空間光調制器用于多光束二維偏轉的算法研究

楊飛躍，黃子強，彭逸葳

(電子科技大學 電子科學技術研究院，四川 成都 611731)

1 引 言

近年來，隨著雷達目標檢測與跟蹤技術、空間光通信技術、航天技術等領域的快速發展，對多光束偏轉技術方面的要求逐漸增高[1-2]。傳統的激光雷達采用萬向節等機械式掃描器件，這種器件結構繁瑣，體積和重量都很大，響應時間長，使系統的性能受到了限制。近年發展的液晶光柵本質上是以大量的一維排列的光學移相器分別對光的相位進行調制的非機械式調制器件[3]。這種器件的主要優點是能夠對激光實現可編程的快速、高精度的光束偏轉，液晶光學移相器的重量輕、消耗功耗小，是新型的分束、偏轉控制器件。然而，目前對于液晶光束控制的研究僅局限于一維標量衍射理論的計算，這種計算只考慮了一維衍射的問題，單個光學移相器無法實現光束的二維偏轉。為了實現二維偏轉，必須用兩個一維的光學移相器對x、y方向分別作相位分布的計算、控制[4-5]。即使如此，多光束的分束偏轉仍然會有鏡像光束而無法應用于激光通信上。

近年來基于液晶有源矩陣的空間光調制器(AMLC-SLM)的應用，使光束的整形獲得了進展[6]，通過將平行光束整形為分布在多個不同角度的光斑，為光束的直接二維偏轉應用提供了可能。然而，有源矩陣中的單元數量有限，導致空間光調制器的有效面積與單元尺寸的要求相矛盾。此外，薄膜晶體管的尺寸較大，從而相位分布的周期大，也造成了光束偏轉角度小和相位單元的開口率低下，像素的矩陣結構還會造成嚴重的黑柵效應。此外，AMLC-SLM在較高功率激光入射時，像元遮擋層、像元之間的黑色矩陣的光吸收熱效應還會使AMLC-SLM中的薄膜晶體管溫度升高，造成相位分布的不可忽略的偏移，嚴重時還可能損毀SLM。

光尋址空間光調制器(Optical Addressed SLM，OASLM)的相位分布是二維分布的，與寫入光的強度分布相關[7]，所以只需單片器件就能夠實現光束的分束、偏轉。由于相位分布沒有像素矩陣的限制，所以沒有黑柵效應。OASLM的分辨率只受到液晶層厚度的限制，理論上能實現較大的偏轉角度。OASLM有效孔徑只與基片材料的尺寸有關，與AMLC-SLM相比有很多優點，值得認真研究。

本文探討使用紫外光尋址的LCSLM對垂直入射的激光光束實現分束、二維偏轉，研究LCSLM的相位分布對分束比、偏轉角度與衍射效率的關系。

作為本文的研究基礎，參考了一維液晶相控陣的部分孔徑法[8]在單方向上的光束分束、偏轉的方法，將其擴展至二維作為計算LCSLM諸單元相位分布的起始值。克服了光束發散角與部分孔徑的大小成反比、各波束無法利用全部陣元的相位特性而使有效口徑降低、衍射效率較低的缺點。

本文報告了改進的G-S(Gerchberg & Saxton)優化迭代算法[9]，按照光束整形的思路，以在像面干涉而生成多光束束斑為目標函數，確定焦平面上透明模版的相位分布的分析過程和模擬結果。該方案的特點在于通過確定OASLM上DOE(Diffraction Optical Element)面適當的二維相位分布，以高斯平行光束通過DOE以后重構波陣面，生成多個強度受控、角度受控的束斑，以此實現平行入射的光束在二維任意角度的分束和偏轉。

模擬結果表明，改進的G-S算法所獲DOE相位分布，經過OASLM重構波陣面，實現了光束向任意角度偏轉的可編程控制，且光束的衍射效率對比部分孔徑法和樸素G-S算法有明顯提高，生成光束相比目標光束其均方根誤差也有明顯改善。

2 激光光束偏轉的二維標量仿真

2.1 光尋址液晶空間光調制的系統結構

反射式OASLM器件[10]結構如圖1所示，其主要功能材料包括對藍紫光敏感的材料硅酸鉍(Bi12SiO12，BSO)、氧化銦錫(ITO)透明電極、液晶層、介質反射鏡。

圖1 反射式OASLM的結構Fig.1 Structure of reflective OASLM

圖2 常溫下BSO晶體的能帶圖Fig.2 Energy band diagram for BSO

其中BSO單晶屬于立方晶系，是一種優良的光功能材料，具有良好的光電導效應，同時分子之間具有非常高的對稱性。BSO材料的能帶結構圖如圖2所示，由圖可以得出BSO材料的禁帶寬度為3.25 eV，由于BSO材料對藍紫外光的激勵下電阻率會急劇減小，因此當寫入光的波長λ≤380 nm時，根據能帶理論，使得存儲在價帶中的電子將會被激勵到導帶中，形成自由電子，此時在外電場的作用下，自由電子將會產生定向遷移形成電流。

圖3展示了BSO晶體在不同波長激勵下的響應，取入射光分別為綠光、藍光和紫光，對應的波長分別為530，475，384 nm。由圖可以得出不同的光波長激勵下的BSO材料的光電導率不同，當由波長為384 nm的紫光激勵時產生的光電導率最高，由波長為530 nm的綠光激勵時最低，由此可以得出，寫入光的光波長越小，光電導效率越明顯。

圖3 BSO晶體在不同波長激勵下的響應Fig. 3 Response of BSO with different wave-lengths illumination

綜上所述，本文采用紫外光作為尋址光照射到反射式OASLM上，BSO晶體在紫外光的激勵下，隨著光功率的增大電阻率成倍降低[11]，所以紫外光的強度分布在BSO上轉換成電阻率分布，與液晶層分壓后呈電壓分布，最終引起液晶層與紫外光強度相對應的折射率分布，從而對介質反射鏡另一側入射的讀出光(紅外光)的相位進行調制。

在反射式OASLM中，功率極強的讀出紅外光與紫外光被介質鏡隔離，可防止紅外光通過倍頻而影響到紫外光在BSO上的尋址，終使液晶層的折射率分布不至于受到讀出光的干擾。

2.2 二維標量計算方法

為方便計算，將OASLM離散化為N×N個像素單元組成，N的大小與液晶層的厚度、BSO的厚度有關。任一像素對應區域的BSO以紫外光照射可以改變其電阻率，通過分壓后改變像素液晶的偏轉角度而調制其相位延遲量。

設單個像素尺寸為w×w，則透過率函數可以表示為[12]：

(1)

其中：m為像素所在位置的行坐標，x=m×w；n為像素所在位置的縱坐標，y=n×w。從而可得出像素單元所組成的純相位液晶空間光調制的透過率函數。

(2)

(3)

(4)

tD(m,n)=eiφ(m,n)，設入射光束的復振幅分布為Gin(x,y)，出射光束的光場復振幅分布為Gout(x0,y0)，公式如下所示：

Gout(x0,y0)=H(x,y,x0,y0)·
t(x,y)·Gin(x,y)，

(5)

式中：H(x,y,ξ,η)為空間傳遞函數，在夫瑯禾費衍射近似條件下，光束在遠場的復振幅分布公式如式(6)所示：

(6)

即

(7)

顯然夫瑯禾費衍射就是入射光場的傅里葉變換。Gt(xi,yi)為光束的遠場分布，F{Gout(xo,yo)}為Gout(xo,yo)的傅里葉變換，f為空間光調制器距離遠場的距離。由式(7)可知，光束在遠場的分布取決于光調制器上各個點的相位值，改變各個點的相位，遠場的衍射圖將會被改變，因此可以通過改變相位值來逼近目標光束，稱此過程為對目標光束的相位恢復過程。

3 多光束形成方法

3.1 子孔徑法原理

當前使用液晶相控陣實現多光束的偏轉常用的方法有部分孔徑法、子孔徑交叉法、迭代傅里葉變換法[14]，部分孔徑法的原理是將液晶相控陣根據所需光束的多少進行劃分，每個孔徑所需的權重不同，得到的光束的偏轉效率也就有一定的偏差。

本文中將使用LCSLM通過子孔徑法來得到光束的二維偏轉。在微波天線領域和相控陣雷達領域，子孔徑的概念已得到了廣泛應用，因此使用同樣的原理，可以在液晶空間光調制器中引入子孔徑來形成光學多波束，其原理是將液晶空間光調制器分為N份，在每部分內實現對單個光束的單獨管理及控制。理論上說，N個子孔徑可以形成N個獨立的轉向光束，每個子孔徑的大小不一定需要相等，可以根據特定的需求進行隨意分配，這里的LCSLM加載的是純相位函數。顯而易見，這種方法沒有迭代過程，當多光束的數目較大時只有1/N個像素來進行干涉實現某一個光束的再現，而其他部分的相位值對該光束沒有貢獻，因此這種方法的光能利用率低。

圖4 子孔徑法的示意圖Fig.4 Schematic of the subaperture method

子孔徑分布的原理圖如圖4所示，如圖將空間光調制器分為n個部分，每個子孔徑都有各自的相位差，可以分別表示為Δφ1，Δφ2，Δφ3···Δφn，每個子孔徑也擁有不同的權重向量，權重向量不同，子孔徑的大小也就互不相同。

設第n個子孔徑的權重系數為an，an為大于0小于1的整數，L為液晶空間相控陣的大小，Ln為單個子孔徑的長度。

各個子孔徑區域中每個電極的相移量可以表示為φ1i,φ2i,φ3i···φni，根據上文可以得到相移量：

(8)

當高斯光束入射到LCSLM器件后，遠場處的光束相干重疊區域可以表示成為：

Efar=E1far+E2far+···+Enfar，

(9)

式中:E1far、E2far···Enfar分別是由n個子孔徑區域的相位調制所得。當要產生n個波束時，可以將LCSLM劃分成n個區域，一維方向的相位分布如圖4所示。

3.2 G-S相位迭代算法原理

國內外眾多研究者開發了許多方法來解決相位恢復問題，其中Gerchberg-Saxton(G-S)相位迭代算法是最受歡迎的算法。G-S算法是由Gerchberg和Saxton在1972年提出的[15]，這種算法的基本概念是通過重復應用傅里葉變換和傅里葉逆變換對來找到空間域和頻域中幅度約束相匹配的最優解。該算法已應用于不同的圖像處理中[16-17]，通過實驗和理論計算充分證明了算法的收斂性和有效性。因此本文主要是運用G-S算法與光尋址液晶空間光調制器相結合，設計出一種迭代傅里葉變換多波束形成算法。

光從入射面傳播到出射面這一個過程是一個傅里葉變換過程，假設入射面的出射光振幅為E0，出射面的復振幅為E1，公式如下：

E0(x,y)=A0(x,y)exp[jφ0(x,y)]，

(10)

E1(u,v)=A1(u,v)exp[jφ1(u,v)]，

(11)

入射面與出射面的光場復振幅分布為一對傅里葉變換對，表示如下：

(12)

G-S迭代算法的計算步驟如下，首先，確定初始相位，通過給目標光場振幅疊加一個隨機相位，將所得的復振幅分布進行逆傅里葉變換，提取相位值作為第一次迭代的相位值，這樣可以縮短算法的迭代過程。將初始相位與入射光束的振幅A0(x,y)相結合形成入射光場，其次給定遠場目標光束的振幅分布A1(u,v)，A0(x,y)和A1(u,v)即為算法在空間域和頻域的幅度約束值。迭代開始將初始相位帶入GS算法中進行傅里葉變換，對所得的頻域空間的圖像進行判斷，看是否與期望的光強幅度A1(u,v)逼近，如果滿足預設條件則退出程序，否則用A1(u,v)代替傅里葉變化的幅值，相位保持不變進行反傅里葉變換得到新的物空間像，保持相位不變用A0(x,y)代替幅值進行傅里葉變換，如此循環迭代直到得到合適的相位解。迭代過程的流程圖如圖5所示。

圖5 G-S迭代傅里葉變換流程圖Fig.5 Flowchart of G-S iterative Fourier transform

使用評價參數[18]η和RMS作為偏轉效果的評價函數，衍射效率η定義如公式(13)所示，用來評價光束經過衍射元件后的能量損耗情況，其中Ii為目標光束的光斑強度，I0為觀察平面出射波束的強度總和。

(13)

均方根誤差RMS定義如式(14)所示，用來評價遠場光斑與目標光斑的符合程度。

(14)

式中：g(u,v) 為觀察平面波束的幅度值，A1(u,v)為期望的目標光束的幅度值。

4 仿真結果分析

4.1 子孔徑法仿真分析

光尋址液晶空間光調制器的寫入光為紫外光，讀出光為紅外光，我們設入射光束為波長為1 054 nm的高斯光束，有效光斑半徑為3 mm，液晶相控陣的尺寸為5 mm×5 mm，利用第3節的理論仿真子孔徑法的多波束的形成。

設目標光束的偏轉角度為θ=(0，0.6°)和θ=(-0.6°，0)子孔徑的權重分別為0.5和0.5，將子孔徑進行均勻劃分。仿真結果如圖6所示。

由于部分孔徑法的孔徑大小為D/N，在上述仿真中孔徑大小為D/2，因此導致了部分孔徑法的分辨率較低。當N增大時，部分孔徑法所得的光束的分辨率將持續降低，影響光束的衍射效率。

圖6 (a)子孔徑法的遠場衍射圖；(b)輸入面的相位灰度圖。Fig.6 (a) Far field distribution of the beam on subaperture method； (b) Phase diagram of input surface.

如圖6所示，6(a)為觀察平面的雙波束的衍射圖形，6(b)為輸入面的相位灰度圖，由圖可以看出兩波束的相位在入射面上平均分布，所占的權重值都為0.5。

4.2 G-S迭代傅里葉算法仿真分析

設目標光束為雙光束，波束1和波束2在二維平面的偏轉角度(θx,θy)分別為(-0.48°，0.60°)和(0.48°，-0.60°)時，不同采樣數下光束的衍射效率不同，如表1所示。表1列出了采樣數不同時光束的衍射效率的變化，可以看出采樣數越大，光束的衍射效率越高。采樣數為256時，光束的衍射效率為81.86%；采樣數為512時，光束衍射效率達到91.94%；采樣數為1 024時，光束的衍射效率為92.10%。采樣數為1 024時，光束的旁瓣比采樣數512時有輕微的減小，但是采樣數取1 024時算法的耗時較長，所以這里不予采用。

在G-S算法中，不同的迭代次數下，光束的衍射效率也有所不同。設波束1和波束2在二維平面的偏轉角度取(0.66°，-0.78°)和(-0.66°，0.78°)，仿真的最大迭代次數設置為100次，迭代過程中的遠場幅度在x-z面的截面圖如圖7所示。

表1 不同像素數下的衍射效率Tab.1 Diffractive efficiency at different pixel numbers

圖7為G-S相位迭代算法所求的的雙波束遠場分布圖。圖7(a)～(d)分別表示在迭代過程中不同時刻所產生的波束的遠場分布。在迭代初期，光束的旁瓣較高且雜散光較多，光束的衍射效率為0.831 1。隨著迭代次數的增大，光束的衍射效率逐漸升高。當迭代次數為100時，光束的衍射效率達到0.874 9。因此在仿真中我們取算法的迭代次數為100，采樣數為512，對光束不同偏轉角度下遠場光強分布進行仿真分析，結果如圖8所示。

圖7 G-S相位迭代仿真結果。(a)迭代次數為5；(b)迭代次數為10；(c)迭代次數為50；(d)迭代次數為100。Fig.7 Simulation results of the G-S iterative Fourier transform beam-forming method. (a) Formed amplitude pattern with iterations of 5; (b) Formed amplitude pattern with iterations of 10; (c) Formed amplitude pattern with iterations of 50; (d) Formed amplitude pattern with iterations of 100.

在圖8(a)中遠場光束的偏轉角度(θx,θy)取(0.48°，0.60°)和(-0.48°，-0.6°)，通過仿真可以得到光束的衍射效率為0.909 9，光束的均方根誤差為0.323 1。遠場光束的衍射光強幾乎分布在主瓣位置，次極大旁瓣歸一化后分別分布在偏轉角度為(-1.37°，2.38°)、(-0.603°，5.69°)、(0.47°、-5.60°)和(-5.69°，0.59°)等位置附近，其歸一化強度在0.1～0.15范圍內，主瓣和旁瓣比為20：3。(b)圖中遠場光束的偏轉角度(θx,θy)取(1.2°，1.40°)和(-1.2°，-1.40°)，可以得到光束的衍射效率為0.667，光束的均方根誤差為0.53。遠場光束的衍射光強一部分分布在主瓣位置，其余能量分布在4束旁瓣位置，次極大旁瓣的位置分別為(-4.99°，1.92°)、(1.20°、-4.26°)、(-1.208°，4.267°)和(1.20°，4.26°)，最大旁瓣的歸一化強度為0.48，主瓣和旁瓣強度比近似為2∶1。圖9為G-S算法生成雙光束的相位圖，各個像素點的相位值在[0,2π]之間變化。由上述分析可以得到遠場光束在不同的偏轉角度下衍射效率不同，偏轉角度越大，遠場光束的衍射效率越小，均方根誤差越大。

圖8 不同偏轉角度下，光束的遠場分布圖。(a)光束的偏轉角度(θx,θy)取(0.48°，0.60°)和(-0.48°，-0.60°)；(b)光束的偏轉角度(θx,θy)取(1.2°，1.40°)和(-1.2°，-1.40°)。Fig.8 Far field distribution of the beam at different deflection angles. (a) The deflection angle of the beam is (0.48°，0.60°)and (-0.48°，-0.60°); (b) The deflection angle of the beam is (1.2°，1.40°) and (-1.2°,-1.40°).

圖9 G-S算法生成的雙光束的相位圖Fig.9 Phase diagram of the two beams generated by the G-S algorithm

5 改進的G-S相位迭代算法

G-S相位迭代算法相對于模擬退火算法和遺傳算法存在收斂性好、運算速度快等優點。但是G-S算法是一種局部搜索迭代優化算法，對初始相位不夠敏感很容易陷入局部最優值。因此，我們將G-S算法與模擬退火算法結合，提出了一種G-S算法的優化算法，同時我們將部分孔徑法所得的相位作為G-S算法的初始相位進行迭代計算。

在算法開始，將部分孔徑法所得的相位作為算法的初始相位，通過使用G-S算法計算得到相位屏的局部最優值；其次將上述的相位加入隨機擾動，具體方法如公式(15)所示，ε(x,y)為[0,2π]之間的一個隨機相位分布，b為一個擾動因子，其范圍在[0，1]之間，這樣的方法，相當于模擬退火算法中的升溫過程。隨后將加入擾動的相位屏加載進輸入光場中，計算遠場光束的分布。迭代完成后將加入擾動前和擾動后光場的誤差評價函數RMS和RMS′ 通過預先設定的常數p來進行判斷，當滿足公式(16)時，儲存擾動后的相位屏，否則保存原來的相位屏。在算法的計算過程中不斷減小b和常數p的值，這樣的過程相當于給系統不斷降溫。最后當迭代達到一定次數后，停止運算。

φ′(x,y)=φ(x,y)+b*ε(x,y)，

(15)

(16)

圖10 不同偏轉角度下雙光束的衍射效率Fig.10 Diffraction efficiency of double beams at different deflection angles

圖11 不同偏轉角度下雙光束的均方根誤差Fig.11 Root mean square error of double beams at different deflection angles

仿真結果如圖10所示。從圖10可以看出，隨著光束的偏轉角度增大，遠場的光束的衍射效率逐漸降低，改進后的G-S迭代算法所得的衍射效率與原迭代算法相比，光束的衍射效率有明顯提高，在偏轉角度為1.2°時上升的幅度最大，上升幅度為0.03。圖11展示了隨著偏轉角度增大雙光束的均方根誤差的變化規律，可以看出改進G-S迭代算法計算的光束的均方根誤差值相比樸素G-S迭代算法有了一定的下降，在每個偏轉角度處平均下降值為0.02。由此看以看出，將G-S算法進行改進后，算法的性能有了一定的提高，遠場光束與目標光束更加接近。

6 結 論

本文使用改進的G-S優化迭代算法，以在像面干涉而生成多光束束斑為目標函數，確定了輸入面上DOE的二維相位分布。該方案的特點在于通過確定OASLM上DOE面適當的二維相位分布，以高斯平行光束通過DOE以后重構波陣面，生成多個強度受控、角度受控的束斑，以此實現平行入射的光束在二維任意角度的分束和偏轉。模擬結果表明，改進的G-S算法計算得到的遠場光束在0°～1.4°偏轉角度內，衍射效率和均方根誤差分別在0.8～0.95和 0.2～0.5范圍內波動，相比樸素G-S算法所得到的結果有了明顯提高。