猶豫模糊熵生成算法及在后勤補給基地選址評估中的應(yīng)用

黃 林， 袁修久， 趙學(xué)軍， 鄭明發(fā)

(空軍工程大學(xué)基礎(chǔ)部， 西安， 710051)

為了描述事物“亦此亦彼”的模糊性，Zadeh在1965年提出了模糊集的概念[1]。Torra[2]和Narukawa[3]把模糊集推廣成了猶豫模糊集，Cheng等[4]又將猶豫模糊集推廣為區(qū)間值猶豫模糊集，并將其應(yīng)用于決策分析。

猶豫模糊信息測度包括距離、相似度和熵等，已被廣泛應(yīng)用于各個領(lǐng)域，例如模式識別[5]、醫(yī)療診斷、聚類分析[6]、多屬性決策[7]以及圖像處理等。

一方面，許多研究者提出了不同的距離、相似度和熵的度量方法[8-12]。另一方面，許多學(xué)者研究了用一種猶豫模糊信息測度來構(gòu)造另一種信息測度的方法。Farhadinia[13]研究了猶豫模糊熵與距離之間的關(guān)系，提出了基于距離來構(gòu)造猶豫模糊集熵公式的方法[9,13-14]。此外，許多學(xué)者研究了擴展的猶豫模糊集的信息測度。如猶豫模糊語言值集的距離[15]，對偶猶豫模糊集的熵[16]和區(qū)間值猶豫模糊集的相似度等[17-18]。

現(xiàn)有文獻給出了多種猶豫模糊元和區(qū)間值猶豫模糊元的熵和相似度的具體表達式，但是應(yīng)用背景不同對相關(guān)公式要求也不同，構(gòu)造新的猶豫模糊熵和相似度公式常常比較困難。因此，提出猶豫模糊集的熵和相似度的生成算法是值得研究的問題。

本文推廣定義了猶豫模糊集和區(qū)間值猶豫模糊集的熵和相似度，提出了猶豫模糊集和區(qū)間值猶豫模糊集的熵和相似度的一般公式，給出了猶豫模糊集和區(qū)間值猶豫模糊集的熵和相似度的生成算法，研究了猶豫模糊集的相似度與熵之間的關(guān)系，并給出了構(gòu)造猶豫模糊集和區(qū)間值猶豫模糊集的具體熵的一般方法。

1 猶豫模糊集的概念

定義1.1設(shè)X為給定的論域，稱A={|x∈X}為X上的猶豫模糊集。其中，hA(x)是由區(qū)間[0,1]中的若干個數(shù)構(gòu)成的集合，表示元素x屬于集合A的可能的隸屬度構(gòu)成的集合。稱hA(x)為猶豫模糊元。

若?x∈X，hA(x)={0}，則A為空集?；若?x∈X，hA(x)={1}，則A為全集X。

論域X上的全體猶豫模糊集構(gòu)成的集合，記為HF(X)。

定義1.2[14]設(shè)X為給定的論域，D[0,1]表示區(qū)間[0,1]的所有閉子區(qū)間構(gòu)成的集合。稱A={|x∈X}為論域X上的區(qū)間值猶豫模糊集。其中，hA(x)為D[0,1]的有限子集，表示元素x屬于集合A的所有可能區(qū)間隸屬度構(gòu)成的集合，hA(x)稱為區(qū)間值猶豫模糊元。

論域X上的全體區(qū)間值猶豫模糊集構(gòu)成的集合，記為IVHF(X)。

為了方便計算區(qū)間值猶豫模糊元的熵和相似度，參照文獻[8]，本文作以下假設(shè)：

2)兩個區(qū)間值猶豫模糊元hA(x)和hB(x)，若l(hA(x))≠l(hB(x))，記lx=max{l(hA(x)),l(hB(x))}，其中l(wèi)(hA(x))表示區(qū)間值猶豫模糊元hA(x)中元素的個數(shù)。對于元素較少的區(qū)間值猶豫模糊元，重復(fù)添加最大的元素直到它的元素個數(shù)為lx。

定義1.3設(shè)X為論域，設(shè)A,B∈IVHF(X)，且?x∈X，l(hA(x))=l(hB(x))=lx，則A包含于B和A與B相等分別定義為：

猶豫模糊集是區(qū)間值猶豫模糊集的特例。因此，假設(shè)1)與假設(shè)2)及定義1.3同樣適用于猶豫模糊集。

2 猶豫模糊集的熵和相似度的一般公式

2.1 猶豫模糊集的熵的公理化定義

定義2.1[10]設(shè)A為論域X上的猶豫模糊集，hA(x)為A的猶豫模糊元，映射E:HF(X)→[0,1]，AE(A)，稱E(A)是猶豫模糊集A的熵，若E(A)滿足：

1)E(A)=0，當且僅當A=?或A=X；

2)E(A)=1，當且僅當?x∈X，有:

4)E(A)=E(Ac)。

根據(jù)給出的猶豫模糊集熵的公理化定義，提出猶豫模糊集的熵的一般公式。

2.2 猶豫模糊集的熵的一般公式

定理2.1設(shè)A為論域X={x1,x2,…,xn}上的猶豫模糊集，hA(xj)為A的相應(yīng)于X的元素xj的猶豫模糊元，映射E:HF(X)→[0,1]，A

式中：cj為正實數(shù)，fi:[0,1]→[0,+∞)滿足：

①?x∈[0,1],fi(x)=fi(1-x)；②fi(0)=0；③fi(x)在[0,1]上嚴格遞增。

證明

反之，當E(A)=0時，由于g在[0,a]上嚴格遞增，且g(0)=0，有：

反之，當E(A)=1時，由于g在[0,a]上嚴格遞增，且g(a)=1，有：

由于fi在[0,0.5]上嚴格遞增，可知:

由于g:[0,a]→[0,1]嚴格遞增，則E(A)≤E(B)。

4)

E(Ac)=

可證得E(Ac)=E(A)。證畢。

采用定理2.1可構(gòu)造出具體的猶豫模糊集的熵公式:

定理2.2設(shè)A為論域X={x1,x2,…,xn}上的猶豫模糊集，hA(xj)為A的相應(yīng)于X的元素xj的猶豫模糊元，映射E:HF(X)→[0,1]，

AE(A)=

式中：cj為正實數(shù)。fi:[0,1]→[0,+∞)滿足：①?x∈[0,1],fi(x)=fi(1-x)；②fi(0)=0；③fi(x)在[0,0.5]上嚴格遞增。

定理2.2的證明過程與定理2.1的證明過程類似。選取不同的函數(shù)g與fi，能夠構(gòu)造出多種現(xiàn)有文獻沒有的具體的猶豫模糊集熵公式。

綜上，依據(jù)定理2.1、定理2.2可以給出猶豫模糊集的熵的生成算法。

下面給出基于定理2.1的猶豫模糊集熵的生成算法步驟：

1)選取具體的函數(shù)fi(x)和g(x)；

2)驗證fi(x)和g(x)是否滿足定理2.1的條件；

3)由定理2.1提出的猶豫模糊集的熵的一般公式，生成具體的猶豫模糊集熵公式。

2.3 猶豫模糊集的相似度的一般公式

2.3.1 猶豫模糊集相似度的公理化定義

定義2.2[10]設(shè)A和B為論域X上的2個猶豫模糊集，稱S(A,B)為猶豫模糊集A,B的相似度，若S(A,B)滿足：

1)S(A,B)=0，當且僅當A=?,B=X或A=X,B=?；

2)S(A,B)=1，當且僅當A=B；

3)若A?B?C，或者A?B?C，有S(A,C)≤S(A,B),S(A,C)≤S(B,C)；

4)S(A,B)=S(B,A)。

2.3.2 猶豫模糊集的相似度的一般公式

定理2.3設(shè)A和B為論域X={x1,x2,…,xn}上的2個猶豫模糊集，其中hA(xj)，hB(xj)分別為A和B的相應(yīng)于X的元素xj的猶豫模糊元，設(shè):

式中：cj為正實數(shù)。fi:[-1,1]→[0,1]滿足：①?x∈[-1,1],fi(x)=fi(-x)；②fi(0)=0,fi(1)=1；③fi(x)在[0,1]上嚴格遞增。

證明

由于fi(x)在[0,1]上嚴格遞增，fi(-x)=fi(x)，以及g:[0,a]→[0,1]嚴格遞增，可證得:

S(A,C)≤S(A,B),S(A,C)≤S(B,C)。

可得S(A,B)=S(B,A)。證畢。

選取不同的函數(shù)fi和g，可以構(gòu)造出具體的猶豫模糊集相似度公式。

定理2.4設(shè)A和B為論域X={x1,x2,…,xn}上的2個猶豫模糊集，其中hA(xj)，hB(xj)分別為A和B的相應(yīng)于X的元素xj的猶豫模糊元，設(shè)

式中：cj為正實數(shù)。fi:[-1,1]→[0,1]滿足：①?x∈[-1,1],fi(x)=fi(-x)；②fi(0)=0,fi(1)=1；③fi(x)在[0,1]上嚴格遞增。

定理2.4的證明過程與定理2.3的證明過程類似。函數(shù)g與fi選取不同的函數(shù)，可以構(gòu)造出具體的猶豫模糊集的相似度公式。如：

式中：cj為正實數(shù)。fi:[-1,1]→[0,1]滿足：①?x∈[-1,1],fi(x)=fi(-x)；②fi(0)=0,fi(1)=1；③fi(x)在[0,1]上嚴格遞增。

定理2.5的證明過程與定理2.3類似。選取具體函數(shù)g和fi，可以生成具體的猶豫模糊集的混合加權(quán)相似度公式。如：

此外，在定理2.3和定理2.4中考慮各猶豫模糊元的權(quán)重時，可生成猶豫模糊集的加權(quán)相似度公式。

綜上，依據(jù)定理2.3、定理2.4及定理2.5可以給出猶豫模糊集的相似度的生成算法。

下面給出基于定理2.3的猶豫模糊集相似度的生成算法步驟：

1)選取具體的函數(shù)fi(x)和g(x)；

2)驗證fi(x)和g(x)是否滿足定理2.3的條件；

3)由定理2.3提出的猶豫模糊集的相似度的一般公式，生成具體的猶豫模糊集相似度公式。

2.4 猶豫模糊集的相似度與熵的關(guān)系

定理2.6[10]設(shè)X為論域，A為猶豫模糊集，則E(A)=S(A,Ac)為猶豫模糊集A的熵。

由定理2.3和定理2.6不難得到定理2.7。

定理2.7設(shè)A為論域X={x1,x2,…,xn}上的猶豫模糊集，hA(xj)為A的相應(yīng)于X的元素xj的猶豫模糊元，映射E:HF(X)→[0,1]，

A

式中：cj為正實數(shù)。fi:[-1,1]→[0,1]滿足：①?x∈[-1,1],fi(x)=fi(-x)；②fi(0)=0,fi(1)=1；③fi(x)在[0,1]上嚴格遞增。

E8(A)=1-

E9(A)=1-

3 區(qū)間值猶豫模糊集熵和相似度的一般公式

3.1 區(qū)間值猶豫模糊集的熵的一般公式

定理3.1設(shè)A為論域X={x1,x2,…,xn}上的區(qū)間值猶豫模糊集，hA(xj)為A的相應(yīng)于X的元素xj的區(qū)間值猶豫模糊元，映射E:IVHF(X)→[0,1]，

AE(A)=

式中：cj為正實數(shù)。fi:[0,1]→[0,+∞)滿足：①?x∈[0,1],fi(x)=fi(1-x)；②fi(0)=0；③fi(x)在[0,0.5]上嚴格遞增。

定理3.1的證明過程與定理2.1的證明過程類似。類似于猶豫模糊集，通過熵的生成算法可以生成具體的區(qū)間值猶豫模糊熵公式。如：

3.2 區(qū)間值猶豫模糊集的相似度的一般公式

定理3.2設(shè)A和B為論域X={x1,x2,…,xn}上的2個區(qū)間值猶豫模糊集，其中hA(xj)，hB(xj)分別為A和B的相應(yīng)于X的元素xj的區(qū)間值猶豫模糊元，設(shè)：

式中：cj為正實數(shù)。fi:[-1,1]×[-1,1]→[0,+∞)滿足：①?x∈[-1,1],y∈[-1,1]，有fi(-x,-y)=fi(x,y),fi(y,x)=fi(x,y)；②fi(0,0)=0；③fi(x,y)分別關(guān)于x,y在[0,1]上嚴格遞增。

定理3.2的證明過程與定理2.3的證明過程類似。類似于猶豫模糊集，通過相似度生成算法可生成具體的區(qū)間值猶豫模糊集相似度公式。如：

3.3 區(qū)間值猶豫模糊集的相似度與熵的關(guān)系

定理3.3[14]設(shè)X為論域，A為區(qū)間值猶豫模糊集，則E(A)=S(A,Ac)為區(qū)間值猶豫模糊集A的熵。

由定理3.2和定理3.3不難得到定理3.4。

定理3.4設(shè)A為論域X={x1,x2,…,xn}上的區(qū)間值猶豫模糊集，hA(xj)為A的相應(yīng)于X的元素xj的區(qū)間值猶豫模糊元，設(shè)

式中：cj為正實數(shù)。fi:[-1,1]×[-1,1]→[0,+∞)滿足：①?x∈[-1,1],y∈[-1,1]，有fi(-x,-y)=fi(x,y),fi(y,x)=fi(x,y)；②fi(0,0)=0；③fi(x,y)分別關(guān)于x,y在[0,1]上嚴格遞增。

4 后勤補給基地的選址評估分析

某聯(lián)勤保障中心計劃新建一個后勤補給基地，現(xiàn)有4個候選地址Ai(i=1,2,3,4)可供選擇，為了評估這些候選地址，選取4個主要評價指標：地理因素C1，作戰(zhàn)因素C2，交通因素C3，成本因素C4[19-20]。為了便于專家準確全面的評價，其中每個因素又可通過一些詳細的指標來衡量[21]。構(gòu)建補給基地選址的評價指標體系見圖1。

圖1 補給基地選址的評價指標體系

聯(lián)勤保障中心邀請了相關(guān)領(lǐng)域的具有豐富專業(yè)背景、經(jīng)驗以及知識水平的專家對候選地址進行評估。為了全面準確的評價，采用猶豫模糊集來反映專家的評估信息。決策信息見表1。

表1 猶豫模糊決策信息

參照文獻[12]，采用猶豫模糊集的多屬性決策模型處理后勤補給基地的選址評估問題。

其次，考慮到評選對象的屬性C1,C2,C3為利益型，屬性C4為成本型，算得正理想解和負理想解分別為A+=(0.7,0.9,0.9,0.2)，A-=(0.2,0.1,0.2,0.8)。

各個方案Ai(i=1,2,3,4)的貼近度排序結(jié)果為A2?A4?A3?A1。可知A2為最優(yōu)的補給基地的選址。

猶豫模糊集熵公式E4中的參數(shù)p取不同的值時，計算各方案與理想解間的貼近度，結(jié)果見圖2。

圖2 不同的p值對應(yīng)的各方案的貼近度

從圖2可以看出，猶豫模糊熵公式E4中的參數(shù)p取不同的值，方案A2總是最優(yōu)的方案。

當熵公式發(fā)生改變后，各屬性的權(quán)重可能會發(fā)生改變，為了確定決策結(jié)果是否具有一定的可靠性，下面將選取不同類型的猶豫模糊熵，對得到的決策結(jié)果進行對比分析。

選取不同類型的猶豫模糊集的熵公式E2,E3,E4,E5,E7,E9和相似度公式S8計算各方案與理想解間的貼近度，結(jié)果如圖3所示。從圖3可以看出，盡管我們采用不同類型的熵公式，方案A2總是最優(yōu)的方案。

圖3 選S8時不同的熵對應(yīng)的各方案的貼近度

決策者根據(jù)自身偏好采用不同的相似度公式時，利用決策模型得到的決策結(jié)果也有可能會發(fā)生變化。選取猶豫模糊集的相似度公式S10和熵公式E2,E3,E4,E5,E7,E9計算各方案與理想解間的貼近度，結(jié)果如圖4所示。

圖4 選S10時不同的熵對應(yīng)的各方案的貼近度

對比圖3和圖4，盡管采用不同的相似度公式，出現(xiàn)了方案的排序不一致的情況，但方案A2始終是最優(yōu)的方案。

此外，選取本文提出的猶豫模糊集的混合加權(quán)相似度公式S7來計算各方案與理想解間的貼近度，結(jié)果如圖5所示，方案A2仍然是最優(yōu)的方案。

圖5 選S7時不同的熵對應(yīng)的各方案的貼近度

綜合對比上述結(jié)果，可以看出：用不同類型的熵和相似度公式計算得出的貼近度的排序中，盡管方案的排序情況不一致，但方案A2始終是最優(yōu)的方案。說明最終決策有一定可靠性。因此，選擇地址A2作為新建的后勤補給基地的地址。

5 結(jié)語

本文推廣定義了猶豫模糊集和區(qū)間值猶豫模糊集的熵與相似度，提出了猶豫模糊集的熵和相似度的一般公式，給出了猶豫模糊集熵和相似度的生成算法。并研究了猶豫模糊集的熵和相似度間的關(guān)系，提出了基于相似度構(gòu)造熵的一般公式，把猶豫模糊集的熵和相似度間關(guān)系的有關(guān)結(jié)論及各自的一般化公式和生成算法推廣到了區(qū)間值猶豫模糊集，從而為多屬性決策中靈活地選擇熵和相似度奠定了理論基礎(chǔ)。下一步可以對猶豫模糊語言值集和對偶猶豫模糊集的信息測度及其應(yīng)用進行研究與討論。