由特殊到一般方法在高數學習中的應用

魏選平

摘 要 本文聯系小學，初高中數學，再結合大學數學總結出來了從特殊到一般大的學習方法，這種方法來自于一線課堂實踐，實用可靠，對高等數學的學習具有很大的借鑒性。

關鍵詞 數學 特殊 一般

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A

1由特殊到一般方法在高數中的體現

鑒于高等數學是中學數學的推陳出新，是中學數學知識的重新組合產生的解決新問題的方法。而數學是對客觀世界從空間位置和數量關系兩方面進行研究對的學科。所以，要學習高等數學，首先要回顧和復習中學數學的內容。本文同樣要研究一種新方法，也要從最熟悉的簡單問題做起，首先從高等數學教材的第一、二章做起，初步在回顧和復習中學數學的過程中，初步學會從特殊到一般的教學和學習方法。例如，在講到函數的概念時，先舉一個簡單的做勻速直線運動的物體的實例，在這一簡單的實例中，認識到取值發生變化的量是變量時間和路程，而對時間的每一個值，路程都有唯一的值與其對應。從而，將本身發生變化的量叫自變量，因自變量的變化而發生變化的量叫因變量。這種初一數學所反映出來的變量的關系，就是樸素的函數關系。進而想到，自變量的取值范圍叫定義域;因變量的取值范圍叫值域。從定義域到值域這兩個數集間的映射關系就是函數關系。按照從特殊到一般、從簡單到復雜的方法，通過抓住這一簡單實例的本質規律，熟能生巧地平行相似推廣到一般問題，用自己的語言表達出來就是函數的定義。綜上，就能初步領會和學會由特殊得到一般的方法。初步學會這種方法后，就可利用該法進一步繼續回顧和復習函數的表示方法。我們可從最簡單的一條直線方程為例，由這條直線的數學表達式的對應關系，用列表的方法，通過給一個自變量的值，相應得到一個函數值，從而得到坐標系上的兩點，將這兩點連成線，就得到了一次函數直線的圖像。這樣按照從特殊到一般的方法就總結出一般函數的表示方法為解析式法、列表法和圖像法。這樣，又一次重溫了從特殊到一般的教學方法，在較深入地領會了該法的基礎上，我們就可利用這種方法繼續學習函數的特性。在復習函數的有界性、單調性、奇偶性和周期性時，對每一個特性，我們都可先舉一個實例，由最簡單的實例圖像所反映出來的規律和本質，用自己的語言描述出來，就是函數的特性。綜上所述，通過回顧和復習中學的知識的過程中，就可初步學會從特殊到一般的教學方法。那么從第三章起，就可用這種方法進行新內容的學習。具體思路和方法如下。

第三章由中學熟悉的數列概念入手，對數列n分之一，當項數n趨近于無窮大時，該數列的第n項無限逼近于0，所以該數列的極限就是0。由這個特殊的簡單的特例，可推廣出一個數列的極限的定義。再考慮到數列是特殊的函數，一個函數的自變量可以是正數也可以是負數。所以一般函數的自變量的變化無非有趨近于無窮大和趨近于有限值兩種變化情況。從而可以由特殊的函數——數列的極限推廣出一般函數的極限。第四章可由曲線上某點的切線的斜率及變速直線運動瞬時速度兩個特殊的實例出發，熟能生巧地用自己的語言概括出一般導數的定義。由導數的定義可推導出本章的其它內容;第五章又可采用特殊的實例的圖形，采用形數結合法推理出函數的單調性和凹凸性、極值和最值。另外，按照從簡單到復雜，可平行推理出二元函數的極值和最值;第六章從求平面中求曲邊梯形面積這個特殊的實例出發，抓住分割、求和、取極限的特征，采用由特殊到一般的方法，用自己的語言可以歸納和概括出定積分的定義;第七章又可從求空間曲頂柱體的體積這個實例出發，推廣出二重積分的定義;第八章可以從求一個微分方程的簡單的實例，概括、歸納、推理出一般微分方程的概念。顯然，從特殊到一般、從簡單到復雜的方法可貫穿于高等數學學習的始終。按照這樣的學習和教學方法，可化難為易，化抽象為具體，不但利用培養學生的自學能力，也有利于提高學生學會由特殊到一般解決新問題的能力。

本文立足于高等數學的實踐教學的一線課堂，突出教學的實踐創新性，將由特殊到一般、由簡單到復雜的方法貫穿于高等數學教學的始終，力爭每次課都用該法解決新問題，使學生盡快學會利用該法進行自學和有成效地解決新問題。在整個貫穿由特殊到一般方法的同時，注重典型和重點的幾次課堂教學進行錄像。由實況錄像中，抓細節，找問題。對課堂教學中存在的問題進行整改，力爭使由特殊到一般的方法在課堂教學中發揮應有的有效作用。在提高教學質量的同時，提高教師的教學和學生的自學能力。鑒于教學科研課題具有實踐特色，根據唯物辯證法的實踐論，在高等數學課程進修由特殊到一般方法的教學實踐的同時，要注意每次課后，多反思，多回味，將每次課中存在的問題進行整改，對每次課取得的好的經驗進行總結。力爭做到每次課能找到問題，又能發現成績。對好的經驗和體會可以寫成教學體會文章。將好的經驗和做法繼續發揚廣大，將存在的問題和不足糾正后，再繼續進行課堂教學實踐的檢驗。使教學認識在多次循環往復課堂教學實踐中得到檢驗和提高。當然，在自我進行教學實踐和反思體會的同時，也要多與學生溝通，多了解學生的感受，多向學生征詢好的建議。

2結論

綜上所述，小學、中學、大學數學學習中的每一個重要公式、概念、定理都是從生活中簡單特殊的實例總結概括歸納出來的，由這些基本定理公式又可解決形形色色的同類所有問題。體現出了由特殊到一般，再由一般到特殊的規律。只要掌握了從特殊到一般的方法，就能提高學生的自學能力，就能增強教師的教學能力。一般來說，特殊的實例都很簡單，一般問題都很復雜，這種方法也是從最簡單的問題中學會復雜問題的解決辦法，這不能不說是一種智慧。有了這種智慧，不但能學好數學，也能學會分析和解決新問題的能力。