數學方差在經濟領域中的應用

楊瑞云

摘要：概率統計不僅在解決數學問題中扮演著重要的角色，也是研究經濟學問題的有效工具，其有助于提高工作效率、增加經濟收益。例如：隨機事件、參數估計、回歸分析、假設檢驗以及隨機變量的數字特征。本文就數學中最常見的數學方差在經濟生活中的具體應用進行分析。

關鍵詞：數學方差;離散程度;經濟問題

在20世紀90年代之前，世界上人們關注的還是宏觀經濟，宏觀經濟指整個國民經濟活動總量，當概率統計被應用到經濟生活中，人們才把目光轉移到微觀經濟當中。當司空見慣的經濟中的常識可以被數學中的理論解釋，每一件經濟學事件都有理可依的時候，經濟學就有了極大的進步，有了質的飛躍。經濟學不再是一個空想主義，不再是難以想象的幾何空間，從此經濟學可以被形象的描繪出來，經濟學與人們的生活聯系起來[1]。著名的諾貝爾經濟學獎獲得者馬克威茨曾說過：“偉大的經濟學家無一例外都是數學家。”可見經濟學是建立在數學的基礎上，經濟學與數學是緊密不可分割。

1 方差定義以及性質概述

1.1 方差的定義

方差是用來描述波動情況的一個不可忽視的數字。與平均數不同的是，方差不會受極大值或者級小的值的影響，因此能更為準確的體現一組數據的波動情況。在一組數據中，如果方差越大則穩定性越差;方差越小則穩定性越好。

1.2 方差的性質

（1）設a是常數，則D（a）=0

（2）設X是離散隨機變量，a是常數，則D（aX）=a2D（X），D（X+a）=D（X）

（3）設X與Y 是兩個離散的隨機變量，則D（XY）=D（X）D（Y）Cov（X，Y）

2 方差在經濟領域中的實際應用

2.1 在投資決策中的應用

組合投資是為了分散較大的非系統性風險，每一只股票或者債券的組合的投資收益與其相對應的風險是通過數理統計計算得出。專業的投資者都不是盲目的進行投資，在進行投資之前都會進行投資的預算計量，在投資收益一定的情況下選擇風險相對較小的投資組合，同樣的，在投資風險相同的情況下選擇收益情況更好的投資組合[2]。方差的大小直接顯示了投資組合風險的高低，那么在相同的收益下可以選擇方差較小的組合，從而來分散風險。以下以一個例子做出說明。

假設一投資者想投資持有一只股票，現在他有三只股票可以選擇，分別為A股票、B股票、C股票三支股票，當經濟景氣的時候投資的概率p1為20%，當經濟適中打時候投資的概率p2為40%，當經濟困難時候投資的概率p3為40%。三只股票的年收益（萬元）在不同經濟的情況下變化，具體情況如下表。

由數學期望可知，C股票的數學期望最高，B股票的數學期望最小，那么C股票的預期收益會較高，B股票的預期收益就相對來說比較低;那么就可能選擇股票C，現在來考慮它們的方差。

由三只股票的方差來看，A股票的方差最大，B股票的方差最小，說明B股票的收益的波動性也越小，其承受的風險相對來說就比其他兩只股票小，綜合來看選擇股票B是相對最正確的選擇。

2.2 在農產品選擇中的應用

當數學還沒有名字的時候就已經被人們應用到實際生活中了。市場上每一種農產品的種子的選擇也都是經歷重重檢驗與考察，一個種子品種的選擇不是一次試種比另一種品種的種子強就可以優勝，而是通過無數次的比較從而確定。以下通過一個例子說明。

兩種大豆的品種分別為大豆一號與大豆二號，通過連續試種9年的單位面積的產出量，具體數據如下表：

由兩種品牌的方差可以看出，大豆一號的方差相對來說比大豆二號的小，從而說明大豆一號的單位面積產出量相對大豆一號較為穩定，波動較小。通過比較兩個品種的數學期望和方差，從而選擇方差較小的大豆一號品種上市。雖然大豆二號的數學期望更高，但是種植不是博弈，農民們更想要的是長久的收益，穩定的產量，所以選擇大豆一號。

2.3 在公司管理中的應用

上市公司的重大決策往往是通過股東大會表決執行的，然而并不是每一個提議都會被通過，但是每一個提議都要有理可言。通常一個公司決定要收購另一個公司都會考慮收購帶來的成本與收益，當收益能完全覆蓋成本并且還有額外收益的時候，此次收購或者并購才算成功的[3]。通常公司的收益用數學期望來表示，公司的風險可以用方差來計量，那么公司的選擇是選擇期望值較大點的且方差值相對較小的決策。以下通過一個例子來說明：

一汽車公司想要收購另一汽車配件公司，收購成功的概率p1為0.7，收購失敗的概率 p2為0.3。收購成功的話每年收益200萬元，收購失敗的話損失500萬元。收購成功時間記為A，失敗記為B。

由題意可知此次收購的數學期望計算如下

3 修正方差與方差

通常我們的方差的計算是通過標準差的連加再除以n，然而修正方差此時除以的不再是n而是n-1，為什么我們除以的不再是n而是n-1呢？其實樣本方差要除以n-1是因為這樣的話，得到的結果才是符合總體方差的無偏估計量。我們發現傳統的方差的計算方法雖然可以解決一些問題，但是對于總體實際情況的估計度量還是過于粗糙，不夠精細。傳統方差相對于修正方差而言，因為分子是n，大于 n-1，所以沒有修正過的方差小于修正過的方差，沒有修正過的方差的波動情況更小，穩定性更好，傳統的方差不能夠反映出總體的實際波動情況，相比較而言修正方差更能準確的描繪出總體的穩定情況。雖然修正方差對于估計總體的無偏程度更加貼切也更加符合真實的總體情況，我們文中用到的卻是沒有經過修正過的方差，但是我們需要的是比較不同情況下的方差的大小情況，追求的并不是更加貼合總體的真實情況，與此同時我們對于不同的選擇決策運用的是同一種方法，即沒有修正過的方差，所以得到的結果仍然是準確的，符合我們想要達到的結果 。

修正方差通常在計量較為精確的總體情況時被用到，它的無偏性能把誤差縮小到一定的程度，甚至忽略不計。從而能準確的把握總體的情況。通常修正方差被運用在抽樣檢測一些較為精密的儀器設備，檢測一些具有危害性的氣體，還有一些較為稀有珍貴的材料上。

4 總結

數學方差的統計學意義在經濟學上具有舉足輕重的地位，與此同時數學方差在經濟生活中同樣具有不可小覷的地位。例如：著名的博弈理論、生產經營、投資決策、抽樣檢查等等。經濟生活離不開數學，當人們還沒有意識到數學的存在的時候就已經在使用數學方法了，例如古代的結繩計數，經濟生活充斥著數學，而方差在數學中扮演了非常重要的地位。即使經濟生活可以離開數學方差，但是擁有了數學方差才會使經濟生活得到極大的進步，擁有跨世紀的飛躍。同樣，當數學只是為了計算而計算，不服務于經濟社會的時候，那么數學就是失去了它存在的意義，更不會被人們所重視。只有為經濟服務的數學方差才是有存在價值的數學方差，只有數學的助力，經濟生活才能達到更發達的階段。

參考文獻

[1]田兵.單因素方差分析的數學模型及其應用[J].陰山學刊（自然科學），2013，27（02）：24-27.

[2]董斌斌.數學期望與方差在實際生產中的應用[J].科技信息，2011（01）：254-255.

[3]丁迎秀.數學期望與方差在經濟分析中的應用[J].數學教學研究，2010，29（11）：62-64.