經歷建模過程感悟模型思想

鄭圣發

基于小學生的認知規律和《義務教育數學課程標準（2011年版）》的要求，小學的數學建模活動應從實際生活原型或現實背景出發，引導學生抽象出數學問題，經歷觀察、操作、比較、分析、概括等思維活動，嘗試用代數式、關系式等數學語言和數學符號表征數學模型，再運用數學模型解釋和解決相應的實際問題，初步形成模型思想，幫助學生體會和理解數學與外部世界的聯系，提高他們學習數學的興趣和應用意識。

一、激活生活經驗，整體感知數學模型

教學要選取學生熟悉的生活素材，創設具有現實背景的數學情境，激活學生已有的生活經驗和活動經驗，引導學生抽象形成數學問題，多維度驅動數學思考，促進學生整體感知數學模型，為后續數學建模搭建拾級而上的階梯。如在教學“植樹問題”這節課時，有如下片斷——

師：知道這節課我們要研究什么嗎？

生：植樹問題。

師：看到這個課題你想到了什么？植樹問題是不是植樹的問題？認為植樹問題就是植樹的問題的請舉手，認為植樹問題不是植樹的問題的請舉手，還有兩次都沒舉手的同學，是不是不太確定？

師：到底植樹問題是不是植樹的問題呢？隨著我們的探究，相信同學們會有更全面、更深刻的認識。

開門見山，直奔主題的教學導入，看似簡單實則富有辯證意味的“植樹問題是不是植樹的問題”的問題，引發了學生的思辨活動。不僅把學生的注意力快速聚焦到了學習活動中，還營造了輕松愉悅的課堂氛圍，讓學生自由表達對“植樹問題”的理解，培養了學生的思辨能力。

師：學校為了美化校園，向全校師生發出了一個方案征集啟事，我們來看一看。

方案征集啟事

學校為了美化校園，決定對校園東側進一步綠化，誠邀同學們設計植樹方案（要求附后），擇優采用。

××學校后勤處

××年×月×日

要求：請在校園東側全長300米的小路一邊，每隔5米種一棵柳樹，設計一份植樹方案。

師：從這份要求上，你能獲得哪些數學信息？

生：小路的全長300米，在路的一邊植樹，每隔5米種一棵。

師：每隔5米種一棵什么意思呢？請用你喜歡的方法說明你的理解。

師：你準備如何設計植樹的方案呢？先獨立思考，想一想、畫一畫，再跟你小組的同學議一議，看看能否設計出不同的方案。

師：請小組派出代表展示設計方案。

方案1：兩端都種 ;方案2：頭種尾不種;

方案3：尾種頭不種;方案4：兩端都不種。

師：比較上面的四個方案，你還有什么補充的？

生：頭種尾不種和尾種頭不種，可以看作只種一端。

基于現實背景的方案征集活動，喚醒了學生的生活經驗，讓學生直面數學挑戰，思考方案中可能有幾種情形，每種情形如何表征，這些情形可以分為幾種不同類型等。有的學生想到一種，有的想到兩種或更多，在小組討論和集體評議中形成了兩端都種、只種一端、兩端都不種三種不同情形的共識。讓學生自主根據問題可能的類型分門別類地思考并解決了問題，從整體入手，結構化感知植樹問題的數學模型，為后續數學建模夯實基礎。

二、聚焦 “種子” 模型，數形結合初建模型

如果把棵數看作點的個數，間隔數看作線段的條數，植樹問題的三種不同情形，本質上都可以抽象成“點與段”的對應關系：只種一端時，點與段一一對應;兩端都種時點比段多1;兩端都不種時點比段少1。一一對應思想學生在之前的學習中已有多次的感悟，只種一端的情形，點與段正好一一對應，無疑為“種子”模型，抓住主干，著力構建。如在教學“植樹問題”這節課時，有如下片斷——

師：這三種方案分別要準備多少棵樹苗呢？我們先重點研究只種一端的情形。

師：全長300米的小路一邊，按照每隔5米種一棵柳樹，只種一端，一共要多少棵樹苗？大膽地猜一猜。

生：60棵，61棵，62棵，59棵。

師：有不同的猜測，說明有不同的理解，那么到底是多少棵呢？可以用什么方法來驗證？

生：畫圖，我們用一條線段表示300米的小路，每隔5米栽一棵，每隔5米栽一棵，照這樣一棵一棵栽下去，很麻煩。

師：那怎么辦呢？

生：從300米中選擇一小段來研究，看看有沒有規律。

師：是的，從簡單情形入手尋找規律來解決問題，就把一個復雜的問題變得簡單了。請自由選擇一小段進行研究吧。

師：觀察比較我們研究出的結果，你有什么發現？

生：雖然小路的長度不一樣，種樹的棵數也不相同，但是每次種數的棵樹和間隔數相同。

師：通過這些數據能確定得出的結論是正確的嗎？是不是要舉出更多的例子？你能解釋為什么棵數剛好等于間隔數嗎？

生：不用舉更多的例子也能說明只種一端時棵數和間隔數肯定相等。請看這個圖，一棵樹一個間隔，一棵樹一個間隔，如此下去，剛好一一對應，最后還是一棵樹一個間隔，所以只種一端時，棵數和間隔數是相等的。

師：一棵樹對應一個間隔，像這樣數的方法在數學上叫作一一對應。你們能用“一一對應”的方法向你的同桌說一說嗎？

師：我們用一一對應的方法數出30米的小路一共栽了6棵樹。你能用算式把想法表示出來嗎？

生：30÷5=6（棵），30米長的小路，每5米種一棵，一共有6個間隔，只種一端，一個間隔對應一棵樹，6個間隔就是種6棵樹。

師：結合線段圖想一想，在只種一端的情況下，棵數與間隔數之間有什么關系？

生：在只種一端的情況下，棵數等于間隔數。

以“只種一端”作為切入點，避免了“棵數”與“間隔數”不一致的干擾，學生的思維自然聚焦到“點與段”之間的對應關系上，這樣就順應了學生已有的思維經驗，使他們借助數形結合建立起了“棵數=間隔數”的數學模型。

三、應用數學推理，類推完善數學模型

數學思維的本質是推理，推理應貫徹于教學的始終。可以利用“種子”模型的生長力，類推出另外兩個模型，以完善數學模型的構建，培養學生舉一反三、觸類旁通的能力。如在教學“植樹問題”這節課時，有如下片斷——

師：通過前面的研究，我們知道了只栽一端時棵數和間隔數之間的關系可以用關系式“棵數=間隔數”表示。想一想，另外的兩種情況，棵數和間隔數之間有什么關系呢？

生：兩端都種，棵數=間隔數+1;兩端都不種，棵數=間隔數-1。

師：能說說你是怎么想的嗎？

生：兩端都種時，一棵樹對應一個間隔，如此下去，最后一棵樹沒有間隔可以對應了，這樣就多了一棵樹。所以兩端都種，棵樹=間隔數+1。

生：兩端都不種時，一個間隔對應一棵樹，如此下去，最后一個間隔沒有樹可以對應了，這樣就多了一個間隔。所以兩端都不種，棵數=間隔數-1。

以只種一端“棵數=間隔數”為“種子”模型，引導學生類推構建兩端都種，棵數比間隔數多1，兩端都不種，棵數比間隔數少1，自然地生長出了“棵數=間隔數+1”和“棵數=間隔數-1”兩種模型。這樣就從整體架構入手，打破了教材分散安排的三種模型逐一學習的形式，以結構化的思想建構了植樹模型，有利于學生更深刻地理解植樹問題的本質。

四、回歸實際生活，解釋應用數學模型

建立數學模型不是最終目的，學會解釋、應用模型才是真正目的。因此，教學中要重視設計與相應模型同構的問題情境，讓學生嘗試應用模型分析和解決實際生活問題，以促進同一類數學問題之間的模型融通。如在教學“植樹問題”這節課時，我先出示了兩道例題：

1.學校兩座教學樓之間的距離是40米，如果每隔5米種一棵樹，一共要種多少棵樹？

2.馬拉松比賽全程約42千米，平均每3千米設置一處飲水點（起點不設，終點設）。全程一共有多少處這樣的服務點？

接下來的教學中，有如下片段——

師：第2題還是植樹的問題嗎？怎么解決？

生：可以看作植樹問題，用兩端都不種的植樹問題關系式就能解答。

師：請問你眼中的樹是指什么？

生：飲水點可以看作樹，兩個飲水點之間是一個間隔。

師：今天學的是“植樹問題”，做完這道題，你有什么發現？

生：我感覺植樹問題不一定只和植樹有關。

師：看來，植樹問題并不只是植樹的問題，生活中還有很多問題和植樹問題相似，請大家找找下面圖片中的 “樹”分別在哪里？

（課件逐一呈現：盧溝橋的獅子，地鐵運營停靠路線圖，男生襯衣的紐扣，一條打了結的繩子。）

生：橋上的獅子可以看作“樹”;地鐵站可以看作“樹”;襯衣的紐扣可以看作“樹”;繩子上的結可以看作“樹”。

師：你們都有一雙慧眼，現在請聽播放鬧鐘敲鐘的聲音，你還能找到“樹”嗎？

生：每一個鐘聲都可以看作“樹”。

然后，我又出示了第三道例題：

3.植樹節到了，學校計劃組織五年級4個班的同學參加植樹活動，每個班分到50棵樹苗，買樹苗共用了5000元，請問每棵樹苗多少元？

師：做完這道題，你又有什么發現？

生：這道題其實不是今天學的植樹問題，雖然跟植樹有關，但數量關系不同。

師：看來有關植樹的問題不一定就是植樹問題。

通過設置富有啟發性的數學問題，檢驗學生對植樹問題數學模型的理解和感悟。第1題是植樹模型在實際生活中的直接應用，起到了鞏固新知的作用;第2題雖然沒有講植樹，但與植樹問題有著內在的聯系，可以抽象成點與段之間的一一對應關系，建立“點與段”的數學模型，培養學生的變通能力。通過生動的畫面重現，從真實的樹到虛擬的樹，從看得見的樹到看不見的樹，把植樹問題拓展到相應的一類問題，讓學生深刻領會“植樹問題不只是植樹的問題”，培養了學生透過現象揭示本質的洞察能力，使他們體會到了模型思想的應用價值。第3題，意在讓學生體會“并非有關植樹的問題都是植樹問題”，注重引導學生感悟并判斷：數學問題的模型，不是看內容情境，而是看數量關系的本質。

課題項目：本文系福建省教育科學“十三五”規劃2019年立項課題“核心素養背景下小學教學結構化學習的研究”相關成果。課題號FJJKGG19-080。

（責任編輯：楊強）