基于線性矩陣不等式的離散系統(tǒng)集成故障估計與容錯控制

戴洪德，羅鑫輝，常 波，戴邵武

（海軍航空大學，山東煙臺 264001）

隨著控制系統(tǒng)的可靠性和安全性要求越來越高，故障診斷與容錯控制已成為控制領域的一個重要分支[1,2]。故障診斷有兩種方法：故障檢測與隔離和故障估計。相比于故障檢測與隔離，故障估計可以獲得故障值，直接應用于容錯控制，具有更廣闊的應用前景，而且故障估計本質上包括了故障檢測與隔離，因此，對系統(tǒng)進行故障估計與容錯控制具有重要的理論研究意義和實際應用價值[3-5]。

在故障診斷與容錯控制領域內，基于觀測器的容錯控制引起了學者的廣泛關注，主要有滑模觀測器（SMO）[6-8]，未知輸入觀測器（UIO）[9,10]，自適應觀測器（AO）[11-13]等。Edwards首次提出等價輸入的概念[6]，設計滑模觀測器實現(xiàn)了對傳感器故障的估計；胡正高等對于滑模觀測器出現(xiàn)的顫振現(xiàn)象，提出了二階滑模觀測器實現(xiàn)了執(zhí)行器故障估計[7]；隨后在滑模觀測器進行故障估計的基礎上，Lan等設計容錯控制器實現(xiàn)了渦輪槳距控制系統(tǒng)的容錯控制[8]。但是滑模觀測器需要滿足觀測器匹配的條件，而且需要知道故障的上下限。針對存在系統(tǒng)不確定性的馬爾可夫跳躍系統(tǒng)[9]和T-S模糊系統(tǒng)模型[10]，Li等設計未知輸入觀測器對系統(tǒng)故障進行估計，然后根據(jù)得到的故障信息設計容錯控制器，分兩步設計觀測器與容錯控制器，實現(xiàn)了故障估計與容錯控制的分離設計。針對線性離散系統(tǒng)的執(zhí)行器故障，Jiang等提出了一種自適應觀測器[11-12]，實現(xiàn)了故障估計與容錯控制的分離設計；為了更好地對故障進行估計，在自適應觀測器的基礎上，Qian提出了一種降階觀測器[13]，實現(xiàn)執(zhí)行器故障估計與容錯控制。文獻[8-13]根據(jù)觀測器得到的故障估計值設計容錯控制器，使得系統(tǒng)在故障狀態(tài)下也能保持穩(wěn)定并滿足H∞性能指標，但是觀測器和容錯控制器是分離設計，而在閉環(huán)控制系統(tǒng)中存在系統(tǒng)狀態(tài)和故障的誤差項，使得系統(tǒng)觀測器與容錯控制之間存在耦合，為了實現(xiàn)解耦，文獻[8-13]將閉環(huán)控制系統(tǒng)狀態(tài)和故障誤差項當作未知擾動，實現(xiàn)魯棒控制。最近，Lan和Liu提出了一種新的集成設計方法[14-16]，建立誤差方程與閉環(huán)控制系統(tǒng)的增廣系統(tǒng)模型，一步設計觀測器與容錯控制器，實現(xiàn)集成故障估計與容錯控制。但是，文獻[14-16]都是針對連續(xù)系統(tǒng)進行研究，而對于離散系統(tǒng)的研究較少。一方面由于離散系統(tǒng)中雙線性項的出現(xiàn)，離散系統(tǒng)的觀測器和控制器設計要比連續(xù)系統(tǒng)困難，另一方面隨著計算機應用于控制系統(tǒng)，離散系統(tǒng)的設計引起了廣泛的關注。Nguyen雖然針對離散系統(tǒng)的觀測器與控制器的集成設計進行了研究[17,18]，但是沒有考慮系統(tǒng)存在故障的情況。另外，對于控制系統(tǒng)來說，模型誤差和系統(tǒng)擾動是不可避免的，而文獻[8-13]沒有考慮到系統(tǒng)的模型誤差。

基于以上分析，本文針對存在系統(tǒng)不確定性、未知擾動以及執(zhí)行器故障的離散系統(tǒng)，進行集成故障估計與容錯控制。首先，對于故障估計與容錯控制之間存在的耦合，建立系統(tǒng)誤差方程與閉環(huán)控制系統(tǒng)的增廣系統(tǒng)模型。然后，利用D-穩(wěn)定引理與H∞控制對增廣系統(tǒng)設計，實現(xiàn)多性能約束條件下的集成故障估計與容錯控制。最后利用所提的方法開展仿真實驗，實現(xiàn)了飛行控制系統(tǒng)在不同故障條件下的集成故障估計與容錯控制。

1 問題描述

考慮如下存在系統(tǒng)不確定性、未知干擾以及執(zhí)行器故障的離散系統(tǒng)：

其中x(k)∈Rn、y(k)∈Rm和u(k)∈Rl分別為系統(tǒng)的狀態(tài)、輸出和控制輸入，d(k)∈Rp為系統(tǒng)未知干擾，f(k)∈Rq為執(zhí)行器故障向量，A∈Rn×n、B∈Rn×l、C∈Rm×n和E∈Rn×q為 系 數(shù) 矩 陣，D1∈Rn×p和D2∈Rm×p為擾動矩陣，ΔA(k)∈Rn×n為系統(tǒng)存在的不確定性。

在下文中，將對系統(tǒng)(1)的故障估計與容錯控制集成設計問題進行研究，為了解決這個問題，給出如下假設和引理。

假設1：矩陣(A,C)完全可觀的，矩陣(A,B)完全可控的。

假設2：rank(B,E)=rank(B)=l。

假設3：系統(tǒng)的不確定性 ΔA(k)是有界的，形式如下

其中，M∈Rn×n、N∈Rn×n為已知矩陣，F(xiàn)(k)滿足不等式FT(k)F(k)≤I。

引理1：（圓盤引理）[19]對于給定的圓盤區(qū)域D(α,r)（α為圓盤中心，r為圓盤半徑）以及正定矩陣P、矩陣A，如果不等式

成立，則矩陣A的特征值位于圓盤區(qū)域D(α,r)內。

引理2：（Young不等式）[20]對于合適維度的矩陣M,N,F(k)以及常數(shù)ε＞ 0,滿足FT(k)F(k)≤I，則不等式

成立，其中He(*)=（*）+（*）T。

引理3：（Schur補引理）[21]對于對稱矩陣，下列條件是等價的：

（1）S＜0；

注1：利用引理1和H∞控制理論對系統(tǒng)進行設計，會得到非線性不等式，但是直接求解比較困難，因此需要利用引理2和引理3對非線性不等式進行簡化，得到易求解的線性矩陣不等式。

2 故障估計與容錯控制集成設計

2.1 故障觀測器設計

為了對系統(tǒng)的狀態(tài)和故障進行估計，設計如下故障觀測器：

其中L、G為故障觀測器待設計的增益矩陣。

系統(tǒng)狀態(tài)和故障估計誤差定義如下：

則由式(1)(5)(6)得系統(tǒng)的誤差方程為：

注2對于誤差方程式(7)，要想故障觀測器存在，則矩陣（A,E,C）不存在位于1的不變零點[12]，而對于一般的自適應觀測器需要滿足嚴格等式約束即SPR條件[13]：（1）rank（CE）=q，（2）矩陣（A,E,C）不存在位于1的不變零點。

2.2 容錯控制器設計

針對系統(tǒng)式(1)，設計如下容錯控制器：

其中，K為待設計的增益矩陣，B*=(BTB)-1BT為矩陣B的廣義逆矩陣。

將式(8)代入系統(tǒng)式(1)，則閉環(huán)控制系統(tǒng)方程為

對于閉環(huán)控制系統(tǒng)(9)，在文獻[11]進行分離設計時，將誤差項當作未知干擾，通過設計增益矩陣K，使得閉環(huán)控制系統(tǒng)保持穩(wěn)定且滿足H∞性能||η(k)||∞＜γ2||w(k)||∞。但是實際上閉環(huán)控制系統(tǒng)式(9)與系統(tǒng)狀態(tài)和故障估計誤差η（k）存在耦合，而在設計增益矩陣K時，如果不考慮估計誤差η（k）的影響，那么系統(tǒng)狀態(tài)出現(xiàn)較大誤差。所以考慮到誤差方程式(7)和閉環(huán)控制系統(tǒng)式(9)兩者存在的耦合，對系統(tǒng)式(7)和式(9)進行集成設計，減少兩者耦合造成的誤差。

2.3 集成設計

系統(tǒng)的誤差方程和閉環(huán)控制系統(tǒng)的增廣系統(tǒng)模型如下：

其中

定理1：如果存在對稱正定矩陣P∈R(n+q)×(n+q)和Q∈Rn×n，矩陣X∈R(n+q)×m和Z∈Rl×n，對于給定的圓盤D(α,r)，常數(shù)εi（i= 1,2,3）滿足下列不等式

其中，

那么系統(tǒng)滿足H∞性能||η(k)||∞＜γ||w(k)||∞，矩陣Ac的特征值位于圓盤D(α,r)內，增益矩陣=P-1X和K=ZQ-1。

證明：定義Lyapunov函數(shù)V(k)=xcT(k)Πxc(k)，其中，Π=diag(P,Q-1)，P∈R(n+q)×(n+q)和Q∈Rn×n為正定對稱矩陣。定義矩陣

則

要想系統(tǒng)方程式(10)滿足H∞性能||η(k)||∞＜γ||w(k)||∞，則

在零初始條件V(0)= 0下，

所以，式(14)成立的充分條件為

其中 Ψ=diag（I-PI-Q-1-γI）

根據(jù)引理3，Ψ+A1TΠΠ-1ΠA1＜0等價于

在式(16)兩邊同時乘以diag(I,Q,I,Q,I)，得

其中，X=PL和Z=KQ。

由于式(17)中含有BK、、ΔAQ和QQ項，使得不等式(17)求解非常困難，為了得到易求解的線性矩陣不等式，下面將對不等式(17)進行處理。定義

式(17)等價于

其中=diag(Q,I)。

由引理2得，

式(18)成立的充分條件為

根據(jù)引理3可得不等式(11)，所以如果不等式(11)成立，則系統(tǒng)滿足H∞性能||η(k)||∞＜γ||w(k)||∞。

由引理1可知，矩陣Ac的特征值要位于圓盤區(qū)域D（α,r），則存在對稱正定矩陣，滿足不等式：

令=diag(P,Q-1)，在式(23)左右兩邊同時乘以diag(I,Q,I,Q)，得

由于式(24)中含有和ΔAQ項，使得不等式求解非常困難，為了得到易求解的線性矩陣不等式，下面將對不等式(24)進行處理。定義

式(24)等價于

由引理2得，

式(25)成立的充分條件為

根據(jù)引理3可得式(12)，所以如果不等式(12)成立，那么矩陣Ac的特征值要位于圓盤區(qū)域D（α,r），定理1證明成立。

對于系統(tǒng)(10)，根據(jù)定理1集成設計增益矩陣和K，使得系統(tǒng)矩陣Ac的特征值位于圓盤D(α,r)內，系統(tǒng)滿足H∞性能||η(k)||∞＜γ||w(k)||∞，實現(xiàn)多性能約束條件下的集成故障估計與容錯控制。本文提出的算法如下所示：

Step1：根據(jù)故障觀測器(5)(6)建立系統(tǒng)的誤差方程式(7)，得到矩陣

Step2：根據(jù)容錯控制器建立系統(tǒng)的閉環(huán)控制系統(tǒng)(9)，得到矩陣D。

Step3：根據(jù)定理1，解算出矩陣P、Q、Y、Z，并求得矩陣

Step4：根據(jù)定義B*=(BTB)-1BT，求出矩陣B*，該算法的控制框圖如圖1所示。

3 仿真驗證

為了對本文提出的算法進行驗證，下面將所提的方法應用于飛行控制系統(tǒng)的集成故障估計與容錯控制中。本文以文獻[22]給出的飛行控制系統(tǒng)模型作為研究對象，模型如式(30)所示。

其中，α(t)和q(t)分別為飛機的攻角（°）和俯仰角速度（°/s），控制輸入u為升降舵偏角（°）和推力（105N），對該模型進行離散化，離散時間為0.01 s，得離散化模型為：

各系數(shù)矩陣為：

其中，x（k）=［α(k),q(k)］T，D1、D2為干擾矩陣，d(k)為干擾，E為故障矩陣，f(k)為執(zhí)行器故障，ΔA為系統(tǒng)不確定性矩陣。

Step1：建立如式(7)所示的誤差方程，得到矩陣

Step2：建立如式(9)所示的閉環(huán)控制系統(tǒng)方程，得到矩陣

Step3：選擇圓盤區(qū)域D( 0,0.95)，常數(shù)ε1= 0.2、ε2= 0.14、ε2= 2，以及H∞性能指標γ= 0.5，根據(jù)定理1，解算得

并求得系統(tǒng)故障觀測器和容錯控制器的增益矩陣如下：

Step4：根據(jù)定義B*=(BTB)-1BT求得

根據(jù)故障變化情況的不同，故障可以分為：突變故障、時變故障和間歇故障。為了更好地說明本文算法的收斂性，假設飛行控制系統(tǒng)的升降舵出現(xiàn)恒定偏差和時變偏差故障（單位為°），故障形式如下：

為了更好闡述本文所提出的集成故障估計與容錯控制方法，將對本文所提的集成設計算法與文獻[18]中的正常控制和文獻[12]中的分離設計方法進行對比研究。其中文獻[12]的分離設計方法見第2節(jié)式(7)和式(9)，在文獻[18]中，不考慮系統(tǒng)存在執(zhí)行器故障f(k)，設計的控制器與觀測器如下：

假設系統(tǒng)擾動d= 0.01sin(t)，根據(jù)設計的故障觀測器和容錯控制器參數(shù)，得到仿真結果如圖2- 4，其中圖2為故障估計誤差曲線，圖3和圖4分別為系統(tǒng)攻角和俯仰角速度誤差曲線。

圖2 故障估計誤差曲線Fig.2 The error curve of fault estimation

圖3 攻角誤差曲線Fig.3 The error curve of α( k)

圖4 俯仰角速度誤差曲線Fig.4 The error curve of q(k)

由圖2可知，文獻[12]的分離設計和本文的集成設計方法都可以對發(fā)生的三種故障進行估計，但是本文提出的集成設計方法對故障估計的快速性更好、估計誤差更小。當系統(tǒng)發(fā)生突變故障和間歇故障時，集成設計方法只需要0.3 s就可以對故障值進行估計，而文獻[12]中分離設計方法需要1 s；估計速度提升70%；當系統(tǒng)出現(xiàn)時變故障時，集成設計方法故障估計誤差幅值為0.1°，而文獻中分離設計方法故障估計誤差幅值為0.3°，估計誤差減小66.7%。由圖3和圖4可知，當系統(tǒng)無升降舵故障時，三種設計方法中的攻角和俯仰角速度誤差均趨近于0，而當系統(tǒng)出現(xiàn)故障時，正常控制作用下的系統(tǒng)輸出誤差明顯增大，集成設計和分離設計方法下的系統(tǒng)輸出誤差仍然趨近于0，而集成設計方法的系統(tǒng)輸出要優(yōu)于分離設計方法的系統(tǒng)輸出，誤差更小。

4 結 論

本文針對存在不確定性、未知干擾和執(zhí)行器故障的線性離散系統(tǒng)，提出了一種集成故障估計與容錯控制方法。該方法不僅考慮了故障觀測器和容錯控制器之間存在的耦合，而且利用D-穩(wěn)定引理與H∞控制對增廣系統(tǒng)進行設計，在多性能約束條件下實現(xiàn)集成故障估計與容錯控制。對于得到的非線性不等式，利用引理2和引理3將其化簡為易于求解的線性矩陣不等式，得到了故障觀測器與容錯控制器存在的充分條件。飛行控制系統(tǒng)的集成故障估計與容錯控制仿真結果表明：

（1）本文所提的方法可以對不同的故障進行很好的估計；

（2）相比于分離設計，本文得到的故障估計快速性和準確性更好；

（3）本文提出的集成設計方法的系統(tǒng)輸出要優(yōu)于文獻[12]提出的分離設計的系統(tǒng)輸出，誤差更小。

因此，本文提出的集成設計方法具有較好的理論意義與實際應用價值。