導(dǎo)函數(shù)隱零點(diǎn)問題的處理對(duì)策

牙政澤

摘 要：近年來，隨著我國(guó)社會(huì)經(jīng)濟(jì)與現(xiàn)代化科學(xué)技術(shù)的持續(xù)發(fā)展，各個(gè)領(lǐng)域都取得了重大的成就，教育領(lǐng)域的優(yōu)化改革也已經(jīng)成為一種必然趨勢(shì)。在教育過程之中，高考已然成為改變學(xué)生命運(yùn)的重要轉(zhuǎn)折點(diǎn)之一，其中的數(shù)學(xué)學(xué)科更是關(guān)鍵所在。而導(dǎo)函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)點(diǎn)，其具有多種解題算法，導(dǎo)函數(shù)在求導(dǎo)過程中，存在超越方程、高次冪方程等，將增加解題難度，為此應(yīng)通過不同的解題方法對(duì)函數(shù)求導(dǎo)存在的問題進(jìn)行全面解析，以此來得出正確的求導(dǎo)結(jié)果。文章針對(duì)導(dǎo)函數(shù)隱零點(diǎn)問題進(jìn)行探討，并對(duì)整體代換、反帶消參、降次留參等解題思路進(jìn)行研究。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)函數(shù);隱零點(diǎn);解題思路

中圖分類號(hào)：G633.6? ??文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ??文章編號(hào)：2095-624X（2020）15-0062-02

一、導(dǎo)函數(shù)定義解析

當(dāng)函數(shù)f（x）在（A，B）區(qū)間內(nèi)的任何一個(gè)節(jié)點(diǎn)處可導(dǎo)，可建立基于f（x）的導(dǎo)函數(shù)，一般以f ′（x）為代表。當(dāng)A，B屬于閉合區(qū)間時(shí)，此時(shí)f（x）在A處右導(dǎo)數(shù)、B處左導(dǎo)數(shù)均存在時(shí)，可將f ′（x）表現(xiàn)為[A，B]內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)。如果將（A，B）區(qū)間內(nèi)的任意一點(diǎn)作為定義域內(nèi)的拓展節(jié)點(diǎn)時(shí)，此時(shí)f（x）應(yīng)在定義域的開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，其區(qū)間內(nèi)的任意點(diǎn)值則代表f（x）的定義函數(shù)，以此來建構(gòu)新函數(shù)，并可將新函數(shù)作為f（x）的導(dǎo)函數(shù)f ′（x），其關(guān)系式為：

f（x+△x）-f（x）

f '（x）=lim—

△x

二、高中導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)教學(xué)現(xiàn)狀分析

在高中時(shí)期的數(shù)學(xué)教學(xué)過程之中，導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)問題作為教學(xué)重點(diǎn)一直深受教師與學(xué)生的關(guān)注，但是由于該題目的解題方式過于復(fù)雜、難懂，使得學(xué)生在面對(duì)該類型題目時(shí)往往會(huì)出現(xiàn)“無從下手”的現(xiàn)象。再加上高中階段的學(xué)習(xí)時(shí)間緊、任務(wù)重，學(xué)生不愿意將大部分的學(xué)習(xí)精力以及學(xué)習(xí)時(shí)間放置到導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)問題研究之上。而教師在教學(xué)過程之中針對(duì)該種類型內(nèi)容的教學(xué)也只是選擇一些經(jīng)常考查的題目及其解題方式在課堂進(jìn)行講解，讓學(xué)生背誦解題思路，這種教學(xué)方法固然能夠讓學(xué)生找到一定的解題思路。但是當(dāng)題型發(fā)生變化時(shí)，往往會(huì)失去解題的思路或是在解題過程之中出現(xiàn)思路混亂，無法得出正確答案。所以，針對(duì)這一類型題目的教學(xué)還是需要通過教師教學(xué)引導(dǎo)找到解題的正確思路并在課堂授課環(huán)節(jié)及時(shí)幫助學(xué)生梳理思路。

三、導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)問題分析策略

倒數(shù)問題作為高中的熱點(diǎn)內(nèi)容，其導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)在解決函數(shù)單調(diào)性、最值性、不等式證明等問題的解決過程之中十分重要。但是一些零點(diǎn)能夠判斷其是否存在，一些數(shù)值上的求解卻比較困難。所以，對(duì)于該類型的內(nèi)容求解需要從邏輯判斷以及不等式的運(yùn)用等方面。在導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)問題教學(xué)過程之中，教師需要考慮的內(nèi)容是多方面的，根據(jù)對(duì)解題類型的分析，其具體可以利用整體代換、反代消參、降次留參、分離函數(shù)、分離變量等方式進(jìn)行解決。

1. 整體代換

在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中，代數(shù)是一種基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)知識(shí)，在實(shí)際的考查過程之中，其對(duì)學(xué)生的考查主要從兩方面進(jìn)行考慮，第一是對(duì)學(xué)生的運(yùn)算能力進(jìn)行考查，這就需要學(xué)生熟練掌握各種類似的公式。第二則是對(duì)學(xué)生的觀察能力以及思考能力進(jìn)行考查，學(xué)生要充分挖掘各個(gè)式子之中的各個(gè)關(guān)系，借助相應(yīng)的解題技巧對(duì)所要求解的公式進(jìn)行解答。在題型的運(yùn)算過程之中，整數(shù)代換就是主要的變形技巧與主要方式之一，尤其是在一些數(shù)字運(yùn)算、代數(shù)運(yùn)算都具備的復(fù)雜數(shù)學(xué)題型之中。如果學(xué)生單純地按照題目之中所給的信息進(jìn)行解答，則整個(gè)運(yùn)算過程就會(huì)變得非常復(fù)雜，甚至?xí)霈F(xiàn)無法求解出正確答案的現(xiàn)象。如果學(xué)生能夠巧妙地運(yùn)用整體代換思想，抓住題型之中的一些共同點(diǎn)進(jìn)行整體代換，將復(fù)雜的題型簡(jiǎn)單化就能夠巧妙得出結(jié)果。

例題一：設(shè)函數(shù)f（x）=e2x-alnx，求：（1）f（x）導(dǎo)函數(shù)f ′（x）零點(diǎn)數(shù)量;（2）證明：a>0時(shí)，f（x）≥2a+aln—。

步驟解析：在對(duì)例題中的（2）進(jìn)行解答時(shí)，證明f（x）≥2a+aln—（a>0），可通過[f（x）]min≥2a+aln—。此時(shí)[f（x）]min可通過f ′（x）的零點(diǎn)進(jìn)行解析，但此時(shí)

f ′（x）=0隸屬于超越方程，不能實(shí)現(xiàn)求解，但此方程的思路可適用于滿足x0的等式，e2x? =—，lnx0=ln—-2x0，此時(shí)可將其進(jìn)行整體代換將超越方程轉(zhuǎn)化為普通方程，即e2x? -alnx0轉(zhuǎn)化為—+2a x0+aln—，再通過均值不等式將函數(shù)最小值進(jìn)行求值，以此來對(duì)x0進(jìn)行消除，得出最終結(jié)果。

2.反帶消參

在諸多類型的數(shù)學(xué)考試之中，含有參數(shù)的導(dǎo)函數(shù)隱零點(diǎn)問題往往都以壓軸題的形式出現(xiàn)，這類題型還有參數(shù)，難度也比較大。在傳統(tǒng)的解答過程中，大都運(yùn)用分類討論思想或是分離參數(shù)思想進(jìn)行解答，這就使得學(xué)生形成了一種固定的解題思維。如果學(xué)生能夠在解題過程中走出原有的思維定式，并將注意力轉(zhuǎn)移到消參的角度上。通過反代消參來進(jìn)行解答，就會(huì)將含參數(shù)題型轉(zhuǎn)變?yōu)椴缓瑓?shù)的問題，進(jìn)而獲得意想不到的收獲，問題也會(huì)隨之解決。

例題二：已知函數(shù)f（x）=x3-3x2+x+2，曲線y=f（x）在（0，2）點(diǎn)處的切線，與坐標(biāo)軸（x）的橫坐標(biāo)為-2。證明：當(dāng)m<1時(shí)，曲線y=f（x）和直線y=mx-2的交點(diǎn)數(shù)為1。

步驟解析：當(dāng)-20，此時(shí)x2隸屬于可求范圍內(nèi)，即x2=1+—，但此時(shí)如果想直接證明m的不等式

h（x2）>0，問題解決思路不明顯，因此可采用反帶消參，建構(gòu)單一函數(shù)（以零點(diǎn)為基準(zhǔn)），通過虛設(shè)x2來代表從參數(shù)值，即將函數(shù)轉(zhuǎn)化為1-m=-3x22+6x2，進(jìn)而使問題得到簡(jiǎn)化。

3.降次留參

在導(dǎo)函數(shù)隱零點(diǎn)問題的諸多題型之中，有些題型有較高的指數(shù)以及大量的參數(shù)，學(xué)生在解題過程之中既要考慮到降次又要考慮到參數(shù)的求解。這就使得很多學(xué)生面對(duì)這種復(fù)雜問題時(shí)，會(huì)有一種“無力”感，找不到明確的解題方向。而降次留參解題方式的應(yīng)用便很好地解決了這一方法。該種方法也是高中數(shù)學(xué)解題過程中的一種常用且比較實(shí)際的解答方式，其具體是指在解題過程中將含有未知數(shù)的項(xiàng)數(shù)的指數(shù)部分進(jìn)行降次處理。且在降次過程之中對(duì)題目之中的參數(shù)繼續(xù)保留，不做處理。降次之后再建立新的方程式并尋找其中的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，進(jìn)行解答。

例題三：已知函數(shù)f（x）=—x3+x2+mx.

步驟解析：通過極點(diǎn)值x1，x2，與參數(shù)m之間的定向聯(lián)系，對(duì)次數(shù)進(jìn)行降冪處理，一直降到1為止，以求出方程內(nèi)交點(diǎn)，通過降次留參，建立新的參數(shù)方程，進(jìn)而求出m值。

4.分離函數(shù)

在高中數(shù)學(xué)導(dǎo)函數(shù)解題過程之中，對(duì)于求解分?jǐn)?shù)性質(zhì)的函數(shù)，我們可以采用拆分的辦法將分式之中的分?jǐn)?shù)變成常數(shù)，一些分?jǐn)?shù)函數(shù)也可以拆分成一個(gè)整數(shù)式子或是分?jǐn)?shù)式子，這種方法也可以認(rèn)為是分離常數(shù)法。該種解題方法一般用于求解函數(shù)的整數(shù)或是函數(shù)的值域等問題之中。如例題四：

已知函數(shù)f（x）=lnx/（x+1）+1/x，證明：x>1且x ≠1時(shí)，f（x）>lnx/（x-1）。

在該類型題目解決過程之中，如果直接求解并構(gòu)造出函數(shù)g（x）= lnx /（x+1）+1/x-lnx/（x-1）則會(huì)使得該式子在進(jìn)行求導(dǎo)之后無法解答出相應(yīng)的導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)。經(jīng)過分析之后，我們可以知道，造成無法求解導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)是由于函數(shù)式之中含有l(wèi)nx的組合形式。所以，在解題過程之中需要將不等式之中的內(nèi)容進(jìn)行等價(jià)變換，再將題目之中的lnx進(jìn)行分離，才能夠求解出該導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，進(jìn)而再次分析，解答出其中的最值，使得該不等式得到證明。

5.變更主元

在我們解答一些與函數(shù)、方程、不等式等內(nèi)容有關(guān)的函數(shù)題目時(shí)，我們可以將數(shù)學(xué)式子之中的主元與數(shù)學(xué)常量進(jìn)行換位，或是將主元與參數(shù)的位置進(jìn)行互換，參數(shù)與常量之間進(jìn)行位置互換，進(jìn)而產(chǎn)生一種認(rèn)識(shí)上的轉(zhuǎn)化變化，但是這種變化并不換元，而是借助這種思維方式進(jìn)行題目解決的方式才叫作變更主元法。如例題五：

已知a>0，函數(shù)f（x）=ax2-x，g（x）=ln x。

（1）a=1/2，求函數(shù)y=f （x）-2g（x）的極值;

（2）在實(shí)數(shù)a，使得f（x）≥g（ax）對(duì)任意正數(shù)x恒成立？若存在，求出實(shí)數(shù)a的取值集合;若不存在，請(qǐng)說明理由。

解決過程之中，如果采用傳統(tǒng)的解題方式，會(huì)使得學(xué)生面對(duì)多種變量時(shí)無法進(jìn)行靈活應(yīng)變。而應(yīng)用變更主元法之后，可以直接令h（x）=f （x）-g（ax）=ax2-x-lnax，之后進(jìn)行函數(shù)求導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)該導(dǎo)函數(shù)無法求解出正確的零點(diǎn)之后進(jìn)行主元變換，該問題也得到了解決。

6.分離變量

分離變量法是指一種應(yīng)用在解決數(shù)學(xué)偏微方程、常微分方程的解題方法，該種方式在數(shù)學(xué)導(dǎo)函數(shù)問題解決過程之中同樣適用。該種方法在運(yùn)用過程之中需要借助代數(shù)將原來的方程式進(jìn)行重新編排，并讓方程式的一部分都只含有一個(gè)變量，其他的剩余部分與該變量之間沒有關(guān)系。通過這種方式，來隔離出兩個(gè)部分的數(shù)值，并將其分別等于兩個(gè)常數(shù)，這兩個(gè)部分的值的代數(shù)和就等于0。該種解題方式還應(yīng)用了高數(shù)知識(shí)、級(jí)數(shù)求解知識(shí)以及一些其他種類、類型的解題方法，并求解出各個(gè)方程，最后將這些內(nèi)容進(jìn)行重新“組裝”。分離變量法屬于一種解答波動(dòng)方程或是邊值問題的解答方法。例題六如下：

已知函數(shù) f（x）=kx，g（x）=lnx/x，如果不等式

f（x）≥g（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)恒成立，求解實(shí)數(shù)K的取值范圍。在解題過程之中需要對(duì)這一題目進(jìn)行變量分離，再構(gòu)造出相應(yīng)的函數(shù)，不需要再進(jìn)行分類討論，而是應(yīng)當(dāng)簡(jiǎn)單、直接地進(jìn)行解答，從而化簡(jiǎn)整個(gè)解題的過程，得到最終的答案。

綜上所述，導(dǎo)數(shù)作為高中數(shù)學(xué)中的重要知識(shí)點(diǎn)，在其研究函數(shù)過程中，將產(chǎn)生隱零點(diǎn)的問題，進(jìn)而增加習(xí)題的難度，文章對(duì)導(dǎo)函數(shù)隱零點(diǎn)的問題進(jìn)行分析，并通過相應(yīng)的習(xí)題對(duì)解題思路進(jìn)行探討，以此來為學(xué)生提供解題方向。

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作者簡(jiǎn)介：牙政澤（1984—），男，壯族，廣西南丹人，中學(xué)一級(jí)教師，本科，研究方向：高中數(shù)學(xué)教學(xué)。