基于奇異值分解的稀疏信道估計

陳發堂 侯寧寧 范藝芳

(重慶郵電大學通信與信息工程學院 重慶 400065)

0 引 言

正交頻分復用(Orthogonal Frequency Division Multiplexing，OFDM)技術與多輸入多輸出(Multi Input Multi Output，MIMO)技術兩者相結合，不僅有效提高了無線系統的通信質量，同時還提高了系統容量。但受無線信道環境的制約，信號在傳輸過程中會受到不同程度的衰落和延時，從而引發符號間的干擾(Inter Symbol Interference，ISI)[1]。為了有效降低ISI，提高信號的傳輸質量，必須對信道狀態信息(Channel State Information，CSI)進行精確估計，可見信道估計在無線通信系統中頗為重要。

傳統估計方法，如最為常用的最小二乘(Least Squares，LS)算法以及最小均方誤差(Minimum Mean Square Error，MMSE)算法，在信道估計時都需要采用大量的導頻信號。考慮到導頻信號不含任何有價值的信息，但在傳輸過程中依然占用頻帶資源，因此傳統估計方法對頻帶資源的占用頗為嚴重，致使頻帶資源利用效率低。2006年，Donoho等提出了壓縮感知(Compressed Sensing，CS)理論，該理論表明借助信號的稀疏特性，只需要少量的觀測值就可以高效率地恢復出原始信號[2-3]。同時，文獻[4]表明無線多徑信道具備稀疏特性。因此，可以充分利用無線多徑信道具備稀疏性這一特點，將壓縮感知理論與信道估計相結合，在提高頻帶資源利用率的基礎上獲得較好的估計效果。

以CS為依據，文獻[5]采用匹配跟蹤(Matching Pursuit，MP)算法以及文獻[6]采用正交的匹配跟蹤(Orthogonal Matching Pursuit，OMP)算法進行了信道估計，同時驗證了壓縮感知理論在信道估計中的有效性。為了降低噪聲的影響，在OMP算法基礎上，Needell等[7]提出了一種新的具有抗噪能力的壓縮采樣匹配跟蹤(Compression Sampling Matching Pursuit，CoSaMP)算法。但以上三種算法都存在相同的問題，即必須預先已知信道的稀疏度，而在實際應用中，信道的稀疏度很難獲取，因此又提出了一種稀疏自適應的匹配跟蹤(Sparsity Adaptive Matching Pursuit，SAMP)算法[8]。SAMP雖然解決了算法過度依賴信道稀疏度的問題，但其算法的性能和復雜度不能達到折中，即無法同時兼顧，也就是說性能好時復雜度高，復雜度低時性能不佳。此外，算法的抗噪能力也相對較差，有待進一步優化和提升。

為了進一步優化算法的估計精度，同時減小算法的復雜度，本文提出了一種新的具有抗噪能力且稀疏度自適應的壓縮感知估計算法，并稱之為N-SAMP算法。該算法在不需要事先知道信道稀疏度的前提下，采用自適應步長來提高算法的重構效率；迭代過程中，與奇異值分解技術相結合，并根據奇異熵來確定有效的重構階次，達到過濾相關性較小原子的目的，同時，還起到了抵抗噪聲干擾的作用。仿真結果表明，N-SAMP算法與傳統重構算法相比，估計精度得到了明顯提升，尤其在信噪比較低的信道環境下，與此同時，重構效率也得到了進一步的改善。

1 系統模型

MIMO-OFDM系統模型如圖1所示。

圖1 MIMO-OFDM系統模型

在MIMO-OFDM系統的發送端，傳輸的信號首先需要進行快速的傅里葉逆變換(Inverse Fast Fourier Transform，IFFT)，然后再加循環前綴(Cyclic Prefix，CP)。加CP時，為避免載波間以及符號間的干擾，其所加CP的長度需要大于最大的時延路徑，最后進行并串變換處理。在MIMO-OFDM系統的接收端，也就是對發送端進行一個逆過程處理，即依次進行串并變換、去CP以及FFT變換。假如MIMO-OFDM系統的發送天線的個數為NT，接收天線的個數為NR，子載波個數為K，且保證一個OFDM符號內的信道參數完全一致，則該系統模型可表示為：

(1)

式中:zn(k)表示接收天線n在第k個子載波上的加性高斯白噪聲(Additive White Gaussian Noise，AWGN);sm(k)表示發送天線m在第k個子載波上所發送的信息；rn(k)表示接收天線n在第k個子載波上所接收到的信息；Hnm(k)表示發送天線m與接收天線n在第k個子載波上的沖激響應。Hnm(k)的表達式為：

(2)

且有：

(3)

式中:L代表信道的多徑個數;αnm代表發送天線m與接收天線n之間的增益;τj代表發送天線m與接收天線n在第j個路徑上的時延。令hnm=[hnm(0),hnm(1),…,hnm(L-1)]T，實際通信環境中，hnm是由少量多徑延遲抽頭系數組成，也就是說，若hnm中非零元素的個數用T來表示，則滿足T<

MIMO-OFDM無線通信系統中，假如有W個導頻信號，且依次位于k1、k2、…、kW子載波上，則接收天線n所接收到的導頻信息可表示如下：

(4)

式中：rn=[rn(k1),rn(k2),…,rn(kw)]T表示接收天線n所接收到的導頻信息，sm=[sm(k1),sm(k2),…,sm(kw)]T表示發送天線m所發送的導頻信息，zn=[zn(k1),zn(k2),…,zn(kw)]T表示接收天線n上的加性高斯白噪聲，Fs∈RW×L為離散的傅里葉變換陣F且維度為W×L的一個子矩陣。F的表達式如下：

(5)

接收到的信號可進一步表示如下：

R=SFsh+z

(6)

2 基于壓縮感知的估計算法

2.1 壓縮感知

壓縮感知理論表明：若信號本身是具有稀疏性的或者是在某個變換基下具有稀疏性，用少量的觀測值就能有效地恢復出原始信號。其數學模型如下：

y=Φx+z=ΦΨα+z=Θα+z

(7)

式中：y∈RM代表觀測向量；z∈RM代表噪聲矢量；Ψ∈RN×N表示變換基；x∈RN，若x稀疏，Φ表示M×N維觀測矩陣且滿足M<

(8)

由于M×N維矩陣Φ或Θ滿足M<

2.2 基于N-SAMP的信道估計

本文以壓縮感知理論為依據，借鑒傳統重構算法的處理流程，所提N-SAMP算法主要包括原子預選、預估計、基于奇異值分解的降噪處理以及原子裁剪四個階段，具體見算法1。由式(6)以及算法流程可知，R∈RWNR相當于式(7)中的觀測向量y，B=SFs相當于式(7)中的測量矩陣Φ。

算法1 N-SAMP算法流程

輸入：觀測向量R，測量矩陣B=SFs，參數α,β,ε

對于1≤t≤WNR，

1： 原子預選：計算殘差與測量矩陣相關系數的絕對值，將大于閾值γ所對應B的序列號j構成集合J0；

2： 更新索引集：Δt=Δt-1∪J0

4： 通過(12)式計算Ek并使其滿足Ek≥β，確定階次k

6： 更新索引(原子裁剪)：Δt=supp(Δt,k)

以向量x=[x1,x2,…,xn]和y=[y1,y2,…,yn]為例，首先向量進行標準化處理：

(9)

(10)

(11)

式中:(·)?表示矩陣的偽逆過程；(·)-1表示矩陣的求逆過程；Δt=Δt-1∪J0，J0表示相關系數大于閾值γ所對應B的序列號j構成的集合。

(12)

(13)

由式(13)計算奇異熵：

(14)

式中：k表示奇異熵階次。

在噪聲過高的信道狀態下，對角陣ΛP×P含有的非零元素較多，因此只保留對角陣ΛP×P中前k個元素，其余元素均設為零值，則式(12)可表示為：

(15)

由表1的處理流程可知，本文算法在迭代過程中引入了α、β、ε三個參數。其中：α的大小決定了原子預選的個數，也就是步長D；β的大小決定了降噪階次k的值；ε的大小決定了算法的迭代次數以及算法的復雜度。考慮到參數的取值大小會直接嚴重影響整體算法的性能，因此本文對以上參數進行了多次測試。基于大量的實驗分析，當α取值在0.6到1之間，β取值在0.97到0.99之間，ε取值在0.1到0.5之間時，算法性能較為穩定，因此算法仿真時，α、β、ε三個參數的取值均在以上范圍內。

3 仿真結果及分析

為驗證N-SAMP算法的估計效果以及對比所提算法與傳統算法的性能差異，本文采用MATLAB軟件進行搭建仿真鏈路，并利用均方誤差(Mean Square Error，MSE)來加以衡量，均方誤差定義如下：

(16)

由式(16)可知，MSE值越小，表明估計精度越高。表1為MATLAB仿真參數。

表1 仿真參數

首先，圖2對比了傳統估計算法LS和MMSE以及基于壓縮感知的OMP、CoSaMP、SAMP和本文所提N-SAMP算法的均方誤差性能。通過觀察圖2可知，以上五種算法均方誤差曲線整體保持一致，即都隨信噪比的增加呈現出下降的趨勢。此外，相同信噪比的前提條件下，N-SAMP算法的均方誤差要小于LS、OMP以及CoSaMP。更值得一提的是，在信噪比較低的信道狀況下，N-SAMP算法相較SAMP來說，性能更佳且更為穩定，如信噪比為5 dB時，N-SAMP算法的均方誤差僅為SAMP的5%左右，約降低了95%，性能得到了極大提升。

圖2 不同算法MSE曲線對比圖

圖3對比了傳統估計算法LS、MMSE以及基于壓縮感知的OMP、CoSaMP、SAMP和本文所提N-SAMP算法均方誤差性能與導頻數量間的關系，其中信噪比(Signal to Noise Ratio，SNR)取值在15 dB。通過觀察圖3可知，以上算法均方誤差曲線整體上呈現出一個下降趨勢，即均方誤差都隨著導頻數目的增加而減小，也就是說算法的性能會隨導頻的增加而逐漸變好，這是因為導頻個數的增加，說明觀測向量所包含的原始信息就越多，因此誤差就會變小。另外，當采用相同導頻時，N-SAMP的均方誤差要小于其他三種傳統的重構算法；當均方誤差相同時，N-SAMP所需的導頻數量同樣要低于其他三種傳統的重構算法，這就說明本文所提N-SAMP算法能在采用較少導頻的基礎上取得比傳統重構算法更佳的估計精度，同時還說明了N-SAMP能減少導頻的開銷，從而提高系統頻譜資源的利用效率。

圖3 不同導頻MSE曲線對比圖

為了比較各算法的計算復雜度，本文統計了基于壓縮感知的SAMP、OMP、CoSaMP以及本文所提N-SAMP算法的運行時間，如圖4所示。此外，為了更好體現所提算法具有較高的重構精度，對圖4進行了數字化處理，如表2-表4所示。通過觀察圖4可以看出，以上四種算法的運行時間隨信噪比的增加均呈現出下降趨勢，即算法的運行效率隨信噪比的增加而得到提高。在相同信噪比下，N-SAMP算法的運行時間要明顯低于OMP、CoSaMP以及SAMP三種傳統的重構算法。由表2-表4可以看出，相同信噪比下，N-SAMP算法運行時間相比SAMP降低了約15%，相比CoSaMP降低了約40%，相比OMP降低了約50%。

圖4 各算法運行時間對比

表2 N-SAMP與SAMP運行時間對比

表3 N-SAMP與CoSaMP運行時間對比

表4 N-SAMP與OMP運行時間對比

4 結 語

本文鑒于基于壓縮感知的估計方法能高效獲得信道狀態信息，提出了一種新的具有抗噪能力的基于壓縮感知的N-SAMP估計算法，并將其應用到MIMO-OFDM無線通信系統。N-SAMP采用自適應步長來提高算法的重構效率，與奇異值分解技術相結合，并根據奇異熵來確定有效的重構階次，進而過濾掉能量較低的原子，從而避免迭代過程中選取不太相關的原子，同時還抵抗了噪聲的干擾，提高了算法的魯棒性。與傳統的重構算法相比，N-SAMP算法具有較好的估計效果，尤其在信噪比相對較低的信道狀態下，性能更優且更加穩定，同時算法的復雜度還得到了進一步的改善。N-SAMP不需要事先知道信道稀疏度，具有較高的實用價值。