第二型曲面積分計(jì)算公式正負(fù)號(hào)選取的研究

龐 峰

（山西警察學(xué)院 山西太原 030401）

第二型曲面積分在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中非常重要的知識(shí)點(diǎn)，也是最難掌握的數(shù)學(xué)計(jì)算理論之一，其涉及了包括積分計(jì)算、幾何構(gòu)型、多元函數(shù)、曲面建模等應(yīng)用，具有應(yīng)用領(lǐng)域廣、構(gòu)型多樣化、實(shí)踐性強(qiáng)等特點(diǎn)。例如，王世杰利用曲面積分中的高斯公式建立了大氣污染熱傳導(dǎo)的數(shù)學(xué)模型，精準(zhǔn)預(yù)測大氣污染傳導(dǎo)過程的擴(kuò)散范圍與方向[1]。張若峰使用第二型曲面積分轉(zhuǎn)化第一型曲面積分的方法避免了光反射過程中的曲面投影的復(fù)雜計(jì)算，更加便捷的解決了車燈線光源的計(jì)算問題[2]。目前，第二型曲面積分的研究已成為眾多數(shù)學(xué)科研工作者的研究熱點(diǎn)，但是大部分人的研究方向均集中在第二型曲面積分計(jì)算的對稱性、等價(jià)變換、計(jì)算方法以及應(yīng)用方面。龔羅中根據(jù)重積分的對稱性特點(diǎn)建立了適用于第二型曲面積分的對稱性定理，為第二型曲面積分計(jì)算提供極大便利[3]。王湘君等人利用等價(jià)變換的方法將第二型曲面積分變?yōu)檫吔绶忾]曲線積分，并提出相應(yīng)的應(yīng)用實(shí)例[4]。楊雯靖采用分面投影法、高斯計(jì)算公式以及兩類曲面積分的轉(zhuǎn)化方程計(jì)算了第二類曲面積分，并提供了比較典型的應(yīng)用實(shí)例[5]。然而，對于第二型曲面積分中公式的正負(fù)號(hào)選取的研究甚少。在積分運(yùn)行過程中正負(fù)號(hào)選取出錯(cuò)的情況是常有發(fā)生的事，往往直接導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤[6]。本文探討第二型曲面積分計(jì)算公式正負(fù)號(hào)選取的易錯(cuò)原因，并進(jìn)一步研究特殊情況下的正負(fù)號(hào)選取的方法，加以分析及推廣。

一、第二型曲面積分的概念與計(jì)算

（一）第二型曲面積分的概念。設(shè)在雙曲面S上分別存在P、Q、R三個(gè)函數(shù)，并將S上一側(cè)作分割T，分成n個(gè)小曲面S1,S2,???Sn,其細(xì)度其中，代表Si在三個(gè)坐標(biāo)方向上的投影面積，的正負(fù)號(hào)由Si的方向所決定。即，

（1）當(dāng)Si的法線和z軸的夾角小于90度時(shí)，則Si在xy平面的投影面積ΔSixy為正；

（2）當(dāng)Si法線和z軸的夾角大于90度小于180度時(shí)，則Si在xy平面投影區(qū)域的面積ΔSixy為負(fù)。在各個(gè)小的曲面Si上面選擇一點(diǎn)(ξi,ηi,ζi)。若

存在，且與曲面S的分割T和(ξi,ηi,ζi)在Si上的取法無關(guān)，則稱此極限為函數(shù)P,Q,R在曲面S所指定的一側(cè)上的第二型曲面積分，記作

（二）第二型曲面積分的計(jì)算。第二型曲面積分也是把它轉(zhuǎn)化為二重積分來計(jì)算。

解： 把曲面表示為參量方程：

由公式

二、第二型曲面積分公式的符號(hào)選取與計(jì)算

（一）符號(hào)的判定方法。

1.參數(shù)法。這是一種常規(guī)求解第二型曲面積分正負(fù)號(hào)的方法，通過設(shè)參數(shù)法來求解。

當(dāng)非封閉的、無重點(diǎn)的、光滑的雙側(cè)曲面S以參數(shù)方程形式給出時(shí)：

而右端積分號(hào)前±號(hào)對應(yīng)于曲面（S）的兩側(cè)。

定號(hào)法則如下：

①設(shè)(S)可分為前，后兩側(cè)，在(D)上，，若?一點(diǎn)(u0,v0)∈(D)使

則式（3）、（4）、（5）右邊均取正號(hào)，否則取負(fù)號(hào)；

②設(shè)(S)可分為左，右兩側(cè)，在(D)上，，若?一點(diǎn)(u,v)∈(D)使00

則式（3）、（4）、（5）右邊均取正號(hào)，否則取負(fù)號(hào)；

③設(shè)(S)可分為上，下兩側(cè)，在(D)上，若?一點(diǎn)(u,v)∈(D)使00則式（3）、（4）、（5）等號(hào)的右邊都選擇正號(hào)，反之選擇負(fù)號(hào)。

注：該方法的優(yōu)勢主要是使得uv平面坐標(biāo)系的設(shè)立具有任意性，在不同的函數(shù)行列式中任意交換u與v的位置均不會(huì)影響最終結(jié)果。

特殊一點(diǎn)的當(dāng)曲面S用顯式方程z=z(x,y)表示時(shí)，并討論形如時(shí)，通常需要把S的方程z=z(x,y)轉(zhuǎn)化為x=x(y,z)或y=y(x,z)。在這種轉(zhuǎn)化有困難的時(shí)候，可以將S看作由參數(shù)方程x=x,y=y,z=z(x,y)表示而利用公式：

2.矢量法。設(shè)S:x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v),(u,v)∈D為光滑曲面，P,Q,R在S上連續(xù)，則

等號(hào)右邊的“±”號(hào)需要由曲面指定的側(cè)進(jìn)行決定，當(dāng)(A,B,C)與S指定的法矢量方向相同時(shí)，選擇“+”號(hào)，反之選擇“-”號(hào)。

證明：設(shè)S指定側(cè)的單位法矢量為(cosα,cosβ,cosγ)，S在參數(shù)方程下的法矢量于是由

因此，“±”號(hào)選取必須要S的法矢量的方向和S指定側(cè)的法矢量的方向相同。由一、二型曲面積分的關(guān)系及（7）式，，從而結(jié)論成立。

注1 若指定一側(cè)的法矢量與x軸正向的夾角為銳(鈍)角，則選取的符號(hào)使

若指定一側(cè)的法矢量與y軸正向的夾角為銳(鈍)角，則選取的符號(hào)使

若指定一側(cè)的法矢量與z軸正向的夾角為銳(鈍)角，則選取的符號(hào)使

注2 在實(shí)際應(yīng)用過程中，可以運(yùn)用一點(diǎn)定號(hào)方法使得±(A,B,C)和S指定側(cè)D的法矢量的方向保持一致性，若存在(u0,v0)∈D,(Acosa)|(u0,v0)>0，或者 (Bcosβ) |(u0,v0)>0,或者 (Ccosγ)|(u0,v0)>0,±(A,B,C)的與S指定側(cè)的法向量的方向一致，則

中等式的右端取“+”號(hào)，否則就取“-”號(hào)。

3.投影法。這種方法主要是通過將曲面投影到平面上，再從轉(zhuǎn)化后的二重積分結(jié)果進(jìn)行選擇“±”號(hào)。例如，計(jì)算積分時(shí)，一般會(huì)把積分拆分為三個(gè)部分進(jìn)行計(jì)算。

推論：設(shè)P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)是定義在光滑曲面S:z=z(x,y),(x,y)∈DXY上的連續(xù)函數(shù)，則有

當(dāng)曲面S的方向?yàn)樯蟼?cè)，則式（9）右取“+”號(hào)，曲面S的方向?yàn)橄聜?cè)，則式（9）右取“-”號(hào)。

（二）符號(hào)判定方法的應(yīng)用。

1.運(yùn)用參數(shù)法判斷正負(fù)號(hào)的應(yīng)用。

解：將橢球面表為參數(shù)(φ,θ)形式x=asin?cosθ，

其中S是球面(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2，積分沿球面的外側(cè)。

解：可用高斯公式計(jì)算，但為了說明符號(hào)的選取將S表示為參數(shù)形式：x-a=Rsin?cosθ，y-b=Rsin ?sinθ，z-c=Rcos?。

取U=?,V=θ，則，S外側(cè)相應(yīng)的法線n在S的上半部與z軸的交角為銳角，故C≥0，故在公式右邊積分號(hào)前應(yīng)取正號(hào)，既得：

解：將S表示為參數(shù)形式x=cosθ,y=sinθ,z=z，取U=z,V=θ，則

Δ={(z,θ);0≤z≤3,0≤θ≤2π} ，判定符號(hào)選取Δy+={(z,θ);0≤z≤3,0≤θ≤π} ,S的外側(cè)相應(yīng)的法線n在S右半部與y軸正向的交角為銳角，而在Δy+上B≤0，故在式子右邊積分號(hào)前應(yīng)取負(fù)號(hào)，得：

2.運(yùn)用法矢量法判斷正負(fù)號(hào)的應(yīng)用。

例7 設(shè)S為上半球面的下側(cè)，求

解：S:x=sin?cosθ,y=sin?sinθ,z=cos?,0≤?≤π2,0≤θ≤2π,

由于C>0,則(A,B,C)的方向和S內(nèi)側(cè)的法矢量方向相反，所以積分選擇“-”號(hào)，最終得到：

例8 設(shè)S+為的上側(cè)，求

3.運(yùn)用投影法判斷正負(fù)號(hào)的應(yīng)用。

例9 求積分

三、結(jié)論

本文通過對曲面積分的知識(shí)的了解，結(jié)合函數(shù)知識(shí)，總結(jié)出了第二型曲面積分的有關(guān)概念和主要定理，之后又根據(jù)二重積分、高斯公式、斯托克斯公式等相關(guān)知識(shí)，研究了第二型曲面積分計(jì)算公式正負(fù)號(hào)選取的問題，主要有三種方法：第一種參數(shù)法，通過設(shè)參數(shù)來求解正負(fù)號(hào)；第二種是法矢量法，通過法矢量的方向來確定正負(fù)號(hào)；最后一種是投影法，通過將曲面投影到平面上來確定正負(fù)號(hào)，然后對這三種方法進(jìn)行應(yīng)用，應(yīng)用實(shí)例解決一些實(shí)際問題。