控制變量 以靜制動
——動圓問題解決策略淺析

文 楊春霞

圖形與幾何問題一直是初中數學學習的重點和難點。在眾多幾何問題中，以圓為背景考查的試題則更具有綜合性。當圓與三角形、四邊形等圖形結合時還加入了圖形運動，眾多同學會感覺很困難，無從下手。下面結合例題對兩類動圓問題進行剖析。

一、看得見的圓在動，看不見的位置在變

例1如圖1，已知射線DE與x軸和y軸分別交于點D（3，0）和點E（0，4）。動點C從點M（5，0）出發，以1個單位長度/秒的速度沿x軸向左做勻速運動，與此同時，動點P從點D出發，也以1個單位長度/秒的速度沿射線DE的方向做勻速運動。設運動時間為t秒。

（1）請用含t的代數式分別表示出點C與點P的坐標。

①當⊙C與射線DE有公共點時，求t的取值范圍；

②當△PAB為等腰三角形時，求t的值。

【分析】第（1）問是為第（2）問服務的，用t表示點C、P的坐標，實際上是用含t的代數式來表示兩點到坐標軸的距離。第（2）問首先要有一種“遇動會變、分類相隨”的意識。這樣的分類在條件中是可以捕捉到信息的，比如“當△PAB為等腰三角形時”。這種說法對等腰三角形沒有指明要素關系，即不知道哪兩邊是腰。因而，在具有分類意識的情況下，我們對動圓狀態的研究就要細致，讓圓慢慢地動，尋找靜的臨界時刻。

（2）①當⊙C由（5，0）向左運動，使點A到點D并繼續向左運動時，有OA≤OD，即

當點C在點D的左側時，過點C作CF⊥射線DE于F，則由∠CDF=∠EDO，得△CDF∽△EDO，則

從表6來看,該條公路資源單體等級高,數量多且分布均勻,但資源多樣性(C3)一般;交通便捷度準則中,對外交通連接度(C5)和與其他公路連接度(C6)低;沿線可視景觀準則中,景觀類型多樣,形式較為自然,但景觀層次與協調性還有所欠缺(C8);設施配置齊全,分布合理,但設施及周邊環境(C12)存在缺乏地方特色、養護管理不利、場地被占用等問題。

當PA=PB時，有PC⊥AB，

二、看不見的圓在動，看得見的形狀在變

例2如圖3，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4。求作菱形DEFG，使點D在邊AC上，點E、F在邊AB上，點G在邊BC上。

小明的作法：

1.如圖4，在邊AC上取一點D，過點D作DG∥AB交，BC于點G；

2.以點D為圓心，DG長為半徑畫弧，交AB于點E；

3.在EB上截取EF=ED，連接FG，則四邊形DEFG為所求菱形。

（2）小明進一步探索，發現可作出的菱形的個數隨著點D的位置變化而變化。請你繼續探索，直接寫出菱形的個數及對應的CD的長的取值范圍。

【分析】第（1）問以小明的作法為基礎考查菱形的證明，需要同學們先理解作法，再結合菱形的判定定理進行邏輯推理證明。第（2）問是沿著小明的思路進一步探索菱形的個數與點D的位置關系。在探索過程中，同學們首先要借助直觀想象發現點E在以點D為圓心、DG為半徑的動圓上，因此，菱形的個數一方面受動圓與線段AB的交點情況的制約，另一方面受AB長度的制約，考查思維的全面性。

圖5～圖10演示了圖形運動變化過程中基本圖形的生成情況，其中圖6、圖8和圖9是臨界狀態下的特殊情況。

證明：（1）∵DG=DE，DE=EF，

∴DG=EF。

又DG∥EF，

∴四邊形DEFG是平行四邊形。

又DE=EF，

∴?DEFG是菱形。