由圓周角例題談解題策略

文 趙 丹

圓自身的旋轉(zhuǎn)不變性讓圓中的計算呈現(xiàn)靈活多樣性，圓中的角度、半徑問題是中考考查的熱點。由于圓周角、圓心角、弧度數(shù)之間的關(guān)系，再加上弦、弧、角之間的靈活轉(zhuǎn)化，為角的計算提供了不同方法。本文從有關(guān)圓中角的計算問題出發(fā)，在不同圖形中結(jié)合條件尋找不同的解題方法，優(yōu)化圓中角的計算。

一、借助圓的軸對稱性（垂徑定理）

例1如圖1，AD是半圓的直徑，點C是的中點，∠ADC=55°，則∠BAD是多少？

【解析】由點C是的中點，聯(lián)想到垂徑定理，連接OC、BD可得OC⊥BD。方法1：借助等腰△COD，可得∠OCD=55°；由OC⊥BD，得∠CBD=35°，則問題解決。方法2：借助圓內(nèi)接四邊形對角互補，求得∠ABC=125°，可得∠CBD=∠CDB=35°，∠ADB=20°，可得∠BAD=70°。

【延伸】如圖2，AB是⊙O的直徑，C為上一點，∠BOC=50°，AD∥OC，AD交⊙O于點D，連接AC、CD，那么∠ACD=______。

【解析】本題方法較多，現(xiàn)提供垂徑定理的一種方法。作OE⊥AD，OF⊥CD，垂足分別為E、F，連接OD，可得∠AOE=∠DOE，∠COF=∠DOF，則∠EOF=65°。在四邊形EOFD中，可得∠EDF=115°。在△ADC中，可以求出∠ACD=40°。

【點評】利用圓的軸對稱性解決角度問題也是一種解題策略。利用對稱性構(gòu)造垂徑定理的基本圖形，借助對稱性得到角的大小，進(jìn)而實現(xiàn)解題。

二、借助隱圓

例2已知△ABC，AB=2 3，O是三角形內(nèi)部一點，且OA=OB=OC=2，求∠ACB的度數(shù)。

【解析】方法1：看到OA=OB，即有等腰三角形，AB=2，想到作AB的垂線，可求得∠AOB=120°，再利用三個等腰三角形，借助△ABC的內(nèi)角和來求。方法2：看到 OA=OB=OC，想到了外接圓，借助圓周角與圓心角的關(guān)系可以快速解決此題。

【延伸】在等腰△ABC中，CB=AC，∠ACB=70°，點P在△ABC的外部，且與點C均在AB的同側(cè)，如果PC=BC，試求∠APB的度數(shù)。

【解析】看到CA=CB=CP，聯(lián)想到定長；由∠ACB=70°，聯(lián)想到定角。看到定長定角問題，我們便聯(lián)想到圓，可以看作是以C為圓心，以CA長為半徑的圓，直接可得∠APB=35°。

【點評】在幾何圖形中，尋找隱圓是解決問題的一種非常簡便的策略，一旦看到了隱圓的存在，許多問題便能快速解決。這就需要我們在解題過程中注重對隱圓模型的識別，從題目中挖掘定長、定角條件，以不變應(yīng)萬變。

圓中角的計算方法很多，如何做到解題方法的優(yōu)化，這需要平時不斷積累，做題時善于思考，不僅要追求正確，還要靈活運用不同方法，借助一題多解發(fā)展思維。