土體不排水抗剪強度非平穩性對深基礎極限承載力影響的可靠度分析

周旭輝，李 睿，吳勇信*

(1.河海大學 土木與交通學院，江蘇 南京 210024；2.中國電建集團 華東勘測設計研究院有限公司，浙江 杭州 311122)

淺基礎的地基承載力是一個典型的工程問題。目前國內外已經有諸多學者對淺基礎的地基承載力進行了研究[1-3]。然而，深基礎在巖土工程尤其是近海工程中也有著廣泛的應用，特別是在軟粘土海床土壤中，離岸的基礎可能會深深嵌入土壤中[4]。現實情況中，由于不同埋深處的土體往往會經歷不同的地質、環境和物理化學作用，因此土體參數呈現出一定的空間變異性。目前，諸多學者已將土體參數的空間變異性引入到邊坡[5]、隧道[6]等工程中。此外，土體的沉積也會導致土體參數在豎直方向呈現出沿深度變化的趨勢，通常將這種土體參數在深度方向的非穩定性趨勢稱為非平穩性。有大量實測數據表明土體的不排水抗剪強度參數有隨深度線性增加的趨勢[7-9]。因此，非平穩隨機場模型與實際情況更為接近。關于深基礎的地基承載力，大部分已有的研究主要是基于土體強度參數隨深度線性增加的均質土體地基[10]或平穩隨機場模型[11]展開的。祁小輝等[1]曾指出土體不排水抗剪強度的平穩隨機場會使對淺基礎地基失效概率的估計產生偏差。針對基于非平穩隨機場的深基礎地基承載力的研究較少見報道。

本文探討了不排水抗剪強度參數的非平穩性對深基礎地基承載力的影響。因此，本文在考慮了不排水剪切強度空間變異性的基礎上，建立了不排水抗剪強度均值和標準差隨深度線性增加的非平穩隨機場模型，并與非線性有限元分析結合，探討了基于非平穩隨機場的深基礎地基承載力的統計規律。本研究選用的土體參數隨機場與實際情況更接近，可準確反映深基礎地基承載力。

1 非平穩隨機場的模擬方法

本文所涉及的非平穩隨機場是不排水抗剪強度均值和標準差隨深度線性增加的非平穩隨機場，由圖1可知非平穩隨機場的不排水抗剪強度參數的空間分布規律，可以通過以下步驟生成均值和標準差隨深度線性增加的非平穩隨機場的不排水抗剪強度參數。

圖1 均值隨深度線性增加的非平穩隨機場Fig.1 Non-stationary random field with linearly increasing mean strength

第一步：本研究采用譜表現法[12]展開離散不排水抗剪強度均值μs=10.0 kPa，標準差為σs=3.0 kPa，波動范圍θh=50.7 m，θv=3.8 m，符合Lognormal分布的初始平穩隨機場。將初始不排水抗剪強度參數s0i賦予到每一個模型單元，i=1，2，…，n，表示第i個單元。

第二步：根據單元埋深z，用公式(3) (可由公式(1)和(2)推導得到) 的調整系數對每個單元的不排水抗剪強度參數進行調整，得到均值和標準差隨深度線性增加的非平穩隨機場的不排水抗剪強度szi：

(1)

(2)

(3)

圖2 su非平穩隨機場的一次實現(單位：kPa)Fig.2 A typical realization of non-stationary random field of undrained shear strength

其中，μsuz表示模型底部的不排水抗剪強度均值，μsu0表示地表不排水剪強度均值，z表示單元中心點的埋置深度，H表示模型的高度，M表示衡量非平穩程度的無量綱量，由式(1)定義。

圖2表示的是一次非平穩隨機場的實現得到的不排水抗剪強度空間分布云圖，圖中顏色淺的部分表示低強度區域，顏色深的部分表示高強度區域。由圖2可以看出不排水抗剪強度有明顯的隨深度線性增加的規律。

2 隨機場的有限元模型

2.1 確定性分析

本文利用非線性有限元軟件ABAQUS 6.12對二維平面應變條件下的地基承載力進行分析。本文選用了Li 等[13]文獻中的算例，考慮埋深D位于地表下2B的不排水黏土中的剛性基礎 (寬B，高h)，如圖3所示。基礎寬B=20 m，高h=4 m，基礎埋深D=2B，基礎為理想剛性體。土體和基礎的接觸面為完全約束的接觸類型，這符合基礎在不排水黏土中的力學行為。模型邊界條件為左右兩端固定x方向位移，底部固定所有方向位移，在基礎底部節點上施加豎直向下的位移直至土體承載力穩定在破壞值(該位移值約為基礎寬度的6%)。

如圖3所示，土體模型寬6.4B，高6B，在本研究中，網格單元水平方向尺寸為2.0 m，豎直方向尺寸為0.5 m，這樣既保證了計算精度，也避免了網格劃分過多使計算量過大的問題。在條形基礎附近3B×2B范圍內，網格被進一步劃分為大小為0.5 m×0.5 m的單元。

圖3 深基礎模型及其邊界條件Fig.3 Model and boundary conditions of a buried footing

選取一組參數進行確定性分析，該組參數為Li 等[13]文獻中基礎埋深為2B時不排水抗剪強度參數為常量的情況，即su=μs=10.0 kPa。粘土彈性模量E與不排水剪切強度su的關系始終滿足E/su=500，即E=5 MPa，泊松比υ=0.49，服從摩爾-庫倫屈服準則。

提取基礎底部的承載力，對其進行無量綱化處理，得到無量綱地基承載力Nc，可表示為：

(4)

其中，RFi為條形基礎的地基承載力。利用該組數據得到的地基極限承載力為2 154.36 kN，即Nc=10.77。這與Li等[13]的結果Nc=10.74十分接近。這驗證了本文計算地基承載力的模型的正確性。

此外，還選取了三組非平穩參數進行確定性分析，分別為M=1.0，M=2.0，M=3.0時不排水抗剪強度參數隨深度逐漸增加的三種情況，即相同埋深處的所有單元的su相等，且su隨深度逐漸增加，這三種情況的確定性分析得出的地基極限承載力分別為2 900.17、3 632.12、4 358.91 kN。

2.2 不確定性分析

本文利用蒙特卡洛模擬研究考慮參數在豎直方向的非平穩性時深基礎地基承載力均值、標準差和地基失效概率的變化規律。由第1節可知，土體參數的均值和標準差隨深度不變的平穩隨機場目前應用較多，而土體參數的非平穩性對土體的力學行為有較大的影響，因此有必要對土體參數非平穩性對地基承載力的影響進行研究。

首先考慮不排水抗剪強度均值和標準差隨深度變化的非平穩隨機場，分別取M=1.0，2.0，3.0三種非平穩隨機場情況。對于非平穩隨機場的情況，為了比較不排水抗剪強度的非平穩程度對地基承載力的影響，地表的不排水強度均值μsu0均為10 kPa，不排水抗剪強度的均值隨深度的變化符合圖1中的斜直線，即分別隨深度線性增加至20、30、40 kPa，su的變異系數始終為COV=σs/μs=0.3。同時，為了便于和su不隨深度變化的情況作對比，考慮了μs隨深度保持不變，即M=0的平穩隨機場情況。此外，為了便于和su隨深度變化的工況作對比，還考慮su均值和標準差與非平穩隨機場相同的平穩隨機場，該平穩隨機場的μs和σs分別取為非平穩隨機場模型中部的su均值和標準差，即M=1.0，2.0，3.0的非平穩隨機場分別對應μs=15.0 kPa，μs=20.0 kPa和μs=25.0 kPa的平穩隨機場。

3 計算結果與分析

3.1 深基礎在隨機地基中的破壞機制

在本文中，對有限元計算分析提取的基底承載力進行處理后得到無量綱地基承載力Nc，即：

(5)

RFi為第i次模擬的地基承載力，B為基礎寬度，B=20 m，su,z=0 m為地基表面z=0 m處的不排水剪切強度，M=0.0，1.0，2.0，3.0四種隨機場的su,z=0 m均值為10 kPa。

在接下來的分析中，1 000次蒙特卡洛模擬的非平穩隨機場的計算結果將與1 000次蒙特卡洛模擬的平穩隨機場的計算結果進行對比，以比較不同平穩程度的不排水抗剪強度對土體地基承載力的計算結果的影響程度。

圖4給出了1 000次蒙塔卡羅模擬中考慮不排水抗剪強度均值和標準差隨深度變化的三次典型實現 (M=1.0，2.0，3.0) ，以及不排水抗剪強度均值和標準差隨深度不變時的一次典型實現 (M=0.0)，圖中淺色區域表示不排水抗剪強度較低的區域，深色表示不排水抗剪強度較高的區域。可以看出，每一次蒙特卡羅模擬實現的非平穩隨機場模擬效果都呈現出不排水抗剪強度隨深度增加的效果，且對比M=0.0，1.0，2.0，3.0的不排水抗剪強度云圖發現，不排水抗剪強度隨深度增加的趨勢愈加明顯。表明本文隨機場模擬方法有效。

從M=0.0，1.0，2.0和3.0的1 000組計算工況中各選取一組具有代表性的工況，最大剪應變云圖如圖5所示。由圖5可知，相比于M=0.0的地基剪切面，M=3.0時基礎底部延伸出的土體剪切面數量更少，分布位置在更淺層的區域。結合這兩個工況的不排水抗剪強度云圖來看，當M=0.0時，剪切破壞面最深發展至破壞面Ⅰ和破壞面Ⅱ處，但當M=3.0時，破壞面Ⅰ和Ⅱ對應位置處的地基中分布著不排水抗剪強度更高的土體，限制破壞面發展至這些高不排水強度區域，導致在非平穩隨機場(M=3.0)地基中并未形成破壞面Ⅰ和破壞面Ⅱ。因此，非平穩隨機場的深基礎破壞面比平穩隨機場破壞面分布在更淺層的土體區域的原因是非平穩隨機場底部的高不排水強度土體限制了破壞面延伸至埋深的土體中。諸多學者的研究都佐證了這一規律的合理性[13-14]。

圖4 不同非平穩程度的su隨機場的四次實現(單位：kPa)Fig.4 Four typical realizations of different degrees of non-stationary random fields of undrained shear strength

圖5 不同非平穩程度的su隨機場的剪切面分布Fig.5 Different shear planes for different degrees of non-stationary random field of undrained shear strength

3.2 不同非平穩程度隨機場的深基礎地基承載力

基于蒙特卡洛模擬可由公式(4)計算得到每個工況的深基礎地基承載力，圖6所示為考慮su隨深度線性增加時，不確定性分析的地基承載力均值和標準差和其對應的確定性分析的地基承載力隨非平穩程度變化的情況。表1列出了圖6中各不確定性分析及其對應的確定性工況的無量綱承載力。由表1可知，無論不排水剪切強度的均值和標準差隨深度變化的程度如何，不確定性分析的結果都小于確定性分析的結果。由圖6可知，地基承載力隨不排水剪切強度非平穩程度的增加而線性增加，且不確定性分析中承載力隨su非平穩程度增加的幅度小于確定性分析中的承載力增加幅度。這是因為對于不確定性分析中的隨機場而言，su具有空間變異性且其空間分布具有隨機性，使在相同埋深處的地基中不確定性分析的土體比確定性分析(相同埋深處的su為確定值)多存在強度更低的軟弱區域，從而有利于產生貫通破壞面，因此隨機非均質場地的承載力小于確定性分析場地的承載力，且隨機非均質場地地基承載力隨su非平穩程度增加幅度小于確定性均質場地。

圖6 非平穩地基的確定性分析和不確定性分析的地基承載力隨非平穩程度變化趨勢Fig.6 Variation of the bearing capacity of deterministic analysis and undeterministic analysis with degree of non-stationary

表1 不確定性分析的非平穩地基的地基承載力均值Nc mean和其對應的確定性分析的地基承載力NcTab.1 The mean bearing capacity Nc mean of undeterministic analysis and the corresponding deterministic bearing capacity Nc for non-stationary field

圖7所示為考慮su均值和標準差隨深度線性增加時，地基承載力的均值和標準差隨非平穩程度變化的情況。由圖7看出，基礎埋深為2B時,地基承載力均值和標準差都隨著M值的增加而線性增加。以圖5中四種工況為例，M=0.0，1.0，2.0和3.0的地基承載力隨su非平穩程度的提高而增加，分別為Nc=9.70，13.12，16.48，29.80，但是M=1.0，2.0和3.0的破壞面分布卻十分接近。這是因為，一旦su呈現出非平穩性，底部高強度土體的限制使破壞面就很難再向下發展，使非平穩地基的破壞面近似。因此，破壞面形態不再成為決定承載力大小的因素，而破壞面經過處的土體不排水剪切強度大小成為影響承載力大小的主要因素。隨著非平穩程度的增加，破壞面經過的地方su越大，使地基承載力越大。

圖8給出了不同非平穩程度的地基承載力概率密度函數曲線 (PDF)，這四條曲線是通過對地基承載力數據進行對數正態分布擬合得到的。通過χ2檢驗證明了承載力服從對數正態分布，因此對數正態分布能較好地表示承載力的分布特征。由圖9可知，當不排水抗剪強度的非平穩程度較高時，PDF 曲線更寬，地基承載力分布范圍更大，即變異性更大，且地基承載力也更大。圖8的結果與圖6和表1呼應，印證了上文的結論。

為了研究地基承載力隨M值增加的趨勢與基礎埋深的關系，此外還研究了4B埋深基礎在M=0.0，1.0，2.0，3.0情況下的地基承載力，得到計算結果如圖7。由圖7可知，同樣的，對于4B埋深基礎而言，地基承載力均值和標準差都隨著M值的增加而線性增加，但是標準差和均值的增加幅度都比2B時大。這是因為4B埋深處的su大小比2B埋深處的su對非平穩程度的增加更加敏感，即非平穩程度增加ΔM，4B埋深處的su均值增大量Δμsu比2B埋深處的Δμsu更大，由于COV隨深度的不變性，標準差的增大量Δσsu也遵循此規律，這就使得4B埋深基礎的承載力均值增大量Δμqu及差異性增大量Δσqu更大。因此，4B埋深基礎的地基承載力均值和標準差隨非平穩程度增加的趨勢均大于2B埋深基礎。由圖7得出以下結論：(1) 地基承載力隨著土體不排水抗剪強度的非平穩程度的提高而增加，且基礎埋深越大，增長趨勢越明顯，即對于埋深較深的基礎，將不排水抗剪強度的非平穩性提高相同的強度，它帶來的承載力的提升效果優于埋深更淺基礎的；(2) 地基承載力的差異性隨著土體不排水抗剪強度的非平穩程度的提高而增加，且基礎埋深越大，增長趨勢越明顯。

圖7 考慮非平穩隨機場的2B和4B埋深基礎的地基承載力均值和標準差隨非平穩程度的變化趨勢Fig.7 Variation of mean and standard of bearing capacity for footings buried at 2B and 4Bdepth with degree of non-stationary as considering non-stationary random field field

圖8 不同非平穩程度的隨機場的地基承載力概率密度函數曲線Fig.8 Probability distribution function curve of bearing capacity for different degrees of non-stationary random fields

3.3 不同非平穩程度隨機場的地基失效概率

土體地基的破壞可以通過極限承載力或地基沉降進行判別[15]，本文是通過地基承載力進行判別的。根據Griffith等[16]的研究可知，隨機場土體地基的破壞可以看作是地基承載力小于對應的確定性分析的地基承載力，即qu/qu,det<1。然而，將地基承載力小于確定性分析的地基承載力作為破壞標準過于嚴苛。事實上，通常通過引入安全系數FS，將隨機場地基承載力小于qu,det/FS作為破壞標準。對于服從對數正態分布的地基承載力而言，地基失效概率，即地基承載力小于qu,det/FS的概率的計算公式為：

(6)

式中，Φ是正態累積分布函數，λqu和ξqu分別為地基承載力取對數后的均值和標準差，qu,det是確定性分析的地基承載力，M=0.0，1.0，2.0和3.0對應的確定性分析的地基承載力qu,det分別為107.72、145.01、181.61、217.95 kPa。

圖9給出了su均值和標準差隨深度線性增加時，地基極限承載力累計概率分布函數曲線 (CDF)，由圖10及式 (5) 可知不同的安全系數對應的地基失效概率。當FS=1.1時，M=0.0，M=1.0，M=2.0，M=3.0對應的失效概率分別為37.5%，39.4%，40.9%和41.7%；當安全系數增加至1.2時，對應失效概率分別降低至8.1%，9.9%，11.1%和11.9%。而當FS=0.9時，M=0.0，1.0，2.0，3.0對應的失效概率分別為98.5%，98.3%，98.1%和97.9%。可以看出，考慮不排水剪切強度均值和標準差隨深度線性增加時，在相同的安全系數水平下(FS>1)，地基失效概率隨著su非平穩程度的增加而逐漸增加，說明非平穩程度對地基失效概率有明顯的影響。傳統的地基穩定設計要求失效概率控制在10-2～10-3范圍內，當考慮不排水抗剪強度均值和標準差隨深度線性增加時，即使對于M=3.0這種非平穩程度較高的地基而言，不需要較高的安全系數即可達到地基承載力可靠度要求。如當M=3.0時，安全系數為1.4時對應的地基失效概率就可達到1.8×10-3，符合地基穩定的失效概率控制目標。

為比較不排水抗剪強度隨深度線性增加的隨機場模型與傳統的不排水抗剪強度平穩隨機場模型，將平穩隨機場的不排水強度均值分別取M=1.0，2.0，3.0非平穩隨機場模型中部的不排水抗剪強度，即μs=15.0 kPa，μs=20.0 kPa和μs=25.0 kPa，蒙特卡羅模擬次數均為1 000次，其他參數取值與不排水抗剪強度非平穩隨機場相同。通過對比計算結果發現，傳統平穩隨機場的地基失效概率p(qu1)，各非平穩隨機場的失效概率均大于它們對應的平穩隨機場的失效概率，且su非平穩程度越高，失效概率相差越大。如當FS=1.1時，M=0.0，1.0，2.0和3.0的地基失效概率分別為37.5%，39.4%，40.9%和41.7%，各平穩隨機場失效概率與M=0.0時的失效概率相同，均等于37.5%。這表明，深基礎地基穩定性設計中使用傳統的平穩隨機場模型得到的經濟效果和穩定性效果與實際情況有偏差。因此，若不考慮不排水抗剪強度均值和標準差隨深度線性增加，僅用傳統的平穩隨機場進行地基承載力計算，會低估地基的失效概率，且這種誤差隨著非平穩程度的增加而增加。為此，在地基勘探工作中應重視不排水抗剪強度的空間分布特性，在基礎設計中不應僅僅將分析范圍內的地基土的不排水強度平均化后再用傳統的平穩隨機場模型計算，這將高估地基的可靠度。

圖9 su均值和標準差隨深度線性增加時地基極限承載力累計概率分布函數曲線Fig.9 Cumulative probability of bearing capacity as mean value and standard deviation of su linearly increase with depth

圖10 各個安全系數對應的地基失效概率隨su非平穩程度的變化趨勢Fig.10 Variation of the failure probability at different factors of safety with the degree of non-stationary of undrained shear strength

4 結論

1) 土體不排水抗剪強度參數的非平穩性對地基承載力有明顯影響，地基承載力隨非平穩程度的提高而線性增加，且地基承載力的差異性也隨非平穩程度的提高而增加。

2) 不排水抗剪強度參數的非平穩程度提高地基承載力的效果受基礎埋深影響，基礎埋深越大，地基承載力隨非平穩程度增大而增大的幅度越大，即較強的非平穩性帶來的深基礎地基承載力提升效果遠大于淺基礎。

3) 非平穩程度對地基失效概率有影響，在相同的安全系數水平下 (FS>1)，深基礎的地基失效概率隨著非平穩程度的提高而逐漸增大，但是都不需要較高的安全系數即可使失效概率控制在目標范圍內。

4) 對于深基礎而言，各非平穩隨機場的地基失效概率均大于它們對應的平穩隨機場的地基失效概率 (FS>1)，即平穩隨機場模型會低估具有非平穩性的地基土的失效概率，且非平穩程度越大，估計誤差也越大。