球體轉動慣量推導過程中的啟示

芮云軍

摘 要 微積分是推導剛體轉動慣量的基礎。但是，不同的積分對象，其表達的含義不同。本文通過球體“微元法”、“微盤法”和“微面法”的比較，加深了學生對轉動慣量概念的理解，同時體現了剛體轉動慣量可以疊加的特性。

關鍵詞 轉動慣量 積分 微元法 微盤法 微面法 疊加

中圖分類號：G642文獻標識碼：A

0引言

大學物理教學時，轉動慣量是剛體力學的重要知識點，也是學生理解的難點。但是通過對不同剛體（直棒，圓柱體，球體）轉動慣量的數學推導，可以極大地加深學生對轉動慣量概念的理解。我們知道，采用“微元法”，即

也就是剛體對轉軸的轉動慣量等于其各“質量元”與其到轉軸距離（r'）平方的乘積之和。實際上，我們也可以將公式（1）變形如下。

此時，公式（2）中的dJ 表示為剛體某一部分的轉動慣量，比如微圓盤，微圓面等，而不僅僅是微質量的轉動慣量。這樣改變積分變量，讓學生體會了剛體轉動慣量可以疊加的性質，也為后續用實驗方法（如扭擺，三線擺）測量多個不規則物體轉動慣量做了理論指導。

1三種積分變量的比較

首先來看“微元法”，如圖1（a）所示，微元的質量（dm）可以表示為立體角中微體積（dV）與密度（ ）的乘積。而微體積的長、寬、厚度分別為rsin d ，rd ，dr，所以其轉動慣量可以表示為

而采用“微盤法”，可以將球體的體積分成很多圓盤的組合，如圖1（b）所示。這些圓盤直徑不同，但各自繞（z）軸的轉動慣量的表達形式是相同的，也是學生們熟知的，即J=mr2/2。所以可以利用公式（2），計算球體的轉動慣量。注意，“微圓盤”的質量可表示為 dV= r2dz，其中微圓盤半徑為r=。另外相比較“微元法”，轉動慣量中有系數1/2。所以

最后，我們采用“微面法”，如圖1（c）所示。這個球體可以看成很多一定厚度（dr）的球面構成，每個球面繞（z）軸的轉動慣量為J=（2/3）mr2。注意，“微球面”的體積可表示為 dV=4 r2dr。另外相比較“微元法”，轉動慣量中有系數2/3。利用公式（2），可得

2結束語

上述推導表明，公式（1）與（2）不能混淆。前者根據轉動慣量的定義，采用“微元法”，體現了各質量元（質點元）轉動慣量的疊加;后者采用“微盤法”、“微面法”，體現各質量盤、質量面轉動慣量的疊加，其中的系數1/2，2/3，要特別注意，不能省略。

參考文獻

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