平面平行運動的剛體彈性碰撞問題的探討

陳鐵松

(長春吉大附中實驗學校 吉林 長春 130021)

在研究碰撞問題中，引入恢復系數后，恢復系數成為求解碰撞問題的關鍵參數之一. 許多教材中關于恢復系數的引入情景都類似，即在光滑水平面上可以看成質點的自由二體碰撞過程中，給出恢復系數的定義.對于彈性碰撞過程，由動量守恒和動能不變可求得碰撞前后兩個質點的相對速度大小相等，即恢復系數等于1. 對于不可看作質點的做平面平行運動的剛體發生彈性碰撞，碰撞前后碰撞點沿碰撞力方向的相對速度大小相等是否還適用，教材中都沒有明確指出這一點，導致學生對彈性碰撞問題的規律認識不夠深入，求解問題時考慮不夠全面或陷入復雜的數學運算.

本文證明了兩個做平面平行運動的剛體發生彈性碰撞過程中，發生碰撞的兩點在碰撞力的方向上相對速度大小相等，這個結論與碰撞前后系統動能不變是等價的，并用此結論求解一道物理競賽題目，很容易得出結果.

1 兩個不可看作質點的剛體發生彈性碰撞

如圖1所示，表面呈幾何光滑的兩個剛體在光滑的水平面上運動，參考系選擇為地面.某時刻兩個剛體發生彈性碰撞.設剛體1的質量為m1，繞質心運動的轉動慣量為J1，質心初速度大小為v10，初始角速度大小為ω10，剛體2的質量為m2，繞質心運動的轉動慣量為J2，質心初速度大小為v20，初始角速度大小為ω20；碰撞后剛體1的質心速度大小為v1，角速度大小為ω1，剛體2的質心速度大小為v2，角速度大小為ω2，各個矢量的方向如圖1標注所示.為了數學處理簡單且不失一般性質，我們假設兩個剛體質心的初速度方向相反，且碰撞點的法線方向與它們各自的質心初速度方向相同.

圖1 兩個不可看作質點的剛體發生彈性碰撞

假設碰撞過程中，兩個剛體間的沖量大小為I，由動量守恒

-I=m1v1-m1v10I=m2v2-(-m2v20)

(1)

對剛體質心的沖量矩定理

Ir1=J1ω1-J1ω10Ir2=J2ω2-(-J2ω20)

(2)

兩個剛體彈性碰撞，接近速度等于遠離速度

v10-ω10r1-(-v20-ω20r2)=

v2+ω2r2-(v1-ω1r1)

(3)

由式(1)、(2)、(3)解得

碰撞后兩個剛體的總動能

(-Ir1ω10+Ir2ω20+Iv10+Iv20)]

代入I的表達式后得

(-Ir1ω10+Ir2ω20+Iv10+Iv20)=0

即彈性碰撞前后，兩個剛體系統的總動能保持不變.

2 結論的應用

【題目】由絕對剛性的輕桿連接兩個很小的重球組成“啞鈴”，以速度v0沿垂直于靜止不動的光滑墻面平動，并且“啞鈴”的軸與墻面成45°角,如圖2所示．問當“啞鈴”與墻面發生彈性碰撞后將怎樣運動？

圖2 題目情境圖

這是一道關于碰撞的競賽題，題目的情景對學生來說非常的熟悉，解題切入點也很容易找到.球A與墻壁發生彈性碰撞過程，由于有輕桿的束縛作用，不能簡單地把球A看成質點，所以大多數學生都是采用動量守恒和能量守恒相結合的方式完成題目的求解，參考書中也是采用這個思路求解的.但是采用這種方法求解不可避免地要去求解二次方程，計算量會比較大.下面應用剛體彈性碰撞中碰撞點的恢復系數為1的結論結合“啞鈴”系統碰撞前后角動量守恒求解本題.

設球A與墻壁發生碰撞后，“啞鈴”系統質心的速度大小為v1，兩球繞質心轉動的角速度為ω，應用本文結論，球A與墻壁發生彈性碰撞，碰撞點恢復系數為1，即分離速度大小等于接近速度大小

對“啞鈴”系統由角動量守恒得

以上兩式子聯立解得

3 總結

利用動量守恒和角動量定理，并結合彈性碰撞過程中碰撞點在碰撞力的方向上碰撞前后相對速度的大小相等，即恢復系數等于1這個結論，推導得出彈性碰撞前后，兩個剛體系統的總動能保持不變.上述分析中，平面平行運動的剛體的速度方向、角速度方向的假設具有任意性，所以這個結論在剛體平面平行運動的碰撞過程中是普遍成立的，該結論在處理平面平行運動剛體的彈性碰撞問題時具有一定的參考價值.