追本溯源：數學問題探究的一般方法

文 王 磊

中考復習時，我們要重視對教材中的典型問題的深度探究。許多中考題的基本圖形、基本思想、基本策略，都源自對教材中的問題的進一步整合和挖掘。下面就以蘇科版教材八（下）第145頁第11題為例，說說如何追本溯源。

原題再現

從反比例函數圖像上的任意一點分別向兩條坐標軸作垂線，這兩條垂線與坐標軸所圍成的矩形的面積不變。為什么？

【解析】根據題意，可以作圖分析。如圖1，點A在反比例函數上，坐標是（m，n），從點A向x軸和y軸作垂線，與兩條坐標軸圍成的矩形的面積是S=|mn|。而反比例函數的解析式可變形為xy=k，所以mn=k，也就是說 | mn |是個定值，所以矩形的面積是不變的。

拓展一 通過面積求反比例函數的系數

A.2 B.-2 C.4 D.-4

【解析】如圖2，∵AB⊥y軸，S△OAB=2，

∵k＜0，∴k=-4。故選D。

【點評】本題通過面積法，求反比例函數的系數k。與矩形面積不同的是，我們需要把橫、縱坐標的積的絕對值除以2，才能得到三角形的面積，與教材例題相比，是逆向運用。

拓展二 反比例函數的綜合題

（2）已知點P（6，0）在線段OE上，當∠PDE=∠CBO時，求點D的坐標。

【解析】（1）由一次函數y=kx+3知，點 B的坐標是（0，3），又點 A的坐標是（2，n），

∵S△OAB∶S△ODE=3∶4，∴S△ODE=4。

故答案是3和8。

∴2n=8，即n=4。

故 A（2，4），將其代入y=kx+3得到2k+3=4，解得k。

∴C（-6，0），∴OC=6。

由（1）知，OB=3。

連接PD，設D（a，b），則DE=b，PE=a-6。

∵ ∠PDE=∠CBO，∠COB=∠PED=90°，∴△CBO∽△PDE，

又ab=8②，聯列①②，

故D（8，1）。

【點評】利用坐標乘積的不變性，求交點坐標，是反比例函數與一次函數整合的常見題型，準確地求出交點坐標是關鍵。通過圖形的幾何性質，得到數量關系，利用設未知數解方程的方法，就可以很好地解決問題了。