基于同步離散電流估計的磁軸承自傳感方法與試驗

胡雄心，胥 芳，譚大鵬

基于同步離散電流估計的磁軸承自傳感方法與試驗

胡雄心，胥 芳※，譚大鵬

（浙江工業(yè)大學特種裝備制造與先進加工技術教育部/浙江省重點實驗室，杭州 310014）

針對自傳感磁軸承的濾波法幅度解調模型結構復雜導致相移過大的問題，提出一種基于Cosine紋波的同步離散電流估計自傳感方法。建立了磁軸承磁阻模型，得到了磁軸承開關工作電流與位移之間的關聯(lián)變化規(guī)律。與以往的采樣電流相比較，同步離散電流是同步于PWM周期并定點離散于其Cosine紋波函數(shù)為0處的采樣電流，并建立了同步離散電流估計器（Synchronous-Sampling-based Discrete Current Estimator，SS-DCE）數(shù)學模型；該模型可消除主動磁軸承自傳感路徑中的濾波器，簡化估計算法復雜度，從而使得歷經(jīng)估計器的相移減小。數(shù)值仿真結果表明：SS-DCE自傳感算法在50～250m量程范圍內估計誤差小于2.72%；在特征頻率處幅值增益為2 dB，相位滯后為-22°，為系統(tǒng)穩(wěn)定運行提供了158°相位裕度。搭建了自傳感磁軸承實驗平臺，驗證了SS-DCE的位移估計最大估計誤差為5.06m，對應的估計精度為2.53%，并獲得較好的激勵響應的跟隨特性，研究結果為小相移的自傳感磁軸承和高速運行的磁軸承設計提供參考。

自傳感；模型；SS-DCE；主動磁軸承；同步采樣

0 引 言

在現(xiàn)代農(nóng)業(yè)中諸如農(nóng)田水利汲水設施、農(nóng)產(chǎn)品干燥和農(nóng)業(yè)溫室大棚等送風裝備[1-5]高效節(jié)能、長期穩(wěn)定可靠運行，是生產(chǎn)者、研究人員和工程師共同關心問題。主動磁軸承（Active Magnetic Bearings，AMBs）無摩擦、無需潤滑等優(yōu)點可為風機和泵提供磁懸浮支承，保障其良好運行[6-7]。然而，磁懸浮軸承常常因體積和價格等因素應用受限；其中實現(xiàn)閉環(huán)控制的專用位移傳感器對裝置的體積和價格影響顯著。在減少位移傳感器數(shù)量以及相關的布線和接口的挑戰(zhàn)中，AMBs的研究人員和工程師旨在生產(chǎn)緊湊的集成系統(tǒng)，并具有可靠性、經(jīng)濟性[6]。

自傳感技術利用基于軸承線圈電流和電壓等估計算法來確定轉子位移信息，為磁懸浮轉子提供無傳感器運行。由于傳感器和執(zhí)行器是同一個部件，使得電磁執(zhí)行系統(tǒng)設計簡化而提高可靠性。自1988年Vischer首次利用狀態(tài)估計法估算轉子位移[8]，但因其對系統(tǒng)參數(shù)敏感等問題后繼者提出參數(shù)估計法[9-10]。Park等先后用高頻小信號法構建自傳感磁軸承[11-14]，但因電磁線圈的高頻響應和干擾/噪聲帶來的困難和限制。而張亮等分析并利用開關紋波幅度解調技術[15-19]實現(xiàn)轉子位移估計；幅度解調技術本質上是使用不同的濾波器分離和提取軸承線圈電流信號的諧波成分[20-22]。然而，這些濾波器引入附加的相移導致較低的可實現(xiàn)穩(wěn)定裕度。此外，濾波法幅度解調器輸出的估計位移是占空比的非線性函數(shù)，具有相位和幅值的調制效應；Schammass等在數(shù)學基礎和計算機仿真上進行細致求證[23-25]。另外，近年利用神經(jīng)網(wǎng)絡、系統(tǒng)辨識、向量機和粒子群等高級算法來提高自傳感水平[26-30]并付之實踐，但信號采樣及保持環(huán)節(jié)未能消除高階電流紋波而使用了大量濾波器，于此帶來繁雜參數(shù)不確定性及復雜的估計算法而導致系統(tǒng)魯棒性降低。

因此，可用磁軸承自傳感位移估計器替代昂貴的位移傳感器，但需利用電流/電壓傳感器和位移估計模塊級聯(lián)完成位移估計的任務；其中硬件濾波器或有限脈沖響應（Finite Impulse Response，F(xiàn)IR）濾波器、除法器等會引入附加相移并會影響閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。因此，設計一個具有較小相移的估計器對自傳感磁軸承的穩(wěn)定性和魯棒性有重要意義。

本文以單自由度磁軸承為對象，首先分析了基于磁阻模型的磁軸承開關電流與位移關系和濾波法幅度解調模型的相移特性；其次引入基于Cosine紋波的同步采樣函數(shù)離散工作電流，從而建立同步離散電流估計器(Synchronous-Sampling-based Discrete Current Estimator，SS-DCE)的自傳感模型；然后，通過MATLAB仿真了基于SS-DCE磁軸承的靜態(tài)特性和動態(tài)特性；最后在磁軸承實驗平臺上對SS-DCE進行線性度和力擾動試驗測試。

1 基于磁阻模型的自傳感磁軸承原理

磁軸承的單自由度模型如圖1所示，估計器以Schammass等[23-24]設計的自傳感估計器是作為本研究的參照。根據(jù)磁路理論、安培環(huán)路定律、法拉第定律和歐姆定理

式中R為氣隙磁阻，R為鐵芯磁阻，R為包含氣隙和鐵芯路徑的總磁阻，H；μ和μ分別為空氣和鐵磁材料磁導率，H/m；為氣隙變化量，0為初始氣隙，g為轉子等效氣隙，m；l、1和2分別為鐵磁材料磁路總長度、定子磁路長度和轉子磁路長度，m；為磁極面積，cm2。

注：N為線圈匝數(shù)；為磁路磁通量，Wb；i為工作電流，A；u為工作電壓，V；A為磁極面積，cm2；x,g0為氣隙變化量和初始氣隙，μm；l1和l2分別為定子磁路長度和轉子磁路長度，μm。

可以得到

忽略電感的漏感和邊緣效應，忽略直流電阻，可得

2 基于同步離散電流的位移估計器

二電平PWM功放第個周期內的電壓可以表達為

式中為時間，s；=0,1,2,3……為PWM周期序號；=2π/ω為開關周期，s；ω為PWM功放的開關角頻率，rad/s；為供電電源電壓，V；α為占空比，可表示為

其中0偏置磁通或電流對應的常數(shù)，而α為變化磁通的最大幅值；ω為控制角頻率，rad/s。u()的傅里葉級數(shù)形式為

式中為自然數(shù)；于是，磁軸承對應的開關電流為

其控制電流大小可表示為

式中i()為磁軸承總的開關電流，A；i()為磁軸承中的控制電流成分，A；為磁軸承線圈直流電阻，Ω；為磁軸承線圈電感，H；c和s分別為磁軸承線圈的在角頻率c和s下的復數(shù)感抗，Ω；開關電壓/電流通過特定的帶通濾波放大器可以得到一次諧波電壓/電流及其幅值

和

式中1()為一次諧波電壓，V；1d為一次諧波電壓的幅值，V；1()為一次諧波電流，A；1d為一次諧波電流的幅值，A。

聯(lián)立式（4），（10）和（11），利用一次諧波電流和電壓的幅值，可以解得常見的濾波法幅值解調的轉子位移

式中x為基于一次諧波電壓/電流幅度解調估計器的輸出位移，m；A為加權系數(shù)πωμNA/(2)。

典型的磁軸承控制系統(tǒng)由位移傳感器（位移傳感器或位移估計器）通過控制器和功放系統(tǒng)驅動AMBs線圈構成閉環(huán)系統(tǒng)如圖2所示，而位移傳感器主要有參考和標定等作用。

模擬濾波法幅度解調估計器見圖2中的位移估計模塊，由帶通濾波、包絡檢測和低通濾波后的一次諧波電流和電壓再經(jīng)除法器而成。以開關頻率為2 kHz的PWM波為例，BPF通常選用二階巴特沃斯帶通濾波器，其中心頻率為2 kHz，帶寬為200 Hz；而包絡檢測器由整流電路構成；LPF用一階低通濾波器，截止頻率為200 Hz。

注：i為工作電流，A；u為工作電壓，V；i1d為一次諧波電流幅值，A；u1d為一次諧波電壓幅值，V；iL為平均電流，A；KA為放大系數(shù)；xsen為傳感器位移，μm；xest為估計位移，μm；xref為參考位移，μm；xerr為位移誤差，μm；PA為功率放大器；LPF為低通濾波器；RF為整流器；BPF為帶通濾波器，下同。

數(shù)字濾波法幅度解調法（Digital Filtering Amplitude Demodulation approach，DFAdM）是模擬濾波法估計器的數(shù)字化（如圖3所示），其中利用絕對值函數(shù)（Absolution function，ABS function）代替整流檢波電子電路。幅度解調估計器優(yōu)點在于估計器相應的電子技術和計算方法成熟；缺點是估計器路徑結構較為復雜，主要表現(xiàn)為：1）估計器路徑中濾波器較多，特別是高階的BPF/LPF耗時較大；2）ABS函數(shù)的算法較為復雜、耗時；3）電流采樣取一次諧波最大值算法也較為耗時。以上3個因素對附加相移的引入均有很大的影響。

注：xge為解調器輸出位移，μm；xm為補償位移，μm；Be為估計磁感應強度，T；ADC為模擬數(shù)字轉換器；LPF為低通濾波器；BPF為帶通濾波器。

為此考察一個特殊采樣時刻t

于是有

即此刻的紋波電流分量為0，式（12）無效；但此時考察控制電流式（8），假定線圈電感感抗ωL遠大于線圈直流電阻，則有

i為基于Cosine紋波電流的PWM同步離散電流，其中

于是可得

這就是基于Cosine紋波電流的PWM同步離散電流的位移估計式I；其中A1為μAN2/SS；進一步考察該離散電流的第和-1周期的方程，假定電感電流式近似三角波電流，于是有

即估計位移為

這就是基于Cosine紋波電流的PWM同步離散電流的位移估計式II；其中A2為2A/π。令α=50%，式（18）可以化為

式（20）表明當占空比為50%時，磁軸承電感的工作電流采樣值保持在上一個周期的采樣值狀態(tài)，即為電流保持器。

綜上所述，磁懸浮轉子位移在較大動態(tài)范圍變化時（如轉子起浮或著陸時），式（18）或（19）可以提供位移估計計算依據(jù)；而當磁懸浮轉子在穩(wěn)態(tài)懸浮過程時，由于控制電流變化量很小即PWM電流占空比等于或接近50%，從而式（18）或（19）處于無效狀態(tài)，此時可以選擇式（17）作為轉子位移估計計算依據(jù)。

式（12）計算結果對應的是第個周期內一次諧波最大值處t的一次位移估計，如圖4所示；在第個開關周期中需要對t......t時刻的采樣電流進行比較，才能獲取一次諧波的最大幅值；這種比較取值方法會消耗大量的時間，會引入較大的附加相移。

而SS-DCE的電流是在PWM周期內定點t,t1采樣的，不需要其他計算時間，而且根據(jù)上述分析可知此刻紋波電流分量為0，消除了以往自傳感模型中的濾波器。基于SS-DCE的自傳感仿真模型如圖5所示；該方法在PWM周期的t時刻定點采樣獲取電流值，消除了自傳感路徑上的帶通和低通濾波器；同時降低了電流采樣算法的復雜度。

注：s(t)為PWM三角波；tk1、tkp、tkq、tk+11、tk+1p為第k,k+1個PWM周期的采樣點；tks、tk+1s為第k,k+1個PWM周期的同步采樣點；kT、(k+αk)T分別為PWM波第k個周期的上升沿和下降沿時間點，μs；(k+1)T、(k+1+αk+1)T分別為PWM波第k+1個周期的上升沿和下降沿時間點，μs。

圖5中非線性補償模塊如忽略鐵芯磁性材料的飽和特性和磁滯特性，相對磁導率μ可以看成常數(shù)；如果考慮飽和非線性，可看成磁感應強度的二次函數(shù)

注：xm(k)、xge(k)和xg(k)分別為第k個PWM周期的補償位移、估計器輸出位移和估計位移，μm；iavg(k)為第k周期的電流平均值，A。

式中m2、m1和m0是與鐵芯材料和磁極結構相關的多項式系數(shù)；為磁感應強度T；可以由平均電流來估算值B來代替。

式中x(-1）為上一次的位移估計值，m；B為第周期的磁感應強度估計值，T。

3 自傳感系統(tǒng)仿真與試驗結果分析

3.1 自傳感系統(tǒng)的組成及其參數(shù)

為了驗證該估計方法在自傳感磁軸承中的有效性，本文在MATLAB中基于單自由度的磁軸承模型進行仿真；給定磁軸承初始氣隙為676.00m，偏置電流為3.00 A，開關功放電源電壓為50 V，系統(tǒng)參數(shù)如表1所示。經(jīng)計算磁軸承的位移剛度系數(shù)k為-2.82×104N/m；因此，電磁軸承系統(tǒng)特征頻率f為

式中為磁懸浮轉子質量，kg。

表1 單自由度磁軸承實驗臺參數(shù)

試驗系統(tǒng)結構框圖如圖6所示，整個系統(tǒng)分4個部分組成：電流和電壓傳感及信號調理模塊，基于數(shù)字信號處理芯片DSP的位移估計和系統(tǒng)控制模塊，開關功放模塊，以及微動位移平臺。試驗裝置如圖7所示，采用三菱PM10CSJ060智能功放模塊，工作頻率為2 kHz，具有短路保護、過壓/過流和溫度保護功能。電流傳感器采用LEM HX05-P，電壓利用電阻分壓器獲取；電流信號調理板主要是對交直流信號進行分離、前處理和適配放大等。電渦流位移傳感器HZ-891除了為位移估計模塊輸出提供位移標定和估計模塊參數(shù)調整等功能外，還可在試驗中作為參考位移。微動位移平臺是由基座、桁架和柔性鉸鏈構成，雙平行四桿柔性鉸鏈支撐桁架，而轉子下嵌固定在桁架上；電磁鐵固定在基座上。當桁架水平方向受力產(chǎn)生位移時，兩側平行鉸鏈抵消在垂直方向上的位移，從而嚴格保障單自由度磁軸承在水平方向的位移。

控制板是基于TMS320F2812設計的，工作外部時鐘為30 MHz。該芯片的EVA或EVB模塊可以方便輸出互補對稱的占空比可調的PWM波；同時EVA或EVB模塊有一個定時器的下溢中斷，而產(chǎn)生該中斷的時間點就在如圖4所示的t時刻；因此，只要在該中斷響應程序里讀取電流值即可實現(xiàn)前述的同步采樣。

注：虛線框表示框內的模塊都是基于芯片TMS320F2812開發(fā)的。i1,i2為開關電流; u1,u2為開關電壓; x01,x02為位移設置目標值。

3.2 系統(tǒng)仿真結果及分析

因為模型、設計和實現(xiàn)的簡潔性，基于開關紋波的幅度解調是目前最常用的自傳感方案；數(shù)字濾波幅度解調DFAdM的可編程性改善了自傳感系統(tǒng)溫度和噪聲的敏感性而倍受到注；其帶通和低通濾波器選用50階的有限沖擊響應濾波器。下面以DFAdM自傳感方法為參照，來開展SS-DCE自傳感方法仿真和試驗的比較研究。

1.控制板 2.信號調理板 3.電源板 4.電流傳感器 5.功放板 6.基座 7.柔性鉸鏈 8.位移傳感器 9.轉子 10.電磁鐵

在10m振幅和50 Hz的正弦波激勵下，DFAdM、SS-DCE的估計位移和SENSOR輸出對比如圖8所示。圖8a中顯示了一個周期內的估計位移的動態(tài)變化；圖8b中顯示了50～250m的線性度仿真結果，輸入為參考傳感器位移，輸出為估計器位移，因曲線比較接近，圖8c中對應顯示了50～250m的線性度誤差仿真結果。

SS-DCE估計器輸出的估計位移最大絕對誤差為5.43m，則SS-DCE估計器的位移估計精度（最大引用誤差=最大估計誤差絕對值/量程）為2.72%。而DFAdM估計器輸出的位移估計最大絕對誤差為9.71m，估計精度為4.85%。

圖8 SS-DCE和DFAdM的靜態(tài)特性仿真結果

而動態(tài)特性可以考察增益和相位特性：利用了參考傳感器值和位移估計值的頻率特性來判斷與系統(tǒng)穩(wěn)定裕度之間的關系。在仿真中，AMB理論模型輸出參考位移，估計位移將是仿真自傳感方案輸出。假定AMB模型受10m峰間正弦波擾動，估計位置和實際位置的頻率響應比表示為

其中X()為估計位置，X()為參考傳感器位移測量值。理想情況下，G()的增益必須為0，相位差必須為0；但由于濾波器和電磁軸承系統(tǒng)存在，增益和相位與理想情況有所漂移。

估計器輸出和參考位移之間幅值響應關系如圖9a所示，相位響應關系如圖9b所示；由于DFAdM法引入的FIR濾波器數(shù)量較多而且階數(shù)較高，因此DFAdM估計器相移較大；在電磁軸承系統(tǒng)特征頻率19.26 Hz處幅值增益為2 dB，相位滯后為-22°，為自傳感磁軸承轉子系統(tǒng)穩(wěn)定運行提供了158°相位裕度。

圖9c表示0～200 Hz范圍內的系統(tǒng)精度仿真結果：在20～200 Hz部分SS-DCE的估計精度穩(wěn)定在2.5%左右，而0～20 Hz部份受系統(tǒng)特征頻率的影響精度略差一些。相比較而言，DFAdM估計器的估計精度在5%左右。

3.3 試驗結果及分析

令轉子氣隙在50～250m的范圍內變化，將位移估計器輸出和電渦流傳感器進行對比，線性度測試結果如圖10所示。估計位移在50～250m范圍內最大估計誤差為5.06m，估計精度為2.53%。與DFAdM估計器相比較，經(jīng)試驗測定表明SS-DCE估計器的信噪比提高了16%；一個估計值計算時間縮短了270s，對應的相移減小了0.54π。仿真數(shù)據(jù)和試驗數(shù)據(jù)略有不同的主要原因是仿真中未計入電感動態(tài)特性（如渦流、電感直流電阻的熱效應等），而試驗電流則會受到這些因素的影響；另外是試驗電流中存在噪聲和干擾，而仿真未考慮這些因素。

為了測試SS-DCE估計器輸出的穩(wěn)定性和魯棒性。用小木槌對實驗裝置中固定轉子的桁架進行輕輕敲擊，形成力擾動信號；由于鉸鏈彈性回復力，結果如圖11所示，SS-DCE估計器的輸出位移估計信號在受到槌擊后位移變化圖。結果表明，轉子在力擾動下，SS-DCE估計器可以實時跟隨轉子位移的變化。說明該方法實現(xiàn)的無傳感器運行能夠在一定程度抵抗力擾動的影響，具有一定的穩(wěn)定性和魯棒性。

圖9 SS-DCE和DFAdM的動態(tài)特性仿真結果

圖10 SS-DCE線性度試驗結果

圖11 力擾動測試結果

4 結 論

本文針對自傳感磁軸承系統(tǒng)中同步離散電流估計器SS-DCE的靜態(tài)和動態(tài)特性進行建模和分析，在一定的試驗條件下，（本文的試驗條件是DSP2812的外部時鐘為30 MHz，DFAdM自傳感系統(tǒng)選用50階的FIR帶通和低通濾波器；激勵信號的頻率為50 Hz，幅值為10m），理論和試驗結果表明：

1）基于同步Cosine紋波電流的采樣方法，不需要高速采樣器件，降低了自傳感系統(tǒng)硬件成本，信噪比提高了16%；

2）SS-DCE估計方法基于同步Cosine紋波采樣的估計器消除自傳感路徑上濾波器和相位調制效應，簡化了位移估計算法；與DFAdM估計器相比較，縮短了計算時間270s，對應的減小了自傳感估計器的相移0.54π。

3）與數(shù)字濾波法幅度解調估計器相比較，基于SS-DCE的估計器輸出精度較高，仿真結果為2.72%，試驗結果為2.53%；而且在系統(tǒng)特征頻率19.26 Hz處提供了158°相位裕度。

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Self-sensing approach and experiments of active magnetic bearings based on synchronous-sampling direct current estimator

Hu Xiongxin, Xu Fang※, Tan Dapeng

(,,,310014)

Frictionless magnetic bearings can contribute to modern agricultural equipment, such as pump, fan and blast, thereby to achieve high efficiency, energy-saving and long-term reliable operation. But magnetic bearings are confined to the configuration and price of position sensors. In the recent years, the self-sensing and sensor less mode have been developed to extend the application of the magnetic bearings. Most previous studies are focused on the estimation algorithms, such as the state observer approach and parameter estimation approach. Moreover, the extra phase-shift is introduced by the estimator which consists of the analogue filter or FIR or more complex mathematic algorithm. The self-sensing path turns complex and longer due to the fundmental ripple needs to be extracted, amplified and filtered. Therefore, the key research target of this paper is the operation of position estimation. An absolute mathermatical approach was proposed to extract the rotor positon using the zero ripple characteristic based on the cosine-function of coil current. A self-sensing algorithm based on SS-DCE (Synchronous-Sampling-based Discrete Current Estimator) can be used to remove the extra phase that introduced by the analog or digital filters of the sensing path. Synchronous-sampling technique was used to sample the coil working current in the estimator due to PWM switching harmonics without the discrete current. Moreover, the phase shift can be minimized in SS-DCE scheme because the filters of amplitude demodulation have been eliminated, and the configure of AMBs are simplified. The numerical results of SS-DCE were also compare with that of the digital filtering amplitude demodulation approach(DFAdM). The test results of the position estimators showed that the optimal performances can be obtained, when the switching frequency and synchronous sampling frequency are 2 kHz, control frequency is 50 Hz, sampling frequency of DFAdM is 100 kHz, and some electrical conditions as the bias current 3.0 A, nominal inductance 13.2 mH and power supply 50 V. The SS-DCE was also verified by the simulation in 1-DOF AMBs. The static performance evalution was performed on the proposed estimator, indicating that the precision of SS-DCE was about 2.72%, and the absolute error was 5.43m in the position range of 50-250m. The precision of DFAdM estimator was 4.85% and the absolute error was 9.71m. Frequency response analysis was used to evaluate the dynamics performance in open loop state, indicating 158° phase margin at the eigen frequency 19.26Hz. Moreover, a rig of self-sensing AMBs was setup with TMS320F2812, LEM HX-05, PM10CJS060 and micro-positioning platform. The precision of SS-DCE was about 2.53% referring to eddy current sensor HZ-891. SS-DCE-based rotor showed good stability, rapid convergence and acceptable overshot under pulse disturbances that applied through a direct knock on the truss by a rubber hammer. The proposed approach can provide a direct guidance for the active control of magnetic levitation, magnetic damper and other engineering fields. The influence of PWM duty-cycle and low SNR on magnetic bearings can be performed in the near future research works, thereby to enhance the application of magnetic bearings for modern agriculture.

self-sensing; models; SS-DCE; active magnetic bearings; synchronous-sampling

胡雄心，胥芳，譚大鵬. 基于同步離散電流估計的磁軸承自傳感方法與試驗[J]. 農(nóng)業(yè)工程學報，2020，36(9)：59-66.doi：10.11975/j.issn.1002-6819.2020.09.007 http://www.tcsae.org

Hu Xiongxin, Xu Fang, Tan Dapeng. Self-sensing approach and experiments of active magnetic bearings based on synchronous-sampling direct current estimator[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering (Transactions of the CSAE), 2020, 36(9): 59-66. (in Chinese with English abstract) doi：10.11975/j.issn.1002-6819.2020.09.007 http://www.tcsae.org

2020-03-02

2020-04-20

國家重點研發(fā)計劃課題（2018YFB1309404）；國家自然基金（51775501）；浙江杰出青年科學基金（LR16E050001）

胡雄心，博士生，講師，主要研究方向為磁軸承及控制方法。Email：huxx007@zjut.edu.cn

胥芳，博士，教授，主要研究方向為農(nóng)業(yè)機械及其控制。Email：Fangx@zjut.edu.cn

10.11975/j.issn.1002-6819.2020.09.007

TM315

A

1002-6819(2020)-09-0059-08