數(shù)學(xué)與GeoGebra的美麗邂逅

范玉香

隨著科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展和5G（第五代移動通信技術(shù)）時代的來臨，科技和互聯(lián)網(wǎng)已經(jīng)改變了我們的生活和學(xué)習(xí)方式。一支筆、一塊黑板、一個PPT已經(jīng)不能滿足現(xiàn)代學(xué)生對知識渴望的要求。在與時俱進(jìn)的時代，根據(jù)數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)，我們不但要提升學(xué)生的綜合素質(zhì)，發(fā)展核心素養(yǎng)，還要注重培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)文化素養(yǎng)和終身學(xué)習(xí)的能力。同時，新課程標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)學(xué)學(xué)科提出了六大核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)分析。怎樣落實(shí)培養(yǎng)目標(biāo)、怎樣在數(shù)學(xué)課堂上培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)的研究方向。

在過去的數(shù)學(xué)課堂上，許多重要的數(shù)學(xué)概念教學(xué)不曾被一些老師重視，對概念、定理的教學(xué)是采用“直接告訴法”，為了追求分?jǐn)?shù)，一些老師把更多的時間和精力放在題海中，殊不知，沒有理解概念基礎(chǔ)上的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，在高考中也是難以取勝的，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)是難以形成的。一些老師對概念教學(xué)的忽視，還有另外一個原因，那就是數(shù)學(xué)概念教學(xué)很難開展，高度抽象的數(shù)學(xué)概念像立在老師和學(xué)生面前的一座大山，想跨越過去，不是那么容易。現(xiàn)在，想要翻越這座“大山”，現(xiàn)代教育技術(shù)可以為老師和學(xué)生實(shí)現(xiàn)這個“夢想”。本文以電腦版GeoGebra Classic 5.0軟件為例，探索動態(tài)教學(xué)在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的應(yīng)用。

一、GeoGebra簡介

GeoGebra是2001年由Markus Hohenwarter在薩爾茨堡大學(xué)做碩士論文時開創(chuàng)的軟件。GeoGebra是一款開源（Open-source）、免費(fèi)的數(shù)學(xué)軟件，它具有功能多、易上手、好用、省錢省時省力等特點(diǎn);它有電腦版、手機(jī)版和網(wǎng)頁版，滿足了各種需求。幾何是Geometry，代數(shù)是Algebra，GeoGebra剛好是兩者的組合，實(shí)際上，GeoGebra不僅是一款結(jié)合了幾何和代數(shù)的數(shù)學(xué)軟件，還是一款結(jié)合了微積分、數(shù)據(jù)表、圖形，統(tǒng)計(jì)和計(jì)算的多功能軟件，在數(shù)學(xué)、物理、地理都有廣發(fā)應(yīng)用。鑒于Geogebra的強(qiáng)大功能和明顯的優(yōu)勢，它將會給我們的數(shù)學(xué)課堂帶來更多樣的教學(xué)方式和學(xué)習(xí)方式，它應(yīng)該成為老師教學(xué)、學(xué)生學(xué)習(xí)的好伴侶。

二、GeoGebra是一款易操作的軟件

說GeoGebra易上手、好用，那是因?yàn)樗僮鞣奖悖昙壍男W(xué)生也可以很容易學(xué)會它的基本操作。圖1和圖2是我家三年級的小朋友第一次用GeoGebra設(shè)計(jì)的手繪萬花筒。主要步驟只有兩步，如圖3，然后，進(jìn)行屬性設(shè)置，再拉動手繪圖就可以得到不同的花形。小朋友都會覺得很好玩、有趣。

三、GeoGebra在函數(shù)概念中的應(yīng)用

從初中到高一，數(shù)學(xué)學(xué)科成為了大部分學(xué)生學(xué)習(xí)上的一大難題。高度抽象的函數(shù)概念讓很多同學(xué)一頭霧水。利用GeoGebra的輸入欄，我們可以很方便地得到想要的函數(shù)圖象，在教學(xué)上的，這種形象具體的呈現(xiàn)，能有效幫助學(xué)生理解函數(shù)概念是兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系這一特點(diǎn)。周期性，是三角函數(shù)中的一個重要性質(zhì)，利用GeoGebra的輸入欄，直接得到y(tǒng)=sinx的函數(shù)圖象，利用滑動條，可以觀察一個周期內(nèi)的函數(shù)圖象與下一周期圖象重合，從而讓學(xué)生達(dá)到理解周期性的概念（如圖4、圖5）。另外，利用GeoGebra還可以很容易做出其他周期函數(shù)圖象，讓學(xué)生領(lǐng)悟到，周期性并不是三角函數(shù)的“專利”（如圖5），讓學(xué)生走出“只有三角函數(shù)才有周期性”的誤區(qū)。

四、GeoGebra在導(dǎo)數(shù)概念中的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一。教材（人教A版選修2-2第一章）通過氣球膨脹率和高臺跳水兩個具體的例子，從平均變化率過渡到瞬時變化率，利用形象直觀的“逼近”方法得到導(dǎo)數(shù)概念，利用GeoGebra的動態(tài)效果（如圖6，圖7），在函數(shù)圖象上任意取兩點(diǎn)A、B，當(dāng)點(diǎn)B不斷“逼近”點(diǎn)A時，割線BA的斜率就會越來越接近在點(diǎn)A處的切線的斜率，讓學(xué)生經(jīng)歷導(dǎo)數(shù)概念從“靜”到“動”的學(xué)習(xí)過程，幫助學(xué)生對導(dǎo)數(shù)概念的理解。

五、GeoGebra在圓錐曲線概念中的應(yīng)用

圓錐曲線的形成，從“形”上得到，可以用一個平面去截圓錐（如圖8），當(dāng)平面與圓錐軸的夾角不同時，我們就得到不同的截口曲線，它們分別是圓、橢圓、拋物線、雙曲線。圖8是人教A版選修2-1第二章圓錐曲線與方程的章頭圖，在看到這幅章頭圖的時候，我第一個想法是，把這個動態(tài)過程呈現(xiàn)給學(xué)生，讓數(shù)學(xué)教材也可以“動”起來。這樣的想法，在GeoGebra里很容易就可以實(shí)現(xiàn)（如圖9、圖10），在拖動滑動條β的時候，就可以呈現(xiàn)截口曲線的變化。

圓錐曲線的形成可以由平面截圓錐而成，這是從“形”上體現(xiàn)圓錐曲線的特征，那么怎么從“數(shù)”這一方面得到圓錐曲線呢？Geogebra在這方面也體現(xiàn)了它特有的優(yōu)勢。首先，設(shè)置滑動條a，區(qū)間可以設(shè)置為[-5，5]，然后在輸入欄輸入，拉動滑動條，就可以得到橢圓，再設(shè)置輸入框，在輸入框中把“+”號，分別改為“-”“*”“/”號，拉動滑動條就可以得到：到兩定點(diǎn)的距離之和（差、積、商）為定值的點(diǎn)的軌跡。在高中教材中，只涉及到平面內(nèi)，到兩定點(diǎn)的距離之和（差）為定值的點(diǎn)的軌跡，對于平面內(nèi)，到兩定點(diǎn)的距離之商（積）為定值的點(diǎn)的軌跡并沒有描述;我們知道，到兩定點(diǎn)的距離之商為定值的點(diǎn)的軌跡（即阿波羅尼斯圓）又經(jīng)常隱藏在考題中。那么，到兩定點(diǎn)的距離之積為定值的點(diǎn)的軌跡是什么呢（如圖11、圖12）？這里可以引起學(xué)生的求知欲，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行課外探索。在GeoGebra中，通過拖動滑動條可以探索常數(shù)a的變化對曲線的影響，從而引起學(xué)生探索的興趣。

我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微;數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休。”特別在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，利用GeoGebra強(qiáng)大的數(shù)形結(jié)合特點(diǎn)，使高度抽象的概念化身為相對具體的、可視的圖象表征，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想的優(yōu)勢，幫助學(xué)生加深對數(shù)學(xué)概念的理解，構(gòu)建良好的知識結(jié)構(gòu)體系。利用GeoGebra的優(yōu)異特征，幫助學(xué)生理解高中數(shù)學(xué)概念，可以達(dá)到形象、生動、有趣、高效的教學(xué)效果，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行課外探索，對落實(shí)核心素養(yǎng)發(fā)揮了一定作用。意大利著名兒童教育家蒙臺梭利說過：“我聽過了，我就忘了;我看見了，我就記得了;我做過了，我就理解了。”雖然，這句話主要是對兒童的教育而說的，但對正在學(xué)習(xí)的每一位學(xué)生來說，何嘗不是這樣呢？

參考文獻(xiàn)：

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[2]張志勇.基于GEOGEBRA的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與可視化教學(xué)[M].長春：東北師范大學(xué)出版社，2018.