棒球擊球點問題

李 晨 陳玉松

(商丘工學(xué)院基礎(chǔ)部 河南 商丘 476000)

一、問題重述

棒球擊球時，球棒較寬的那部分有一個“最佳點”，使用該點擊打球時傳給球的力量是最大的。問題來了，這個位置為何不是擊球棒的最外端？從力學(xué)的角度分析，似乎用擊球棒的最外端擊球，球得到的力量是最大的，但結(jié)合實際經(jīng)驗，這顯然是不對的。所以，本文要研究的問題如下：

其一：建立模型來解釋這一問題。其二：建立模型闡述不同材料(分木制和鋁制兩種情況)的擊球棒對這個“最佳點”的影響。

二、問題分析

“棒球擊球”是一個極具代表性的碰撞問題。本文目的是構(gòu)建模型解釋“最佳點”為何不在球棒最外端。

我們首先需要明確的一個問題是“最佳點”的具體含義。擊球的過程中我們將力量能最大限度地轉(zhuǎn)移到球上的位置稱為擊球點的“最佳點”。由于力的轉(zhuǎn)移很難量化，而球初始速度卻可以測量。這樣，求“最佳擊球點”的問題就變成了求球的初始速度最大的擊球點問題。現(xiàn)有研究表明：碰撞瞬間手對棒施加的力對棒初始速度的影響并不大，所以可理想認(rèn)為球棒是“自由端”。結(jié)合動量守恒定理、角動量守恒定理、恢復(fù)系數(shù)來研究碰撞位置與球初始速度的關(guān)系從而找到“最佳點”。

第二個問題，棒的材質(zhì)之間的區(qū)別主要有：因密度和質(zhì)量的不同所導(dǎo)致的轉(zhuǎn)動慣量的不同；因材料的不同所導(dǎo)致的恢復(fù)系數(shù)的不同；彈性系數(shù)的不同進(jìn)而影響到擊球效果的不同。

三、模型假設(shè)

1.球在運動過程中不會出現(xiàn)偏轉(zhuǎn)、旋轉(zhuǎn)、掉落等事情的發(fā)生；

2.球、棒均視為剛體；

3.在擊球的過程中正好擊中球的中心，不存在側(cè)擊的情形；

4.擊打過程中忽略外部其他作用力(比如空氣等)；

5.擊球時,球的速度方向與球棒軸線正交；

6.球棒是“自由端”；

四、符號說明

e:恢復(fù)系數(shù)；C:重心位置；J:轉(zhuǎn)動慣性；M：棒球質(zhì)量

五、模型的建立與求解

(一)球棒外形的抽象描述模型

木質(zhì)的棒球球棒的規(guī)格一般為：棒長L=0.855m；棒重M=0.885kg；木質(zhì)密度ρ=649kg/m3；木質(zhì)楊氏模量E=1.814*1010N/m2；最大半徑r2=7cm；最小半徑r1=2.5cm。

以球棒做為一種旋轉(zhuǎn)體，沿軸線的截面如圖1所示：

圖 1

其中每一部分的長度x1、x2可由球棒的重量和重心的位置確定：

球棒重量：

(1)

根據(jù)質(zhì)心的定義，質(zhì)心兩側(cè)的球棒所承受的重力對重心力矩平衡：

Mgl=Mgr

(2)

由(1)(2)式，帶入數(shù)據(jù)得：x1=0.346，x2=0.642

這樣，棒球各部分的半徑長：r1=0.025，r2=0.070

棒球球棒的外形簡化模型的確定，使得不同的材質(zhì)及材質(zhì)不均勻的球棒轉(zhuǎn)動慣量的求解變得更方便。

(二)最佳擊球點的剛體動力學(xué)模型

力學(xué)模型如圖所示：

圖 2

各符號表示如：m1:球的質(zhì)量，m2:球棒的質(zhì)量，v1:球初速度，v2:球離開速度，u1:擊球前的質(zhì)心速度，u2:擊球后的質(zhì)心速度，w1:棒擊球前的角速度，w2:棒擊球后的角速度。

在碰撞瞬間，球與棒之間的作用力遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于球的重力、棒的重力、手的支持力，因此，以球-棒整體為研究對象，y軸方向上的動量守恒：

m1v1+m2u1=m1v2+m1u2

(3)

u1=ω1(R+H)，u2=ω2(R+H)

(4)

恢復(fù)系數(shù)e是碰撞后相對遠(yuǎn)離的速度與碰撞接觸點碰撞前相對接近的速度的比，即：

(5)

以身體的重心軸為軸建立以球-棒為系統(tǒng)的角動量守恒方程和以球棒的質(zhì)心為軸建立以球-棒為系統(tǒng)的無外力矩，因此角動量是守恒的，即：

m1v1(S+R+H)+Jω1=m1v2(S+R+H)+Jω2

(6)

由(3)、(4)、(5)、(6)可得擊打后的球速表達(dá)式為：

計算得“最佳點”為距球棒手柄端點70cm處。

(三)球棒材料的不同對擊球效果的影響

金屬球棒與木質(zhì)球棒的主要區(qū)別有：①不同的密度和質(zhì)量導(dǎo)致轉(zhuǎn)動慣量的不同；②不同的材料導(dǎo)致恢復(fù)系數(shù)和彈性系數(shù)的不同。

利用力學(xué)的經(jīng)典理論模型，假設(shè)前面的抽象模型與兩種球棒的外形相同，從轉(zhuǎn)動慣量和恢復(fù)系數(shù)的角度來研究兩種材質(zhì)球棒的性能，建模結(jié)果顯示，用鋁棒擊球比用木棒更容易打出而且球飛得又高又遠(yuǎn)。

六、結(jié)果分析

1.優(yōu)點：(1)對球棒外形進(jìn)行抽象簡化，使研究對象易于描述與建模。(2)利用理論力學(xué)、接觸力學(xué)、波動力學(xué)等多種理論對球-棒碰撞這一問題從外部表現(xiàn)到內(nèi)部機理進(jìn)行了多角度的分析。

2.不足之處：利用各分支學(xué)科的各個力學(xué)理論建立起來的模型是互相獨立的，但卻沒有分析各模型之間存在的關(guān)系。