基于障礙Lyapunov 函數(shù)的多智能體系統(tǒng)誤差約束同步

吳慕蘭

(中國科學(xué)技術(shù)大學(xué) 自動化系，安徽 合肥230026)

0 引言

近年來，多智能體系統(tǒng)由于在編隊控制、無線傳感器、機器人協(xié)作裝備等領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用而受到越來越多的關(guān)注。 作為多智能體系統(tǒng)研究中的基礎(chǔ)問題，同步指所有智能體在某些變量例如位置或速度上達到一致的動態(tài)過程。目前存在的有關(guān)同步問題的工作主要分為兩類：一類是無領(lǐng)航者的同步問題[1]，一類是領(lǐng)航-追隨者同步問題[2]，并且其中大多數(shù)工作是關(guān)于線性系統(tǒng)的。但是在實際情況中系統(tǒng)不可避免地會出現(xiàn)各種非線性和不確定性項，因此未知非線性多智能體系統(tǒng)的同步已成為一個研究的熱點。

由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法[3-4]具有可以從樣本集學(xué)習(xí)復(fù)雜映射的能力，其可以在線學(xué)習(xí)對未知非線性動力學(xué)系統(tǒng)的識別。基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)固有的非線性逼近能力和內(nèi)在的自適應(yīng)學(xué)習(xí)特征，原始的控制問題常常可以轉(zhuǎn)化為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)控制問題[5-6]。 這類控制策略能保證系統(tǒng)的一致性誤差最終可以穩(wěn)定在一個較小的界內(nèi)，其大小取決于模型中的一些顯式參數(shù)和未知但有界的項，然而并沒有系統(tǒng)的方法去計算這些上界，因此無法去準確地評估最終的穩(wěn)定狀態(tài)性能。 同時，不確定性使得控制過程中誤差的收斂速度也難以準確地評估。 實際控制過程中，希望系統(tǒng)在各項參數(shù)設(shè)計好后滿足給定的穩(wěn)態(tài)性能和瞬態(tài)性能，即系統(tǒng)的誤差最終收斂到給定的較小的界內(nèi)， 同時收斂的速度不小于給定的值。KATSOUKIS T 等通過使用預(yù)設(shè)性能控制的方法來實現(xiàn)這一同步誤差約束[7]，其最終目標是使得每個智能體的同步誤差嚴格地在預(yù)設(shè)區(qū)域內(nèi)演化。 關(guān)鍵思想是通過轉(zhuǎn)換后的同步誤差將每個智能體的約束誤差放寬為不受約束的誤差，但是轉(zhuǎn)換后的誤差會增加需要處理的變量的數(shù)量且控制效果不穩(wěn)定。

本文采用障礙Lyapunov 函數(shù)方法[8]解決誤差約束問題從而避免引入轉(zhuǎn)換誤差，設(shè)計了新的分布式障礙Lyapunov 用以研究多智能體系統(tǒng)問題，實驗結(jié)果表明同步誤差能夠被嚴格限制在預(yù)設(shè)范圍內(nèi)演化。

1 預(yù)備知識

1.1 圖論

1.2 投影算子

投影運算常被用于自適應(yīng)控制中約束被估計的參數(shù)，下面給出一類投影算子的定義。

對于N 維實向量θ，y ∈RN，投影算子Proj 的定義如下：其中標量函數(shù)φ：RN→R 是一個連續(xù)的凸函數(shù)，φ′(θ)是φ(θ)關(guān)于θ 的偏導(dǎo)數(shù)。

定 義 凸 集 合Ω0?{θ ∈RN|φ(θ)≤0}以 及Ω1?{θ∈RN|φ(θ)≤1}。 由文獻[10]可知，在上文定義的投 影 算 子Proj(θ，y)和 初 始 值θ(t=0)=θ0∈Ω1下，θ永遠不會超出集合Ω1。 同時對于任意的θ*∈Ω0和任意的y∈RN，下面的不等式成立：

2 問題描述

給定一個由N 個追隨者和一個標記為0 的領(lǐng)航者組成的多智能體系統(tǒng)。 第i 個追隨者的動力學(xué)方程如下：

其 中，xi∈R 是 追 隨 者i 的 狀 態(tài)，ui∈R 表 示 施 加在追隨者i 上的控制輸入，δi∈R 是外界干擾因素，fi(xi)∈R 是滿足局部Lipschitz 條件的非線性函數(shù)。

領(lǐng)航者根據(jù)以下動力學(xué)方程演變：

其中x0∈R 是領(lǐng)航者的狀態(tài)。

本文的目的在于實現(xiàn)多智能體的同步，同時同步誤差限定在給定的范圍內(nèi)以滿足預(yù)期的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能。 為此，定義了鄰居同步誤差：

和與時間有關(guān)的性能函數(shù)：

其 中ρi0、ρi∞、mi是 根 據(jù) 初 始 條 件 和 期 望 性 能 選 擇 的合適參數(shù)，期待達到的誤差約束可以通過以下不等式說明：

即希望誤差ei的最大超調(diào)量不超過ρi0，最終收斂值小于ρi∞，收斂的速率不小于mi。

3 主要結(jié)果

3.1 人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

其中神經(jīng)元的個數(shù)為vi，Wi∈Rvi是一個未知的理想權(quán)重列向量，其定義如下：

其中Si(xi)∈Rvi是一組基函數(shù)向量，多種類型的基函數(shù)如sigmoid 函數(shù)、 高斯函數(shù)都可以使用在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中[5]。

真實的權(quán)重向量Wi值常常難以獲得，采用估計值代 替則有：

3.2 分布式障礙Lyapunov 函數(shù)

障礙Lyapunov 函數(shù)是自適應(yīng)控制系統(tǒng)中常用來限制變量的工具。 它是一類定義在包含原點的開區(qū)域上的標量函數(shù)，一旦變量趨向于給定的邊界，障礙Lyapunov 函數(shù)便會趨向于無窮大。 若能夠設(shè)計合理的控制器保證障礙Lyapunov 函數(shù)是有界的，那么變量就會永遠限制在給定的區(qū)域。 在介紹分布式障礙Lyapunov 函數(shù)之前，先給出一個相關(guān)的正定矩陣性質(zhì)[11]。

令(L+B)是一個非奇異M-矩陣。 定義向量

和矩陣

那么矩陣P 是正定的，同時定義矩陣Q 為

可以得到矩陣Q 也是正定的。

對于上文給定的鄰居同步誤差ei，接下來給出相應(yīng)的分布式障礙Lyapunov 函數(shù)φ(e)RN→R+的表達形式如下：

其中e 為鄰居同步誤差ei組成的列向量，即e=[e1，e2，…，eN]T，并且有：

φ(e)對時間t 求導(dǎo)可以得到：

其中矩陣

矩陣對角元素

矩陣

矩陣對角元素

3.3 基于DBLF 的自適應(yīng)控制律設(shè)計

基于前面提出的分布式障礙Lyapunov 函數(shù)，接下來給出第i 個追隨者的控制律如下：

其中控制增益c＞0。 基于定理1 的穩(wěn)定性分析，局部神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)重更新律如下：

其中di、bi和pi定義分別如上文矩陣D、B 和P 所示，矩 陣Ri=ΠiIvi∈Rvi×vi，待 設(shè) 計 的 參 數(shù)Πi＞0。 1.2小節(jié)投影算子Proj 定義中的θ 對應(yīng)這里的W?，y 對應(yīng) 這 里 的RiSi(xi)eiφdi(ei)pi(di+bi)。

式(19)對時間t 求導(dǎo)可以得到：

將式(16)代入式(20)得到：

在給出定理1 之前，對系統(tǒng)有如下假設(shè)：

(2)各個多智能體干擾量組成的列向量δ 有界，即||δ||≤δM。

(3)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)基函數(shù)向量滿足||S(x)||≤SM，權(quán)重估計值矩陣滿足||W||F≤WM， 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)近似誤差滿足||ε||≤εM。

定理1：考慮由式(3)、式(4)定義的多智能體系統(tǒng)，其通信拓撲包含一棵以領(lǐng)航者為根節(jié)點的有向生成樹。已知|ei(0)|＜ρi0，i=1，2，…，N，ρi(t)是如前文所提到的性能函數(shù)(6)，并且有：

證 明： 考 慮 一 個 在 集 合Dρ×∈RviN上 定 義 的Lyapunov 函 數(shù)V：Dρ×∈RviN→R+如 下：

其 中，Dρ?{e|e=[e1，e2，…，ei]，ei∈(-ρi(t)，ρi(t))}，φ(e)是分布式障礙Lyapunov 函數(shù)(11)，W～i是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)重估計誤差向量，Ri是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)重更新律(15)中的對角矩陣。 利用Frobenius 范數(shù)，式(25)可以寫成：

其中R=diag{R1，R2，…，RN}。 式(26)關(guān)于時間t 的導(dǎo)數(shù)為：·

將式(21)代入式(25)得到：

應(yīng)用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)重更新規(guī)則(15)以及相關(guān)性質(zhì)(2)，可以得到：

因此由式(28)得到：

令α+β=1，0＜α＜1，那么不等式(29)可以寫成：

利用式(13)，式(31)中的γcΦd(e)+Yd(e)可以寫成對角陣的形式：

其中對角元素：

由ρi(t)≥(ρi0-ρi∞)exp(-γct)可 以 得 知，

這確保了

那 么 立 即 能 夠 得 到γc φdi(ei)+Ydi(ei)＞0，i=1，2，…，N。 因此γcΦd(e)+Yd(e)＞0，不等式(31)可以放縮為：

其中

因此，V˙≤0 的充分條件為：

利 用 初 始 條 件|ei(0)|＜ρi0，|ei(t)|＜ρi(t)?t ≥0 可以由文獻[8]中引理1 得到。證畢。

4 仿真研究

為了驗證所提出的的分布式自適應(yīng)控制律的有效性，本文考慮圖1 所示的通信拓撲，其包含5個跟隨者和一個領(lǐng)航者，通信拓撲包含一棵以領(lǐng)航節(jié)點為根節(jié)點的有向生成樹，邊的權(quán)重都設(shè)為1。

圖1 多智能體系統(tǒng)的通信拓撲

首先，考慮文獻[4]中提出的分布式自適應(yīng)控制律：

其神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)重更新律為：

其中，參數(shù)Fi=1 500，c=225，κ=0.01，此外第i 個節(jié)點的神經(jīng)元的個數(shù)選擇為vi=3。 系統(tǒng)狀態(tài)和局部鄰域同步誤差如圖2、圖3 所示。

圖2 采用控制律(23)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)重更新律(24)時的狀態(tài)值

圖3 采用控制律(14)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)重更新律(15)時的狀態(tài)值

接下來，采用本文提出的基于DBLF 的自適應(yīng)控制 律。 參數(shù)Πi=150，c=225，DBLF 的參數(shù)為ρi0=2.1，ρi∞=0.005 和mi=30，即：

ρi(t)=(2.1-0.005)×exp(-30t)+0.005，i=1，2，…，5

使用本文的自適應(yīng)控制律的系統(tǒng)狀態(tài)和局部鄰居同步誤差如圖4 和圖5 所示。

圖4 采用控制律(23)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)重更新律(24)時的誤差值

5 結(jié)論

圖5 采用控制律(14)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)重更新律(15)時的狀態(tài)值

本文研究了領(lǐng)航-追隨者多智能體的同步誤差限制問題，其中智能體動力學(xué)具有未知的非線性和不確定的干擾。 為了實現(xiàn)同步誤差約束，本文開發(fā)了一種新穎的分布式障礙Lyapunov 函數(shù)，然后提出了基于分布式障礙Lyapunov 函數(shù)的神經(jīng)自適應(yīng)控制律。 最后用仿真實例證明了所提出協(xié)議的有效性。