基于GPR的PC連續梁橋體系可靠度分析

黎恩華, 陳忠宇, 毛 林

(武漢理工大學 交通學院，湖北 武漢 430063)

0 引 言

橋梁可靠度分析是橋梁工程領域中的重要研究方向。橋梁與其他結構形式相比,其復雜的結構形式伴隨著多失效模式導致其功能函數往往呈高度非線性并且沒有確切的解析表達式。隱式的功能函數使得常用于求解可靠度的一次二階矩法無法對其求導從而難以解決問題。如何將隱式功能函數顯式化是解決問題的關鍵,響應面方法(RSM)的出現促進了問題的解決,但是響應面方法在處理非線性較強隱式功能函數時,響應面函數難以精確擬合真實功能函數,計算誤差較大。蒙特卡羅模擬法(MCS)求解此類可靠度問題計算精度較高,但由于其計算所需的抽樣次數較大導致效率較差。隨著機器學習理論的發展,結構可靠度領域開始將人工神經網絡(ANN)、支持向量機(SVM)[1]等方法引入并取得了不錯的研究成果。但上述響應面方法尚存在著不足之處，如ANN在小樣本條件下學習預測能力差以及容易出現過擬合,而SVR則存在損失函數和超參數難以確定的理論問題。

與ANN、SVR等回歸模型相比,高斯過程回歸(GPR)具有超參數自適應、泛化能力強、預測結果具有相應的置信度結果等優點。本文提出一種將高度非線性函數回歸的GPR方法與JC法相結合的體系可靠度計算方法，并將其應用于PC連續梁橋體系可靠度的求解。

1 基于GPR的可靠度計算方法

1.1 GPR基本理論

高斯過程最終的決策函數完全由均值函數和協方差函數確定[2]。

f(x)～GP(m(x),k(x,x′))

(1)

為了方便起見,通常在分析過程中將高斯過程的均值函數設為零。本文通過有限元模型分析得出響應值從而算出相應的功能函數值，屬于計算機模擬試驗,屬于高斯過程中觀察目標值無噪聲的情況。假設訓練樣本為D=(X,y),其中X為訓練樣本個數和輸入變量維數組成的m×n輸入矩陣,y為結構真實響應值,則關于y的高斯先驗分布為:

y～N(0,K(X,X))

(2)

式中，K(X,X)為m×m階對稱正定協方差矩陣,根據高斯分布先驗概率可推得訓練輸出的聯合分布為:

(3)

協方差函數選取為平方指數協方差函數,在不考慮噪聲影響的情況下,其表達式為:

(4)

式中:σf為局部相關性的控制量;l為距離尺度。

通過學習樣本數據得到的GPR模型的超參數對模型的精度而言至關重要,通常運用對數極大似然法和共軛梯度法相結合尋找最優超參數。對數似然函數具體形式如下:

(5)

根據貝葉斯原理,可推斷出y*的預測后驗分布均值為

(6)

式中:αi為α向量的元素;α=K-1y,k(xj,x*)為協方差矩陣K的列向量。

1.2 可靠指標高斯過程表達式

假設橋梁結構的極限狀態方程為：

Z=g(x)=0

(7)

當選取橋梁隨機變量x中存在非正態分布變量時,可通過一次二階矩中的JC法將其轉化為正態分布變量。采用GPR模型擬合該功能函數時,即：

(8)

(9)

橋梁可靠指標為：

(10)

1.3 可靠度計算流程

(1)采用拉丁超立方抽樣(LHS)在樣本區域(μi-3σi,μi+3σi)中抽取70組樣本數據,其中50組為訓練樣本,20組為測試樣本。

(2)將得到的樣本數據作為GPR模型的輸入,通過有限元分析軟件得到對應的響應值,再根據失效限值求得功能函數值Z并將此作為GPR模型輸出。

(3)采用高斯過程回歸方法對訓練樣本數據進行學習。

(4)根據式(8)構建GPR模型將各個失效模式下的隱式極限狀態方程顯式化。

(5)采用JC法求解可靠指標。在式(10)的基礎上,假定一個迭代點x*,重復迭代計算相應可靠度指標值直到最近兩次的‖x*‖的差值小于允許誤差,從而得到某個失效模式下的可靠指標。

基于上述可靠度計算流程編寫相應的Matlab程序。

2 基于GPR橋梁體系可靠度計算

2.1 工程實例

長湖特大橋是位于湖北省荊州市跨越長湖的一座特大型橋梁工程,該橋主橋為四跨變截面預應力混凝土箱梁(30 m+2×50 m+30 m)。通過MIDAS Civil建立長湖特大橋有限元模型如圖1所示。

圖1 橋梁結構有限元模型

2.2 隨機變量統計參數

處于運營期的PC連續梁橋的性能會在眾多因素的影響下發生一定的變化,在閱讀及參考相關文獻的研究基礎上[2],選用對連續梁橋可靠度相關系數較大的幾個變量作為本文的研究目標(表1)。

表1 隨機變量統計參數表

2.3 失效模式分析

對于構造相對復雜的PC連續梁橋而言,全面地尋找到所有可能的失效模式并計算相應的可靠指標是極其困難的。因此,在查閱相關文獻[3,4]并結合該橋實際情況后,本文將橋梁在正常使用極限狀態下基于應力限值控制和撓度限制控制的可靠度作為研究的重點,即極限狀態函數可表示為:

(11)

式中：σc c為橋梁運營階段可能失效截面混凝土壓應力值;σc t表示相應階段的拉應力值；橋梁采用的混凝土等級為C50,軸心抗壓強度標準值為fc k=32.4 MPa,抗拉強度標準值ft k=2.64 MPa;δ表示橋梁運營階段可能失效截面撓度值；L表示橋梁的計算跨徑。

根據橋梁監控原則、相應荷載試驗數據以及參考相關文獻[1],選取有限元模型中應力和撓度接近相應失效限值的截面作為可能失效的關鍵截面。

(1)有限元模型13、35和57號節點對應1#、2#、3#塊根部截面將可能出現上緣拉應力失效。

(3)有限元模型24、46號節點對應第二跨和第三跨跨中截面將可能出現下緣拉應力和撓度失效。

各個失效模式下GPR模型評價指標平方相關系數(r2)、平方絕對百分比誤差(MAPE)和均方誤差根(RMSE)見表2,各個失效模式對應的可靠度指標和失效概率見表3。

表2 各失效模式下GPR模型評價指標

表3 關鍵截面各失效模式的可靠度指標值

各個失效模式下的GPR模型測試樣本的r2值均接近1,說明隨機變量和功能函數之間存在很強的相關性。結合相關文獻數據,分析測試樣本MAPE和RMSE可以知道6個GPR模型預測精度均較高,足以滿足工程精度要求。

2.4 計算結果分析

對于正常使用階段的PC連續梁橋來說,表3中任意一種失效模式的發生都將導致橋梁體系失效,因此本文將僅材料強度失效和撓度失效的橋梁體系視為各個失效模式構成的串聯系統。由于該橋梁結構對稱,對稱截面處功能函數值和可靠指標值對應相等。因此在采用可靠指標矢量法求解體系可靠度時,橋梁結構將被看作是第一跨和第二跨中關鍵截面的各個失效模式構成的串聯系統。可靠指標矢量法失效概率公式為:

(12)

結合表3和式(12)可得,該橋在運營期體系可靠指標為6.313 8,失效概率為1.36×10-10,長湖特大橋的安全等級為一級,查閱相關文獻和規范可知,正常使用極限狀態下的公路橋梁可靠指標應大于4.7,因此該橋設計符合規范可靠性要求。

3 結束語

本文中將基于統計學習的GPR模型、JC法和可靠指標矢量法相結合,提出了基于高斯過程回歸理論的橋梁體系可靠度計算方法。該方法既利用了JC法將非正態分布的隨機變量轉化成對應正態分布,又充分利用了GPR模型在處理高維度、小樣本、非線性回歸問題上的優勢。通過PC連續梁橋應用實例可以知道,本文采用的方法具有很強的理論基礎和實用性,并為解決橋梁結構具有高度非線性隱式極限狀態函數的問題提供了一條新的途徑。

不過，本文中僅限于對材料強度失效模式和撓度失效模式兩種連續梁橋最可能發生的失效模式進行體系可靠度問題的探究,關于該橋型的其他失效模式還有待進一步研究。