舶K，T指標的重要方法。

圖2 非線性響應模型的仿真圖

如圖5所示，Nomoto模型在曲折試驗中的性能較差。更難控制航向。這就是為什么常采用Nomoto模型設計航向控制器的原因（閉合增益形狀控制器）。與M MG 和Nomoto模型相比，非線性響應模型具有較小的慣性。

3.2 旋回實驗

旋回實驗的目的是得到船舶一次回轉的軌跡。它用于評估船舶的操縱性。目前，研究人員利用船舶對某一舵角的響應來解決避碰問題。模型預測的準確性對避碰算法的正確驗證有很大影響。在本節中，進行了兩次旋回實驗，其中舵角分別取-20度和35度

圖7顯示了模擬和船舶試驗結果的轉向試驗。Nomoto模型精度很低。MMG模型具有較高的精度。雖然非線性響應模型的精度低于MMG模型，但在不同情況下，當避讓策略取一定角度時，碰撞問題的求解是可以接受的。為了獲得更具體的結果，用式（15）評估不同模型的精度值。

式（15）中,SDδ仿真旋回圈直徑,TDδ表示船舶實船試驗旋回圈直徑。表2給出了實驗對比結果。

由以上分析可知，Nomoto模型可用于航向保持控制器的設計；非線性響應型模型適用于航跡保持控制和避碰；而MMG 模型具有較高的精度，可用于各種研究。

4.結論

本文闡述了模型選擇在海洋研究中的重要性。建立并仿真了三種類型的船舶模型，分析了它們的特點。此外，還給出了一個更加精確的數學模型及其具體參數，可以作為其他研究人員和工程師的標準模型。最后，對其適用的問題進行總結，為避免不當使用提供參考。

圖3 舵機伺服系統仿真框圖

圖4 Z-型實驗仿真框圖

圖5 Z-型實驗結果對比

表1 育鯤輪主要參數

圖6 旋回實驗仿真框圖

圖7 旋回實驗結果對比

表2 旋回圈直徑對比