隱形的圓

文 康葉紅

圓是平面幾何中的基本圖形之一。它不僅在幾何中有重要地位，而且是進一步學習其他數學知識的重要基礎。有些數學問題看似與圓無關，但如果我們根據題目中的已知條件，巧妙地構造輔助圓，再利用圓的有關性質建立起已知條件與結論之間的聯系，往往能起到化隱為顯、化難為易、化繁為簡的解題效果。現選取中考試題中一些“隱圓”問題加以剖析，與同學們一同感受圓的魅力。

例1（2018·江蘇南京節選）如圖1，在四邊形ABCD中，∠C=2∠BAD。O是四邊形ABCD內一點，且OA=OB=OD。求證：∠BOD=∠C。

【分析】本題中已知OA=OB=OD，可自然聯想到圓的定義：到定點距離等于定長的點的集合。我們便容易想到構造以點O為圓心，以OA為半徑的⊙O，根據圓周角的性質，問題迎刃而解。

證明：∵OA=OB=OD，

∴點A、B、D在以點O為圓心，OA為半徑的圓上，

∴∠BOD=2∠BAD。

又∠C=2∠BAD，

∴∠BOD=∠C。

【總結】當題目中出現有相同公共端點的三條相等線段，可根據圓的定義，構造輔助圓。

例2（2016·江蘇淮安）如圖2，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點F在邊AC上，并且CF=2，點E為邊BC上的動點。將△CEF沿直線EF翻折，點C落在點P處，則點P到邊AB距離的最小值是____。

【解析】本題考查與三角形有關的折疊的計算，掌握折疊的性質，找到點P到邊AB距離最小的位置是解題的關鍵。如圖3，當點E在邊BC上運動時，PF的長固定不變，即PF=CF=2。所以，點P在以點F為圓心，以2為半徑的⊙F上運動。過點F作FH⊥AB交⊙F于點P，垂足是點H。此時PH最小，則△AFH∽△ABC，所以。由已知得AF=FH。所以，點P到邊AB距離的最小值是PH=FH-FP。

【總結】當題目中出現定點和定長，可根據圓的基本定義：到定點的距離等于定長的點的集合是以定點為圓心，定長為半徑的圓，來構造輔助圓。

例3（2017·山東威海）如圖4，△ABC為等邊三角形，AB=2，若P為△ABC內一動點，且滿足∠PAB=∠ACP，則線段PB長度的最小值為________。

【解析】如圖5，由△ABC為等邊三角形可知：AB=BC=CA=2，∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°。因為∠PAB=∠ACP，∠PAB+∠PAC=60°，所以∠ACP+∠PAC=60°。又因為在△APC中，∠ACP+∠PAC+∠APC=180°，所以∠APC=120°。即點P在以AC為弦，圓周角∠APC=120°的⊙O上。因此，以AC為邊向外作等邊三角形，并作等邊三角形的外接圓⊙O，當O、P、B三點共線時，即點P在點P′時，BP′最小。所以

【總結】當題目中出現一條定線段和定角時，如圖6（定線段AB和定角∠APB），可以定線段為弦，定角為圓周角構造輔助圓。特殊地，當定角∠P=90°時，根據90°的圓周角所對的弦是直徑，則定線段就是圓的直徑。