橢球膨脹法建立獨立坐標系的原理與應用

于志威（黑龍江業成測繪有限公司，黑龍江 哈爾濱 150000）

0.引言

建立獨立坐標系的方法主要可分為三類：一是橢球變換法，其中包括橢球膨脹法、橢球平移法、橢球變形法；二是比例縮放法，包括兩種方法；三是以中心點坐標平移或者坐標加常數和旋轉的平面直角坐標系。這三類建立獨立坐標的方法各有優勢，本文主要分析第一類方法，即橢球膨脹法。近幾年，國內外學者對建立獨立坐標系的方法進行了大量研究，比如：文獻[1]在對目前常用轉化計算方法分析比較的基礎上，通過選取不同的參數和變換模型構造出9種不同的任意中央子午線任意投影面之間坐標計算方法，并分析每個模型的特性及適用情況。文獻 [2]就建立基于CGCS2000的珠海市相對獨立坐標系進行探討，并對珠海新舊坐標系轉換可能產生的問題及處理方法進行探討。CGCS2000國家大地坐標系統以其先進性和穩定性，具有高精度、地心、動態、實用、統一的優點，代表了目前國內坐標系統應用和研究的發展方向。文獻[3]研究了橢球膨脹法建立獨立坐標的原理與方法，研究成果對高海拔地區應用橢球膨脹法建立區域控制網具有參考價值。

1.橢球膨脹法建立獨立坐標系

1.1 橢球膨脹法建立工程橢球的原理

橢球膨脹法建立工程橢球的原理是不改變參考橢球的中心，只抬高或降低投影面來建立新的工程橢球。需滿足兩個原則[7][8]：

（1）工程橢球的中心與國家參考橢球的中心重合，沒有平移量，且使橢球的扁率e保持不變。

（2）工程橢球與國家橢球定向一致，沒有旋轉。

在滿足上述兩個原則的基礎上，改變國家坐標系橢球的長半軸，使改變后的橢球面與測區平均高程面重合，然后在改變參數后的橢球面上進行投影，使通過坐標兩點坐標反算得到的長度和用高精度測距儀器測量的長度大致相等。即有：

式（1）中，a新為工程橢球的長半軸；a為國家參考橢球的長半軸；△a為工程橢球長半軸與國家參考橢球長半軸的差值，即長半軸變動量。

1.2 新橢球長半軸的計算方法

選取適當的，使新構造的工程橢球面與實際地球表面大致吻合，從而使得地面測出的實際距離與由坐標反算出來的距離盡可能地接近。這樣才能滿足施工要求的精度。目前，大多數軟件選取所采用的方法主要有下列三種：

（1）以獨立坐標投影面的大地高作為橢球長半徑的變動量：

式（2）中：△a為國家參考橢球的長半軸的變動量，Hm為獨立坐標系投影面的大地高。

（2）以獨立坐標投影面的大地高Hm作為橢球平均曲率半徑的變動量，在獨立坐標系中央地區基準點Po上，新橢球平均曲率半徑：

新橢球長半軸為：

式（4）中：a新為工程橢球的長半軸；Bo為基準點緯度，即測區平均緯度；△a為國家參考橢球的長半軸的變動量；Hm為獨立坐標系投影面的大地高；e為第一偏心率。

（3）假定長半軸是沿測區地面點的法線方向增加，則通過測區的卯酉圈曲率半經N確定△a，則有：

由上式可得：

構造工程橢球時長半軸的變動量選擇的方法不同，其構造的橢球參數也不同。

1.3 新橢球進行坐標換算的三種模型

新橢球進行坐標換算主要有三種方法：

1.3.1 緯度增量法

新橢球的大地坐標變化量為[9]：

由式（6）得新橢球的大地坐標為：

式（7）中 B新、L新、B、L分別為基準點在新橢球和國家參考橢球下的經緯度。得到新橢球經緯度后按照高斯正算即可得獨立坐標系下的平面坐標。

1.3.2 空間直角坐標過渡法

在采用橢球膨脹法構建新橢球時，其橢球中心沒有變化，可知地球表面的點在空間直角坐標系中的坐標不會發生變化。其轉換方法如下：

（1）在國家參考橢球下，通過高斯反算計算出其大地坐標B和L。

（2）在國家參考橢球下，將和轉換為空間直角坐標X、Y、Z。

（3）在新橢球下，將空間直角坐標X、Y、Z轉換為B新、L新、H新。

（4）在新橢球下，將大地坐標B新、L新通過高斯正算轉換為獨立坐標系下平面坐標。

1.3.3 長半軸補償法

對于地球表面的一點，假設在國家參考橢球和新橢球下的經緯度不發生變化。則其轉換方法如下：

（1）在國家參考橢球下，通過高斯反算計算出其大地坐標作為新橢球下的大地坐標B新、L新。

（2）在新橢球下，通過高斯投影正算把B新、L新轉換為獨立坐標系下的平面坐標。

2.程序的編寫與應用

在橢球膨脹法構建橢球的時候有三種方法，新橢球進行坐標轉換又有三種模型。可知，橢球膨脹法建立獨立坐標系有9種方法。但對方法和模型比較，在軟件開發過程中，選擇了高程直接補償法、平均曲率半徑法作為構建工程橢球的方法，同時選擇了經緯度增量法和空間直角坐標過度法作為轉換模型，這樣共有4種方法。以Visual Studio 2010作為開發平臺用C#語言開發了國家坐標系和獨立坐標系互相轉換的通用軟件。

2.1 程序的編寫流程

程序編寫思路為：

（1）確定國家參考橢球參數：包括北京54、西安80、CGCS2000、自定義橢球。

（2）確定構建工程新橢球的方法：包括高程直接補償法、平均曲率半徑法。

（3）選擇國家參考橢球和工程橢球間坐標轉換的模型：包括緯度增量法、空間直角坐標過渡法。

（4）計算新投影面的大地高。

（5）采用高斯正反算公式和大地坐標與空間直角坐標互相轉換公式編寫代碼。

2.2 自編程序實例計算分析

此軟件可以實現國家坐標系和獨立坐標系的相互轉換。為了驗證軟件的可行性，采用兩個方案分別驗證。方案一為國家坐標系到獨立坐標系的轉換驗證，方案二為獨立坐標系到國家坐標系的轉換驗證。

方案一：以某工程項目為實例：構造橢球的方法選擇了高程直接補償法，計算模型選擇了緯度增量法，自編軟件計算結果和CosaGPS計算結果比較（如表1所示）：

方案二：為驗證獨立坐標系到國家坐標系計算結果的可靠性。對方案一計算結果進行逆運算，并將逆運算結果與國家坐標系中的原始數據進行求差比較，其結果（如表2所示）：

表1 國家坐標系到獨立坐標系結果與CosaGPS結果對照表

表2 獨立坐標系到國家坐標系結果與原始坐標結果比較

由表1可以看出，兩種軟件計算結果x坐標最大相差0.1mm，這可能是兩種軟件取位時候的誤差；y坐標相差為0；由表2得知逆運算結果與原國家坐標系中的坐標完全符合。相繼對其他3種方法計算做了對比，并對其結果進行了逆運算，經分析其計算結果可靠，能夠用于商業用途。

3.結束語

（1）系統的對橢球膨脹法建立獨立坐標系的原理和原則以及轉換方法和轉換模型做了分析。

（2）采用橢球膨脹法建立獨立坐標系一般采用9種方法，在國家坐標系向基于工程橢球的獨立坐標系轉換時，緯度增量法和空間直角坐標過渡法是相對較嚴密的模型。構造工程橢球時長半軸變動量的計算方法不同，其轉換結果也不同。對于大型項目在同一區域，存在不同的施工單位時，由于存在地形圖的接邊和成果的統一，其建立獨立坐標系時應采取同樣的方法和模型。

（3）通過大量數據計算結果分析并和已有的CosaGPS計算結果對比，自編軟件計算結果可靠，能夠用于商業用途。

（4）在以后的工作和學習中會豐富軟件的功能，增加比例縮放法建立獨立坐標系等功能，以便適合不同的工程需求。