亞純函數(shù)微分多項(xiàng)式分擔(dān)多項(xiàng)式的唯一性

張偉杰， 王新利

（上海理工大學(xué) 理學(xué)院，上海 200093）

1 主要定理

本文提到的亞純函數(shù)即復(fù)平面上的亞純函數(shù)，使用Nevanlinna值分布論中的基本記號(hào)[1-3]，如，，等。對(duì)于非常數(shù)的亞純函數(shù)，一般用表示滿足的量，其中，。

1996年，F(xiàn)ang等 研究了整函數(shù)分擔(dān)一個(gè)非零常數(shù)的問(wèn)題，得到了定理1。

1997年，在Fang等[4]研究的基礎(chǔ)上，Yang等[5]進(jìn)一步研究了非常數(shù)亞純函數(shù)分擔(dān)一個(gè)值的問(wèn)題，提出了定理2。

定理2設(shè)和為非常數(shù)亞純函數(shù)，且為正整數(shù)。如果和分擔(dān)CM，其中 ，， 則，，，，為常數(shù)，且滿足，或者，，其中，t 為常數(shù)，且。

2000年，F(xiàn)ang等[6]將分擔(dān)一個(gè)“值”推廣到分擔(dān)“”，證明了定理3。

定理3設(shè)和為非常數(shù)亞純函數(shù)，且為正整數(shù)，如果和分擔(dān)CM，則，，其中，，，為有限非零復(fù)常數(shù)，且滿足，或者，，其中，t 為常數(shù)，且。

2011年，Qiu[7]將分擔(dān)“”推廣到了分擔(dān)一個(gè)多項(xiàng)式，得到了定理4。

定理4設(shè)和為超越亞純函數(shù)，為正整數(shù)，且滿足。是一次數(shù)為的多項(xiàng)式，如果和分擔(dān)CM，則有，為常數(shù)。

本文將定理4的條件“CM分擔(dān)”改為“IM分擔(dān)”進(jìn)行了研究，即下面的定理5。

定理5設(shè)和為超越亞純函數(shù)，且為正整數(shù)，如果和分擔(dān)∫PIM，P為非零多項(xiàng)式，且， 則，∫，其中，為常數(shù)，且滿足，或者，，其中，t為常數(shù)，且。

2 引 理

引理1[1]設(shè)為非常數(shù)亞純函數(shù)，為正整數(shù)，為的小函數(shù)，則

引 理2[3]設(shè)為非常數(shù)亞純函數(shù)，為正整數(shù)，則

引 理6設(shè)和為非常數(shù)亞純函數(shù)，為正整數(shù)，為一非零多項(xiàng)式。如果和分擔(dān)IM，且滿足

證明令

由式（2）可知，H的極點(diǎn)可能來(lái)自于F-1和G-1的零點(diǎn)重?cái)?shù)不同的零點(diǎn)，F(xiàn)和G的極點(diǎn)，F(xiàn)′和G′的零點(diǎn)，且H的每個(gè)極點(diǎn)都為單極點(diǎn)，因此，

結(jié)合式（4）～（7），可得

3 定理5的證明

結(jié)合式（13）、式（15）和引理 2，可得

與情形1的b中的討論類似，可得矛盾。因此，情形2不成立。

定理5證畢。